广西壮族自治区平南县中学等校2026-2027学年高二上学期期中联考数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 纺 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.3。 弥 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.在空间直角坐标系中，A(9,一8,8)关于x轴对称的点的坐标为 A.(9,8,-8) B.(9,8,8) 如 C.(-9,-8,8) D.(-9,8,-8) 2.直线1：√3x-y+14=0的倾斜角为 A香 B吾 n 封 3.若P,B,B1,C1四点共面，A为空间中任意一点，且A户-A言+3AB1+AC,则入= A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 4.已知{a,b,c}是空间的一个基底，则可以与向量m=a一3c,n=a十4c构成空间另一个基底 的向量是 A.a B.b C.c D.2a+c 5.已知O为坐标原点，直线l1:x一y=0与l2:x十y一2=0交于点P,直线13：kx一y十2=0恒 过点Q,则△POQ的面积为 A日 B.1 g② 2 D.2 线 6.一条光线从点P(6,4)射出，与x轴交于点Q(3,0),经x轴反射，则反射光线经过的点的坐 标可以为 A.（-3,8) B(4,-) C.(0,3) D(5,- 剂 7.如图，线段AB,BD都在平面a内，BD⊥AB,AC⊥平面a,AB=3,BD =4,则AB在平面ACD内的投影向量为 A亦 &防 C防 n 【高二数学第1页（共4页）】 B1· 8.空间直线l经过点A(3,0,0),且直线1的方向向量为s=(2,2,1),则点P(1,2,1)到直线l 的距离为 A.56 1 3 B. C⑦8 3 D46 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知a,B是两个不同的平面，直线1的一个方向向量为d=(1,2,一2)，且1⊥a,则下列结论 正确的是 A.u=(2,4,一4)是a的一个法向量 Bu=(-日，号，号)是。的-个单位法向量 C.若u=(2,2,3)是B的一个法向量，则a3 D.若直线mCa,则u=(2,2,3)是m的一个方向向量 10.设点H(0,4),若在直线11：y=√3x+4与直线l2:y=mx+4上分别存在点M,N,使得 △HMN为等边三角形，则m的值可以为 A.0 B.√3 c D.-√3 11.若点M平面a,过点M作垂直于平面&的直线，垂足为N,则称 C 点N为点M在平面a上的正投影，记N=f。(M).如图，在直三棱 柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC,BC=CC1=2W5,AC=√5，记平面P B BB,C1C为B,平面ABB1A1为Y,P是棱AC上一动点（与A,CA 均不重合)，Q1=f,[f(P)],Q2=f[f,(P)],则 AP0,∈[25,2) BPQ:的最小值为号 C.存在点P,使得PQ2平面Y D.存在点P,使得PQ1⊥PQ2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.直线7x十6y=42在x轴上的截距为▲ 13.已知AB是圆柱O01的母线，A在底面圆O上，O(0,0,0),A(1,1,一2)，B(3,3,0),则该圆 柱的体积为▲ 14.设P为直线l1:3x十y一1=0上的动点，Q为直线l2:3x十y-5=0上的动点，M是线段 PQ的中点，点A(1,10),则1|MA|的最小值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知空间向量a,b,c满足1a=b1=2,c=-2,(a,b)=60,b,c)=45,且osa,c)=写 41 (1)求a·b,b·c,a·c的值； (2)求|a+b-cl. 【高二数学第2页（共4页）】 ·B1· 16.(15分) 已知△ABC的三个顶点是A(3,2),B(0,6),C(一4,0). (1)证明：直线AB的倾斜角为钝角. (2)求与直线BC平行且经过点A的直线的点斜式方程. (3)求边BC上的高所在直线的一般式方程， 17.(15分) 如图，圆锥PO的底面半径为6，高为6，AB是⊙O的直径，点C,D均在⊙O上，且∠BOC =3∠BOD=2,H为PA的中点，点M为△PBC的重心.以O为坐标原点，0C,OB,OP 所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系. (1)求点M的坐标. (2)证明：△HOM为直角三角形 H (3)求点D到平面PBC的距离. x 【高二数学第3页（共4页）】 。B1· 18.(17分) 3 如图1，在直角梯形ABCD中，AD/BC,AB⊥AD,AD=3AB= BC=6,点E在线段AD 上，AE=2.将△ABE沿BE折起，使点A移动到点P的位置，连接PC,PD,得到如图2所 示的四棱锥P-BCDE.设线段BC的中点为F. (1)若PC=2W3,证明：EC⊥平面PBE (2)若PF=√6，求二面角B-PC-D的正弦值. E D 弥 图1 图2 19.(17分) 如图，在直四棱柱ABCD-A,B,CD,中，点E在BB,上，BE=日BB,=分，F是BC的中 8 封 点，BC=2 (1)证明：BD1平面C1DF (2)已知四边形ABCD是菱形 ①若∠DCB=60°，证明：CE⊥平面C1DF ②若∠DCB为锐角，求直线CD与平面C1DF所成角的正弦值的最大值. D C B 线 D 【高二数学第4页（共4页）】 ·B1·高二数学参考答案 1.AA(9,一8,8)关于x轴对称的点的坐标为(9,8，一8). 2.B直线L:V3x一y十14=0的斜率为3，所以该直线的倾斜角为 3.C因为P,B,B1,C1四点共面，所以1+3十λ=1，解得入=一3. 4.B向量m=a一3c,n=a十4c分别与a,c,2a十c共面，不能构成空间的一个基底. 5.B由 x-y=0, 得1， 所以P(1,1).在13中，令x=0,得y=2,所以Q(0,2),则 x+y-2=0,y=1, △P0Q的面积为2×2X1=1. 6.A点P(6,4)关于x轴对称的点为P'(6,一4).因为反射光线同时经过点P'和点Q, 且kpQ-6-3 一兰，所以反射光线所在直线的方程为y=一告（红一3》，即y=一专x十4， 一4-04 所以反射光线经过的点的坐标为(x,一号x十4)(x≤3)，放反射光线经过的点的坐标可以为 (-3,8) 7.CAD=√9+16=5.过点B作BH⊥AD,垂足为H(图略).因为AC⊥平面a,所以AC⊥ BH,又AC∩AD=A,所以BH⊥平面ACD,故AB在平面ACD内的投影向量为 1A亩os∠DAB·A 斋-号×动 8.D根据题意可得AP=(-2,2,1),|AP|=√4+4+I=3,所以点P到直线1的距离为 √-()=、0(22y-4 √/4+4+1 3 9.AB对于A,u=2a,且1a,A正确对于B,u=一34，u-√日+号+哥-1，B正确对 1+4+4 于C,u·d=2X1+2×2+3×(-2)=0,所以u⊥d,则a⊥B,C错误.对于D,由L⊥a,得l与 α内所有直线均垂直，D错误. 10.AD根据题意可得点H在l1上，也在l2上.因为△HMN为等边三角形，所以l1与L2的 夹角为60°.因为l1的倾斜角为60°，所以12的倾斜角为0°或120°，所以m=0或m=一√3. 11.ACDQ1=f,[f(P)]=f,(C),过点C作CQ1⊥AB,垂足 为Q1.过点P作PD⊥AB,垂足为D,则Q2=f[f,(P)门= fe(D),过点D作DQ2⊥BC,垂足为Q2: 如图，以Q1为坐标原点，AB所在直线为x轴，Q1C所在直线ADQ B 为y轴，建立平面直角坐标系.设AD=m,m∈(0,1)，则Q1(0,0),C(0,2),B(4,0),D(m 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 ·B1· -1,0),P(m-1,2m).设Q2(x,y),则CQ2=(x,y-2),CB=(4,-2),可得CQ2= gci,则x-y-2-即Q(智，2-2).由PQ-1-m,-2m).得1PQ1= Va-m)+m-√5m-2m+1.由m∈(0,1)，得5m2-2m+1∈[号，4)，则FQ:∈ [25,2)A正确 由过-(5”，0)，得11-V7+(写 5, 5 29m-50m+25),当m器时，PQ:取得最小值，最小值为2，B错误 5 假设存在点P,使得PQ/俨面y,则PQAB,所以2m=2-2 则m= 6∈(0,1)，C正确。 假设存在点P,使得PQ,⊥PQ,则P.PQ,=1-m)5-m）_2m(10-12m）=0,解 得m 13±2∈(0,1)，D正确. 25 12.6令y=0,得x=6,所以直线7x+6y=42在x轴上的截距为6. 13.12v3π根据题意可得底面圆的半径为OA=√(1-0)2十(1-0)2+(-2-0)2=√1+1+4 =√6，AB=√(3-1)2+(3-1)2+(0十2)2=√4+4+4=2√3，所以该圆柱的体积为π× (W6)2×2√3=12√5π. 14.√10依题意可知，点M在l1与l2之间，且M到这两条直线的距离相等，所以点M在平 行于这两条直线的直线上.设该直线的方程为3x十y十c=0,则c+1L=c+5 ,解得c √32+1平√32+1 =一3，故|MA|的最小值为点A(1,10)到直线3x十y一3=0的距离，即- 10 32+12 =√10. 15.解：1)因为a-b1=2,c=2,a,b)=60,b,c)=45,cosa,c)=2 折所以a·b=2X2Xcos60°=2，… …2分 b·C=2XW2Xc0S45°=2，… …4分 a·c=2X2X/21.…6分 (2)|a+b-c|=√(a十b-c)2=w√a2+b2+lc2+2a·b-2b·c-2a·c=√8= 2W2.…13分 6-24 16.(1)证明：因为ka-0-3一3<0， …2分 所以直线AB的倾斜角为钝角.…4分 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 ·B1- (2解：因为c=9。-号， 6分 所以与直线BC平行且经过点A的直线的点斜式方程为y一2= 3 (x-3). …9分 2 (3)解：因为边BC上的高所在直线l的斜率为 R BC 3 …11分 2 所以1的方程为y一2=一3(x一3)，… …13分 即2x十3y一12=0，则所求直线的一般式方程为2x十3y一12=0.…15分 17.(1)解：依题意得C(6,0,0),P(0,0,6),B(0,6,0),…1分 所以M(2,2,2).…3分 (2)证明：依题意得A(0,-6,0),所以H(0,-3,3),Oi=(0,-3,3),OM=(2,2,2), … …5分 则0i.OM=0X2-3X2+3X2=0,… …7分 所以Oi⊥OM,即OH⊥OM,所以△HOM为直角三角形.…9分 (3)解：由(1)可得PB=(0,6,-6),PC=(6,0,-6).…10分 设平面PBC的法向量为m=(a,b,c), m·PB=6b-6c=0 则 令a=1,则m=(1,1,1).…12分 m·PC=6a-6c=0 因为∠B0D-,所以D(3,33,0).连接DC(图略).又C(6,0,0),所以D元-(3，-33,0)， …13分 所以点D到平面PBC的距离为 Dc.ml=13-331-3-3. …15分 m W1+1+1 【备注】 第(2)问还可以这样证明： 依题意得H(0,-3,3),Oi=(0,-3,3),Oi=(2,2,2),HM=(2,5,-1),…5分 所以1Oi12=0+9+9=18,1OM2=4+4+4=12,1HM12=4+25+1=30, 则|Oi12+|OM2=|HM2,… …8分 所以Oi⊥OM,即OH⊥OM,所以△HOM为直角三角形.… 9分 18.(1)证明：（方法一）连接EF,依题意得△ABE,△BEF,△CEF均为等腰直角三角形，… ……1分 则∠BEF=∠CEF=45°，… 2分 则∠BEC=∠BEF+∠CEF=90°，所以EC⊥BE. 3分 (方法)由AD=3AB=号BC=6,得AB=2,BC=4.又ABLAD,AE=2,所以BE= W√22+22=2√2. …1分 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 ·B1- 因为AB=AE,AB⊥AD,所以∠ABE=∠EBC=45°，则EC2=BE2+BC2一2BE·BC· C0s45°=8，所以BE2十EC2=BC2,则EC⊥BE.…3分 又PE=AE=2,PC=23,所以PE2十EC2=PC2,则EC⊥PE.…5分 因为BE∩PE=E,所以EC⊥平面PBE.…6分 (2)解：取BE的中点G,连接GP,GF.因为PB=PE=2,所以P PG⊥BE.因为GF为△BCE的中位线，所以GF∥EC.由(1)可 知EC⊥BE,所以GF⊥BE.…8分 以G为坐标原点，GB,GF所在直线分别为x,y轴，建立如图所 示的空间直角坐标系。 易知BE⊥平面PFG.因为PF=√6，PG=GF=√2，所以cos∠PGF= 2+2-6 1 2X√2X√2 2, 则∠PGF=120易得P0,-要)，B6,00,C(-2,22,0,D(-3v,2E.0 则元-(-，5，-9).-(-2.2,0.i-(-22,0.0 …11分 P心.n=-2z+5y-5 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则 2 y- 22=0, BC.n=-2W2x+2W2y=0, 令x=1,得n=(1,1w3). …13分 设平面PCD的法向量为m=(a,b,c),则 庇m-a+- Ci.m=-22a=0, 令b=√3，得m=(0W3,5),… …15分 则cos(m,n)=m·n=33 ml|n|√35 …16分 27 设二面角B-PC-D的平面角为0，则sin0= 2√70 35 35, 2w70 即二面角B-PCD的正弦值为35， …17分 19.(1)证明：连接CD1,记CD1∩C1D=G,连接FG 在△CBD1中，F,G分别是BC,CD1的中点，所以FGBD1.…1分 因为BD1中平面C1DF,FGC平面C1DF,所以BD1平面C1DF.…3分 (2)①证明：连接BD(图略).因为四边形ABCD是菱形，∠DCB=60°，所以△BCD是等边 三角形.因为F是BC的中点，所以DF⊥BC.…4分 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD,所以BB1⊥DF. 因为BB1∩BC=B,所以DF⊥平面BCC1B1,所以DF⊥CE.…5分 记CEOCE=H(图略.因为tan∠BCE-C-,tan∠FC,C三CF-1 CC=4,所以 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 ·B1· tan∠BCE=tan∠FC1C,即∠BCE=∠FC1C.因为∠BCE+∠ECC1=90°，所以∠FC1C+ ∠ECC1=90°，即∠CHC1=90°，C1F⊥CE.…7分 因为C1F∩DF=F,所以CE⊥平面C1DF.…8分 ②解：过点D作DK⊥AB,垂足为K. 以D为坐标原点，DK,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直 角坐标系，则D(0,0,0),C1(0,2,4),C(0,2,0),DC1=(0,2,4),DC=(0,2,0).…9分 设∠BAD=a∈(0，），则DK=ADsin a=2sina,AK=ADcos a-=2cosa. 设F0,则，=号DK=na,=名(CD+BK)=2 cosa,即F(Sina,2-Cosa,0),… 11分A B DF=(sin a,2-cos a,0). m·DC=0, 设平面CDF的法向量为m=(x,y,之)，则 m.D京=0， 2y+4z=0, 所以 (sin a)x+(2-cos a)y-0, 1 可取m=(2-cosa,-sina,2sina) 12分 los(m,Dd1=lm·Dd 2sin a …13分 mDC] /(2-c0sa)+(-sina)+(sina)'x2 sin a 1 1 …14分 /5-4cos a+ 4sin'a 5-4cos a+ 4sin'a 5-4cos&+ N 1-cos'a 4 sin a 16t 16 16 令5-4 cOsa-t∈(1,5)，则-cos0 -t2+10t-9 -(+)+10 -+10 =4,当且仅当5-4cosa=t=3,即cosa= 2a=3时，等号成立， …16分 1 所以 12W√17 +中 17.故直线CD与平面CDF所成角的正弦值的最大 值为29. 17分 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】 ·B1·