广西壮族自治区平南县中学等校2026-2027学年高二上学期期中联考数学试题

高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标为 A． B． C． D． 2．直线：的倾斜角为 A． B． C． D． 3．若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则 A． B． C． D． 4．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是 A． B． C． D． 5．已知为坐标原点，直线：与：交于点，直线：恒过点，则的面积为 A． B． C． D． 6．一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为 A． B． C． D． 7．如图，线段，都在平面内，，平面，，，则在平面内的投影向量为 A． B． C． D． 8．空间直线经过点，且直线的方向向量为，则点到直线的距离为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，是两个不同的平面，直线的一个方向向量为，且，则下列结论正确的是 A．是的一个法向量 B．是的一个单位法向量 C．若是的一个法向量，则 D．若直线，则是的一个方向向量 10．设点，若在直线：与直线：上分别存在点，，使得为等边三角形，则的值可以为 A． B． C． D． 11．若点平面，过点作垂直于平面的直线，垂足为，则称点为点在平面上的正投影，记．如图，在直三棱柱中，，，，记平面为，平面为，是棱上一动点（与，均不重合），，，则 A． B．的最小值为 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线在轴上的截距为 ▲ ． 13．已知是圆柱的母线，在底面圆上，，，，则该圆柱的体积为 ▲ ． 14．设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知空间向量，，满足，，，，且． （1）求，，的值； （2）求． 16．（15分） 已知的三个顶点是，，． （1）证明：直线的倾斜角为钝角． （2）求与直线平行且经过点的直线的点斜式方程． （3）求边上的高所在直线的一般式方程． 17．（15分） 如图，圆锥的底面半径为6，高为6，是的直径，点，均在上，且，为的中点，点为的重心．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系． （1）求点的坐标． （2）证明：为直角三角形． （3）求点到平面的距离． 18．（17分） 如图1，在直角梯形中，，，，点在线段上，．将沿折起，使点移动到点的位置，连接，，得到如图2所示的四棱锥．设线段的中点为． （1）若，证明：平面． （2）若，求二面角的正弦值． 19．（17分） 如图，在直四棱柱中，点在上，，是的中点，． （1）证明：平面． （2）已知四边形是菱形． ①若，证明：平面． ②若为锐角，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学参考答案 1.A2.B3.C4.B5.B6.A7.C8.D9.AB10.AD11.ACD 12.613.123m14.10 15.解：)因为==2，=5.a=6,6.0=45.csa.= 4， 所以a.b=2×2×cos60°=2， …2分 i.c=2×V2×cos45°=2， 4分 a.c=2xx 4 …6分 (2)a+6-d-V(a+6-8)=Va+++2a-6-26.3-2-2 …13分 6-24<0 16.(1)证明：因 k48=0-33 …2分 所以直线AB的倾斜角为钝角。… …4分 0-63 (2)解：因为 kc=4-02, …6分 y-2=(x-3) 所以与直线BC平行且经过点A的直线的点斜式方程为 …9分 -1 (3)解：因为边BC上的高所在直线I的斜率为KBC …11分 所以1的方程 y-2=--3 2 …13分 即2x+3y-12=0,则所求直线的一般式方程为2x+3y-12=0 …15分 17.(1)解：依题意得C(6,00),P(00,6).B(06,0) …分 所以M(2,2,2) … …3分 2证明：依题意得4(0,6,0)，所以H(0,-3,3,0丽=0-3,3).0M=(22,2),…5分 则0H.0M=0×2-3×2+3×2=0, …7分 所以OF1OM,即OH⊥OM,所以△HOM为直角三角形. …9分 (3)解：由(1)可得PB=(0,66),PC=(6,0,-6) …10分 设平面PBC的法向量为m=(a,b,c), m.PB=6b-6c=0, 则m:PC=6a-6c=0,令a=1,则m=(L,1) …12分 ∠BOD= 因为 6,所以D(3,35.,0.造接DC(图路).又C(6,0),所Dc=(6-35,0) …13分 Dc.m3-33 所以点D到平面PBC的距离为 V1+1+1 …15分 【备注】 第(2)问还可以这样证明： 依题意得H(0,-3,3),0丽=(0，-3,3)，0=(2,22).M=(2,5-) …5分 所o丽=0+9+9=181oM-4+4+4=12.m=4+25+1=30 wlon"+ov"- …8分 所以OF⊥OM,即OH⊥OM,所以△H0M为直角三角形.…9分 18.(1)证明：（方法一）连接EF,依题意得△ABE,△BEF,△CEF均为等腰直角三角形， …分 则∠BEF=∠CEF=45°， …2分 则∠BEC=∠BEF+∠CEF=90°，所以EC⊥BE.…3分 4D-34B-3BC-6 (方法二)由 2 ,得AB=2,BC=4.又AB⊥AD,AE=2,所以 BE=V22+22=2W2.. …1分 为 AB=AE, AB⊥AD, 所以 ∠ABE=∠EBC=45°， 则 EC2=BE2+BC2-2BE.BC.cos45°=8，所以BE2+EC2=BC2,则EC⊥BE.…3分 又PE=AE=2,PC=2V3,所以PE2+EC2=PC2,则EC⊥PE.… …5分 因为BE∩PE=E,所以EC⊥平面PBE. …6分 (2)解：取BE的中点G,连接GP,GF.因为PB=PE=2,所以PG⊥BE.因为GF为△BCE 的中位线，所以GFEC.由(1)可知EC⊥BE,所以GF⊥BE.…8分 以G为坐标原点，GB,GF所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 易知BE⊥平面PFG.因为PF=V6,PG=GF=V2,所以 cos∠PGF=2+2-6 1 2×√2×√2 2,则 ∠PGF=120°.易得22. B(2,0.0.C(2,22,0）.D(-32,22,0 BC=(-22,22,0)CD=(-22,0,0) …11分 Pc-i=-V2x+52,-v6 2 =0, 设平面PBC的法向量为i=(:少2)，则BC-万=-22x+2V2y=0, 令x=1,得i=(,l) …3分 PC.m--Va+52 二b c=0, 2 设平面PCD的法向量为m=(ab,c),则CD.m=-2√2a=0, 令b=V5,得m=(0,V5,5) …15分 cos(m,)）= n33 则 园√35 …l6分 27_2√70 设二面角B-PC-D的平面角为B,则 ine=1- 35 -35 2V70 即二面角B-PC-D的正弦值为35.…17分 19.(1)证明：连接CD,记CD∩CD=G,连接FG. 在△CBD中，F,G分别是BC,CD的中点，所以FG/BD.…1分 因为BD,￠平面CDF,FGC平面CDF,所以BD,∥平面CDF …3分 (2)①证明：连接BD(图略)·因为四边形ABCD是菱形，∠DCB=60°，所以△BCD是等边三角 形.因为F是BC的中点，所以DF⊥BC. …4分 在直四棱柱ABCD-AB,CD中，BB,L平面ABCD,所以BB,⊥DF 因为BB∩BC=B,所以DF⊥平面BCCB,所以DF⊥CE, …5分 记CE∩CF=H(图略).因 am∠BCE=B6=}an∠FCC=CF- BC 4. CC4,所以tan∠BCE= tan∠FCC,即∠BCE=∠FCC.因为∠BCE+∠ECC=90°，所以∠FCC+∠ECC=90°，即 ∠CHC=90°.CF⊥CE.… …7分 因为CF∩DF=F,所以CE⊥平面CDF …8分 ②解：过点D作DK⊥AB,垂足为K. 以D为坐标原点，DK,DC,DD所在直线分别为x轴、'轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标 系.则D@.00）,C02,4),C0,20,DC=(0.24.Dc=(0,2.0）.-9分 DK ADsin a=2sina,AK ADcosa=2cosa. 段rk0,则-0Kna.为-号D+8)=2-a,aPa,2-s0】 …1分 则DF=(sina,2-cosa,0) mDC =0, 设平面CDF的法向量为m=(x,2),则m·DF=0, 2y+4z=0, 所以l(sina)x+(2-cosa)y=0, 1 m= 可取 2-cosa-sin a.sina …12分 i·DC cos(m,DC) 2sina DC 2 2-0aY+(i)+ …13分 sin a 1 5-4cosa+ sin2a 5-4cosa+sin2a 5-4cosa 1 V1-cos2a 4 sin a .…14分 5-4cosa 16t 16 16 -=4 1-c0s2a-t2+10t-9 9 令5-4cosa=te(1,5),则 （++10-20+10 - 当且仅当 1 5-4cosa=t=3,即 cosa)a=元 3时，等号成立，…16分 1 1 217 ≤ 5-4cosa 1 1 17 所以V1-cos2a+4 4+ 2W17 故直线CD与平面CDF所成角的正弦值的最大值为17. …17分