精品解析：天津市南开中学滨海生态城学校2026-2027学年高二年级上学期第一次限时训练数学学科试卷

天津市南开中学滨海生态城学校2026-2027学年（上） 高二年级第一次限时训练数学学科试卷 注意事项： 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时100分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 本卷共12题，每题5分，共60分.在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求. 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知直线的倾斜角为，则实数m的值为 A. B. C. D. 2. 图中的直线的斜率分别为，则有（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系Oxyz中，若点M（a，b+3，2c+1）关于y轴的一个对称点M′的坐标为（-4，-2，15），则a+b+c的值（　　） A. 10 B. -17 C. -9 D. 2 5. 直线，则“” 是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）． A. B. 1 C. D. 7. 设，向量，，，且，，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 9 8. 着两条直线和的交点在第四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设空间向量，，．若、、不能构成空间的一个基底，则实数（ ） A. B. C. D. 10. 若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（ ） A. B. C. D. 11. 已知点是棱长为2的正方体的底面上一点，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 12. 已知直四棱柱的棱长均为，设棱的中点分别为，若菱形内（含边界）的动点满足，则点的运动轨迹的长度为（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 本卷共12题，共90分. 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 13. 已知点，，三点共线，则________． 14. 经过点，且到点距离为的直线方程为______. 15. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 16. 已知直线，平行，则这两条平行直线之间的距离为________. 17. 如图，在直三棱柱中，，，则正确的是______. ①向量在向量上的投影向量为 ②向量在向量上的投影向量为 ③与的夹角为钝角 18. 过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，则使的值最小时直线l的方程为______. 19. 对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的最大值是______. 20. 四面体中，已知，，，若点为的重心，，则______，三棱锥与三棱锥的体积比等于______. 三、解答题（共4小题，共50分） 21. 如图，在四面体中：，，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． （1）求； （2）设，，． ①用向量，，表示； ②求的值． 22. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标（垂心是三角形三条高线的交点）； （2）求所在的直线方程． 23. 在四棱锥中，底面，，，，，点为棱中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值. 24. 如图，菱形的边长为4，，E为的中点.将沿折起，使A到达，连接，，得到四棱锥. （1）证明：； （2）若为等边三角形，求直线与直线所成角的余弦值： （3）当二面角的平面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南开中学滨海生态城学校2026-2027学年（上） 高二年级第一次限时训练数学学科试卷 注意事项： 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时100分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 本卷共12题，每题5分，共60分.在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求. 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知直线的倾斜角为，则实数m的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线的倾斜角为，可得，即可得出． 【详解】解：直线的倾斜角为，，则实数． 故选A． 【点睛】本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2. 图中的直线的斜率分别为，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果. 【详解】由图象可得，， 故选：C 3. 直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的倾斜角和的方向向量分别求出两直线的斜率，再利用两直线垂直的条件计算即可. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 由，得， 故. 故选：B. 4. 在空间直角坐标系Oxyz中，若点M（a，b+3，2c+1）关于y轴的一个对称点M′的坐标为（-4，-2，15），则a+b+c的值（　　） A. 10 B. -17 C. -9 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中点的对称性即可求解. 【详解】M（a，b+3，2c+1）关于y轴的一个对称点M′应为M（-a，b+3，-2c-1）， 所以： -a=-4，解得a=4； b+3=-2，解得b=-5； -2c-1=15,解得c=-8； 所以a+b+c的值为-9， 故选：C. 5. 直线，则“” 是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由直线平行可得且不重合，得到，再由逻辑命题条件的判定即可求解． 【详解】当时，，解得或， 时，，此时， 时，，此时重合， 所以若，则， 故“” 是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 6. 已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）． A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出，利用同角三角函数的关系求出，结合计算即可求解. 【详解】空间内三点，，， 所以，，，， 由，所以， 所以点A到直线的距离. 故选：A. 7. 设，向量，，，且，，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【详解】由题可得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 8. 着两条直线和的交点在第四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立两直线方程求出交点坐标，根据交点在第四象限列出不等式即可求出. 【详解】联立，可解得， 因为交点在第四象限，所以，解得. 故选：A. 9. 设空间向量，，．若、、不能构成空间的一个基底，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知、、共面，设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解之即可. 【详解】由题意可知，、、共面， 设，即， 即，解得. 故选：C. 10. 若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，设点关于直线的对称点为，再由垂直直线的斜率关系和点与点的中点在上，建立方程组，即可得到. 【详解】因为点关于直线的对称点在轴上， 设点关于直线的对称点为， 则有 ，解得. 故选：B. 11. 已知点是棱长为2的正方体的底面上一点，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点的坐标为，其中，，用坐标运算计算出，配方后可得其最小值. 【详解】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴， 以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则点，设点的坐标为，由题意可得，， ， 由二次函数的性质可得，当时，取得最小值， 故选：C. 12. 已知直四棱柱的棱长均为，设棱的中点分别为，若菱形内（含边界）的动点满足，则点的运动轨迹的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，得出点在以为直径的球与底面的交线上，再通过建立空间直角坐标系得出球心的坐标，最后根据平面几何关系即可求出. 【详解】由，知，所以点在以为直径的球与底面的交线上. 以为坐标原点，平面内垂直于方向，方向，方向分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，故球的直径长为， 球心为的中点. 因为球心到底面的距离为1， 所以底面截球所得圆的半径为，圆心为， 则在以为直径的圆与菱形的交线上， 如图，由平面几何关系得，菱形中，则， 实际交线为劣弧和劣弧， 易知和为等边三角形，劣弧和劣弧相等， 则， 故的运动轨迹长为. 故选：A 第Ⅱ卷 本卷共12题，共90分. 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 13. 已知点，，三点共线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】通过三点共线得到：，从而求解出的值. 【详解】因为三点共线，所以设，且，，则有：，解得：，所以. 【点睛】本题考查空间中的三点共线问题，难度一般.对于空间中任意两个向量，共线的充要条件是：存在实数使得. 14. 经过点，且到点距离为的直线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分直线斜率不存在与斜率存在考虑，再结合点到直线距离公式求解即可． 【详解】当直线斜率不存在时，过点的直线方程为，则点到直线的距离为，不符合题意，舍去， 当直线斜率存在时，设过点的直线方程为，即， 根据点到直线距离为可得，， 整理得，解得或， 综上所述，所求直线的方程为或， 故直线方程为或． 15. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，数量积和模的坐标运算公式即可得解. 【详解】由题意向量， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 16. 已知直线，平行，则这两条平行直线之间的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两直线平行的性质即可判断，然后利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】已知两直线平行, 则，解得或， 当时，两直线方程相同，舍去， 当时，，， 则两直线间距离为. 故答案为： 17. 如图，在直三棱柱中，，，则正确的是______. ①向量在向量上的投影向量为 ②向量在向量上的投影向量为 ③与的夹角为钝角 【答案】①② 【解析】 【分析】由，把分解为沿棱柱三条两两垂直方向的向量之和，分别判断投影向量及夹角． 【详解】由，知． 又，，所以由，整理得 因为三棱柱是直三棱柱，平面，又，所以、、两两垂直． 由投影向量公式，分别判断： ①因为，所以沿的投影向量为，①正确． ②因为，，所以沿的投影向量为，②正确． ③因为，所以两向量的夹角为锐角，③错误． 18. 过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，则使的值最小时直线l的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】可设，表示出、进行解得即可；也可以采用直线的截距式方程得到，将化简得，再用基本不等式解答即可. 【详解】解法一：如图所示：设，， ，， ∴， ∴当时，即，时，取最小值， 此时，直线的倾斜角为135°，斜率为， ∴直线的方程为，即. 解法二：设，，由题意得， 直线的方程为，因为直线过点，则. ，. ， 当且仅当，也就是时取等号. 联立，解得. 此时直线方程为，即. 19. 对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的最大值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用坐标表示，，再代入曼哈顿距离，利用基本不等式求最值. 【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系设，， ，，， ，， 由可知，，整理为， ， 因为，得， 且，所以， 所以的最大值为，当时等号成立， 所以的最大值为. 20. 四面体中，已知，，，若点为的重心，，则______，三棱锥与三棱锥的体积比等于______. 【答案】 ①. 3 ②. 2 【解析】 【分析】空一：先利用向量三角形法则得到，再根据三角形重心的向量性质及向量减法法则进一步化简得，结合已知条件代换求解即可； 空二：三棱锥与三棱锥同底，故其体积比等于顶点到平面的高之比，连接交平面于点，可知点到平面的高之比等于线段与之比，从而求出体积之比． 【详解】空一：由为的重心可得， 则， 用，，代换得， 所以，，，则； 空二：如图，设线段的中点为，连接交于点，连接交平面于点， 设， 因为平面平面，平面，平面， 所以三点共线， 设，则， 所以，所以三棱锥与三棱锥的体积比等于． 三、解答题（共4小题，共50分） 21. 如图，在四面体中：，，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． （1）求； （2）设，，． ①用向量，，表示； ②求的值． 【答案】（1）-1 （2）①；② 【解析】 【分析】（1） 利用及空间向量的数量积运算法则进行计算；（2）结合题干中的数量关系，把用、、向量的线性关系表达出来. 【小问1详解】 由题意可知：，因为，，，所以 【小问2详解】 由题可得：因为是的中点，所以， 且，所以，又因为， 所以 . 根据题意即：. 易知， 所以 所以 22. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标（垂心是三角形三条高线的交点）； （2）求所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两条高线方程联立计算即可得； （2）设、，由题意可得、，且有，，解出可得、坐标，即可计算出所在的直线方程. 【小问1详解】 联立，解得， 故垂心的坐标为； 【小问2详解】 由题意可得点在直线上，点在直线上， 设、，则有、， 且直线垂直直线、直线垂直直线， 故，， 联立及，解得、， 故、， 则所在的直线方程为，即. 23. 在四棱锥中，底面，，，，，点为棱中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） ∵底面，底面，底面， ∴，，又∵， ∴以为原点，为轴，为y轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， ∴，，，，， ∴，平面平面，∴平面的一个法向量， ∵，∴， 故平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，然后建立空间直角坐标系，写出点的坐标，然后得到线的方向向量，求出面的法向量，证明，即可得证； （2）由（1）可知线的方向向量，求出面的法向量，利用空间向量求得线面角的正弦值； （3）设，然后得到点坐标，分别求出平面和平面的法向量和，由空间向量求出面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 设直线与平面所成角为， ∴. 【小问3详解】 由（1）知，设， 则，则， ∵，∴，∴，即， ∴，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即， ∵平面平面，∴平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， ∴. 24. 如图，菱形的边长为4，，E为的中点.将沿折起，使A到达，连接，，得到四棱锥. （1）证明：； （2）若为等边三角形，求直线与直线所成角的余弦值： （3）当二面角的平面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明：在菱形中，E为的中点，， ∴是等边三角形，∴， 在翻折过程中，恒有，， 又，，平面， ∴平面，平面， ∴； （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）先证和，再由线面垂直得到结论； （2）利用等边三角形的性质建立空间直角坐标系，通过向量数量积计算异面直线所成角； （3）用二面角的平面角表示的坐标，借助平面法向量求线面角，再用基本不等式求最值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，且为等边三角形，得． 以为原点，、的方向分别为、轴的正方向，垂直于底面向上的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示． 由、及菱形的边长为，得 本问，且，故． 于是 设直线与直线所成角为，则 【小问3详解】 由（1）知，且，所以为二面角的平面角． 记，则．在上述空间直角坐标系中， 又，，故平面的一个单位法向量为 设直线与平面所成角为． 因为所以 令，则，且 当，即时取等． 又，故此时，满足条件． 因此直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $