精品解析：天津市宝坻区第一中学2025-2026学年高二上学期11月月考数学试题

宝坻一中2025-2026学年度第一学期高二年级第一次统练数学卷 一、选择题 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 4. 平行六面体中，，，则的长为（    ） A. 10 B. C. D. 5. 当时，两条直线、的交点在（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 6. 在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则点到直线AE的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 或3 8. 已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A. B. C. D. 二、填空题 10. 平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为_____． 11. 已知两直线，，若，则与间的距离为___________． 12. 已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 13. 设直线l的方程为，若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则a=________ 14. 已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论: ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的序号是 _______． 三、解答题 16. 已知点，，，求： （1）边上的高所在直线方程； （2）的外心坐标； （3）的面积． 17. 已知直线l：3x－y＋3＝0，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点； (2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程； (3)直线l关于(1,2)的对称直线． 18. 三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 19. 如图，四棱锥中，平面平面ABCD是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形其中是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 20. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝坻一中2025-2026学年度第一学期高二年级第一次统练数学卷 一、选择题 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】先利用斜率公式求出斜率，进而可得倾斜角. 【详解】由斜率公式可得， 故经过，两点的直线的倾斜角为60°. 故选：B. 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件求解即可. 【详解】因为向量，，，所以存在，使得， 即，解得， 故选：C. 3. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量坐标运算求得答案. 【详解】空间向量， 所以. 故选：D 4. 平行六面体中，，，则的长为（    ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，两边平方，利用数量积运算性质即可求解． 【详解】如图， 由题知，, ，， . ， ， 即的长为. 故选：B 5. 当时，两条直线、的交点在（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】联立两直线的方程，得出两直线的交点坐标，然后由得出交点横坐标和纵坐标的符号，即可判断出两直线交点所在的象限. 【详解】联立，解得，当时，，， 因此，两条直线、的交点在第三象限. 故选C. 【点睛】本题考查两直线交点所在象限的判断，解题的关键就是联立两直线的方程，求出交点坐标，考查运算求解能力，属于中等题. 6. 在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则点到直线AE的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立以为原点，以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，根据点到直线AE的距离为计算即可解决. 【详解】由题知，棱长为2的正方体中，为线段的中点， 以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向空建立空间直角坐标系 ，所以, 所以, 所以点到直线的距离为, 故选：B 7. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一般式方程两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再检验即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 经检验，当或时，均满足两条直线平行. 故选：C 8. 已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直. 【详解】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直， 则， 即点A坐标为. 故选：C 9. 已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式， 联立得到表达式代入求解即可. 【详解】解：设，，则 ， 的中点为， ， 分别在直线和， ，， ，即. ，即 ， 又，，即 ， 所以，即 ， 解得. 故选：A. 【点睛】平面解析几何问题中的设而不求方法注意事项： （1）凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”； （2）“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多. 二、填空题 10. 平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用点到平面的距离公式即可求解. 【详解】因为，，， 所以点到平面的距离. 故答案为： 11. 已知两直线，，若，则与间的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行求得，进而求两平行线间距离. 【详解】已知两直线，， 若，则解得，则直线， 则与间的距离为． 故答案为：. 12. 已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 13. 设直线l的方程为，若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则a=________ 【答案】1或 【解析】 【分析】分别求出直线在两坐标轴上的截距，由题意可列出方程，求解，即得答案. 【详解】由题意知直线l的方程为， 当时，直线为，不符题意，故， 令，则；令，则； 由直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则， 解得或， 时，直线为，直线l在两坐标轴上的截距均为0，符合题意； 时，直线为，直线l在轴上的截距分别为，符合题意； 故答案为：1或. 14. 已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求得，再根据投影向量的模的公式求解即可 【详解】由题，，故在上的投影向量的模 故答案为：. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论: ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的序号是 _______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】对①：由线面平行的判定定理进行判断即可； 对②：把直线到平面的距离转化为点到平面的距离，由等体积法列式即可求； 对③和④：都属动点问题，把几何问题转化为空间向量的问题，对于③，只需证明有解即可； 对于④，只需求出点到直线距离的最小值即可. 【详解】对①，如图所示: 因为是中点，， 所以点是的中点，连接，显然也是的交点，连接， 所以，而平面，平面， 所以直线平面，①对； 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，对②，，分别是棱，的中点， ，平面，平，故平面， 故直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ，，， ，， 由得，②错； 对③，设，，， 则，， 由，得， 得，由，故存在点，使得，③对； 对④，由③得到的投影为， 故到的距离， 面积为，， 由二次函数性质，当时，取得最小值为，④错． 故答案为：①③ 三、解答题 16. 已知点，，，求： （1）边上的高所在直线方程； （2）的外心坐标； （3）的面积． 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）首先求出直线的斜率，由互相垂直的直线间斜率关系得出边上的高线的斜率，由高线过，即可得出边上的高所在直线方程； （2）分别求出边的垂直平分线，联立即可得出的外心坐标； （3）先写出直线的方程，由点到直线的距离公式得出点到直线的距离，再由两点之间的距离公式求出边的长，由三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 由，得，， 所以边上的高线的斜率为，且高线过点， 所以边上的高线的直线方程为：，即． 【小问2详解】 由，得，，边的中点为，即， 所以边的垂直平分线的直线方程为：，即； 由，，得，边的中点为， 所以边的垂直平分线的直线方程为：，即， 由，得， 所以的外心坐标为． 【小问3详解】 由（1）知，，则直线的方程为：，即， 边上的高为：， ， 所以． 17. 已知直线l：3x－y＋3＝0，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点； (2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程； (3)直线l关于(1,2)的对称直线． 【答案】（1）(－2,7)；（2）7x＋y＋22＝0；（3）3x－y－5＝0. 【解析】 【分析】 (1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，由题得， 把x＝4，y＝5代入（3）（4）即得解；（2）用（3）（4）分别代换x－y－2＝0中的x，y即得解；（3）在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，求出其关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，又对称直线的斜率为3，即得解. 【详解】(1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)， 因为kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.（1） 又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上， 所以3×＋3＝0. （2） 由（1）（2）得 把x＝4，y＝5代入（3）（4）得x′＝－2，y′＝7， 所以点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)． (2)用（3）（4）分别代换x－y－2＝0中的x，y， 得关于l对称的直线方程为， 化简得7x＋y＋22＝0. (3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)， 所以，x′＝2，，y′＝1，所以M′(2,1)． l关于(1,2)的对称直线平行于l，所以k＝3， 所以对称直线方程为y－1＝3×(x－2)， 即3x－y－5＝0. 【点睛】本题主要考查直线方程的求法，考查点和直线的对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力. 18. 三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：以点为原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，设平面的一个法向量为， ∵，， 令，∴，∵，∴， 又∵平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出平面的一个法向量为，再证明即可； （2）求出平面的一个法向量，再利用线面角的公式求解即可； （3）利用空间向量求出点到平面的距离为，再求出的面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， 设平面的一个法向量为，则， 令，设直线与平面所成角为θ， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 ，平面的法向量为， 设点到平面的距离为d，， 又， ，. 19. 如图，四棱锥中，平面平面ABCD是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形其中是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：由于是以AD为斜边的等腰直角三角形， O是AD的中点，故 由于平面平面ABCD，平面平面平面PAD， 故平面ABCD； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面平面ABCD，利用面面垂直的性质定理即可得证； （2）建立空间直坐标系Oxyz，分别求出平面PAB和平面PBC的法向量，利用向量法求解即可； （3）求出利用向量法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连结OB，由于O是AD的中点，且故 由于故四边形OBCD为矩形， 所以故有OB、OD、OP两两垂直， 以O为坐标原点，OB、OD、OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直坐标系Oxyz， 则, 设平面PAB的法向量为 则 令则 故平面PAB的一个法向量为 设平面PBC的法向量为 则 令则 故平面PBC的一个法向量为 设平面PAB与平面PBC的夹角为 故平面PAB与平面PBC的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由（2）知，平面PAB的一个法向量为 所以点E到平面PAB的距离为 20. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 依题意，以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 可得,,,,, . 依题意，,, 从而, 所以，即 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)建立适当的空间直角坐标系，利用向量垂直证明线段垂直. (2)求出平面ACF的法向量，以及的坐标，即可求解. (3)假设线段DE上存在一点，再根据条件求出，再利用向量的投影即可求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，,, 设为平面ACF的法向量， 则， 不妨设可得， 因为, 设直线EC与平面ACF所成角为，则 ， 所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为. 【小问3详解】 假设线段DE上存在一点，使得直线BG与AD所成角的余弦值为，则. 依题意则， ，解得. 所有存在点满足条件， 所以可得, 由（2）可知平面ACF的一个法向量为， 所以点G到平面ACF的距离为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $