精品解析：天津市宝坻区第四中学2026-2027学年高二年级上学期第一次质量检测数学试题

宝坻四中2026-2027学年度第一学期第一次质量检测 高二数学试卷 一、单选题：（每小题4分，共36分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，对应的倾斜角为60°. 故选：B 【点睛】本小题主要考查直线倾斜角的求法，属于基础题. 2. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标进行空间向量的线性运算即可. 【详解】由，，可得：， 故选：A. 3. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围为（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得，解可得的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，若方程表示一个圆，则， 解可得或， 即实数的取值范围为，，， 故选：A 4. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 5. 在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取BC的中点G，连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论． 【详解】取BC的中点G．连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，如图所示， ∵E是CC1的中点，∴GC1EH，∴∠OEH为异面直线和所成的角． 在△OEH中，，HE＝，OH＝． 由余弦定理，可得cos∠OEH＝． 故选：B 【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角，属于中档题． 6. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程即可得解. 【详解】当直线过原点时，方程为，符合题意， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线的方程为或. 故选：D. 7. 已知，，，若，，共面，则为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理设（），依题列出方程组，求解即得. 【详解】因，，共面，可设（）， 即， ，解得． 故选：C. 8. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 9. 已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得直线经过定点．根据直线与线段相交，结合图形则可得直线的斜率取值范围． 【详解】直线，即，令，可得直线经过定点， 又，． 直线与线段相交， 由图可得，则直线的斜率取值范围是． 故选：D． 二、填空题：（每小题4分，共24分） 10. 设空间向量，，若，则＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量共线得，再利用空间向量的坐标运算和向量模的定义即可得到答案. 【详解】，则显然，，解得， 则，， 故答案为：3. 11. 两条平行直线与间的距离是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平行关系求得a的值，再利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，故． 可得符合题意， 由平行线距离公式可得所求为． 故答案为：1 12. 已知圆的圆心在直线上，且过两点，则圆的方程是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可结合圆心求解，进而可得半径得圆方程. 【详解】的圆心在直线,所以可设圆心为， 由于，即 ，解得 ， 所以半径为， 因此圆的方程为：， 故答案为： 13. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求出直线的一个单位方向向量,利用点到直线的距离的向量公式计算即得. 【详解】由题意，,则与同方向的单位向量为，又, 则点到直线的距离为. 故答案为：. 14. 已知两直线与平行，则________. 【答案】 【解析】 【分析】判断不合题意，再根据两直线平行可得斜率相等，列出关于a的等式，求得答案. 【详解】当时，为， 为，两直线不平行； 故时，两直线与平行 可得，解得或， 当时， 即， 即，两直线重合，不合题意， 故， 故答案为： 15. 过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出直线与直线，的交点坐标、，然后根据中点坐标的相关性质得出，，再然后根据在上以及在上得出，解得的坐标，由直线的两点式方程即得. 【详解】设直线， 设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上）， 设、， 因为被点平分，所以，， 于是，， 由于在上，在上，则， 即解得，， 即的坐标是，则直线的方程是， 即． 故答案为：. 三、解答题： 16. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高（结果用一般式方程表示） （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程． （3）求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式，结合直线两点式方程进行求解即可； （2）根据互相垂直的两直线斜率之间的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （3）根据互相平行的两直线斜率之间的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可 【小问1详解】 设. 因为是边的中点， 所以有，即， 所以所在直线的方程为； 【小问2详解】 因为直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 因此高所在直线的方程为； 【小问3详解】 因为直线的斜率为， 所以与直线平行的直线的斜率为， 因此过点且与直线平行的直线方程为. 17. 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． （1）求圆的方程； （2）若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】（1） （2）以为圆心，为半径的圆 【解析】 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【小问1详解】 因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． 【小问2详解】 设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）求点D到平面的距离 【答案】（1） 以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 设的中点为G，连接，由正方体的棱长为2，有 ，，，. 则，， 因为， 所以，即. 因为平面，平面，所以平面. （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出，，由共线向量定理可得出，再由线面平行判定定理得出平面； （2）求出，再求出平面的一个法向量，利用向量数量积求出与所成角的余弦值，与平面所成角的正弦值等于与所成角的余弦值的绝对值； （3）求出，由详解（2）已知平面的一个法向量，根据点到平面的距离公式有：，即可求出点D到平面的距离. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由答案（1）可得 ，，，，，. 设平面的一个法向量， ， 令，得，，则， ，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由详解（1）（2）可得 ，，，， 则， 由详解（2）知是平面的一个法向量，则 ，所以点D到平面的距离为2. 19. 已知直线的方程为 （1）求点到直线的距离 （2）求点关于的对称点的坐标 （3）求直线关于直线对称的直线方程（结果用一般式方程表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将直线化为一般式后直接代入点到直线的距离公式计算； （2）利用对称点与已知点连线垂直于对称轴、两点中点在对称轴上两个约束条件列方程组求解； （3）利用对称坐标替换规则，或取直线上两点求其对称点，再求过对称点的直线方程并化为一般式。 【小问1详解】 将直线的斜截式方程化为一般式：. 根据点到直线的距离公式，代入的坐标得： . 【小问2详解】 设点关于直线的对称点为，满足两个对称性质： ① 直线与垂直：的斜率为，故，整理得； ② 的中点在上：代入的方程得，整理得. 联立两方程解得，即对称点坐标为. 【小问3详解】 取直线上一点，则该点关于直线对称的对称点坐标为. 直线与直线的交点坐标为. 所以直线关于直线对称的直线方程为， 整理为一般式为. 20. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，，Q为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点H满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 以A为坐标原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由已知条件可得 ，，，， 则，因为Q为的中点，所以， 则点Q的坐标为，则 ，，， ，，所以，，即，， 又平面，平面 ，，所以平面. （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出，，，利用向量数量积证明，，再由线面垂直的判定定理证明即可. （2）分别求出平面与平面的一个法向量，，根据 ，夹角余弦值即可求出平面与平面夹角余弦值. （3）设线段上存在点H满足直线与平面所成角的正弦值为，设，利用向量数量积列出关于所求角正弦值的方程，求解即可判断. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由答案（1）可得 ，，， 因为，，所以点E的坐标为， 则，. 设平面的一个法向量为，则有 ，令，得，所以. 设平面的一个法向量为则有 ， 令，解得，，所以. 因为平面与平面夹角为锐角，所以余弦值为正数，则有 ， 所以面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设线段上存在点H满足直线与平面所成角的正弦值为， 设，由答案（1）知，，， 则，所以点H的坐标为， 则， 由详解（2）可知是平面的一个法向量，则有 ，变形可得， 两边平方并化简得， 解得，. 所以上存在点H满足直线与平面所成角的正弦值为，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝坻四中2026-2027学年度第一学期第一次质量检测 高二数学试卷 一、单选题：（每小题4分，共36分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 135° 2. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围为（ ） A. ，， B. C. D. 4. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 6. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知，，，若，，共面，则为（ ） A. B. 3 C. D. 9 8. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题4分，共24分） 10. 设空间向量，，若，则＝______． 11. 两条平行直线与间的距离是__________． 12. 已知圆的圆心在直线上，且过两点，则圆的方程是______ 13. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为_____． 14. 已知两直线与平行，则________. 15. 过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为______. 三、解答题： 16. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高（结果用一般式方程表示） （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程． （3）求过点且与直线平行的直线方程． 17. 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． （1）求圆的方程； （2）若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）求点D到平面的距离 19. 已知直线的方程为 （1）求点到直线的距离 （2）求点关于的对称点的坐标 （3）求直线关于直线对称的直线方程（结果用一般式方程表示） 20. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，，Q为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点H满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $