精品解析：浙江杭州市钱塘区学正中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

钱塘区学正中学九上数学月考试卷 一、选择题（本题有10小题、每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 篮球运动员投篮一定命中 B. 买了彩票一定中奖 C. 任意投掷一枚图钉，钉尖朝下 D. 任选三角形的两边，其和大于第三边 2. 已知的半径为3，平面内一点P到圆心O的距离，则点P在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 无法确定 3. 将抛物线 向下平移3个单位长度后，所得新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正多边形的一个内角为，则这个多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形 5. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F．已知，，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③； ④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，将绕C点按顺时针方向旋转到，点E恰好落在上，若，则旋转的角度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（ ） A. B，E，F，D四点共线 B. E为的重心 C. D. 10. 如图①，在四边形中，，，，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，点同时从点出发沿以的速度匀速运动至点，规定其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点，运动时，随时间变化的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时，是等腰三角形 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则________． 12. 对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下，根据表中的数据，估计出售件衬衣，其中合格产品约有______件． 抽取件数 合格频数 合格频率 13. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为__________．（结果保留根号） 14. 如图，阴影部分是以点为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 15. 已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，若点的横坐标是，则点的横坐标是______． 16. 如图，在中，，，，点在上，作，交边于点，过点，，的交于点，连接，，．若，则的长为______． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分） 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求b的值． （2）求该函数图象与x轴的交点坐标． 18. 为了丰富学生课余生活，某校每周开展丰富多彩的课后拓展课程，并于开学初进行线上自主选课报名．小欢和小喜打算从以下三个课程里各自随机选择一个：①甬城建筑几何探秘；②日常生活函数循迹；③科创百态AI建模． （1）小欢选择课程③的概率为______． （2）用画树状图或列表的方式，求小欢和小喜选择同一课程的概率． 19. 如图，在中，点D是的中点，在上取点E，使． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图中作的中线． （2）在图中作出的高线． （3）在图中作一点，使得． 21. 如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，连接．已知，． （1）求证：； （2）求弦的长． 22. 2026年1月，某校举办了体育节活动．901班学生为了备赛班级篮球赛，利用生活材料制作出一种练习投篮动作的投篮设备． 如图1是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以水平地面所在的直线为轴，过点作垂线为轴建立平面直角坐标系如图2所示．篮球的运动轨迹可以用二次函数刻画，篮球运动的水平距离（米）与篮球距离水平地面的竖直高度（米）的变化规律如下表： 水平距离/米 0 1 2 竖直高度/米 2 3 3 （1）根据上表，请确定篮球运动轨迹的函数表达式； （2）求篮球飞行的最大高度． 23. 在平面直角坐标系中，已知y关于x的二次函数（m为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）若点，其中． ①若的最大值是1，求m的值； ②若点也在抛物线上，且对于，，都有，求m的取值范围． 24. 如图①，的直径交弦于点M，，连接，过点B作于点C，交于点E，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图②，若，的半径为4，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 钱塘区学正中学九上数学月考试卷 一、选择题（本题有10小题、每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 篮球运动员投篮一定命中 B. 买了彩票一定中奖 C. 任意投掷一枚图钉，钉尖朝下 D. 任选三角形的两边，其和大于第三边 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，明确各类事件的定义是解题关键． 结合各类事件特征及三角形三边关系定理对选项进行判断． 【详解】解：必然事件是在一定条件下必定发生的事件， 根据三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，可知选项中的事件是必然事件， 选项、、中的事件均为可能发生也可能不发生的随机事件． 故选：． 2. 已知的半径为3，平面内一点P到圆心O的距离，则点P在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与圆半径的大小关系与点与圆的位置关系是解题的关键． 由小于的半径为3，据此即可判断点的位置． 【详解】解：∵的半径，点到圆心的距离 ∴， ∴点在⊙内． 故选C． 3. 将抛物线 向下平移3个单位长度后，所得新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则“上加下减”，向下平移直接改变常数项求解即可． 【详解】解：∵将抛物线向下平移3个单位， ∴新表达式为， 化简得 ， ∴所得新抛物线的表达式为， 故选C． 4. 已知正多边形的一个内角为，则这个多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，先求出正多边形的一个外角是，再用外角和除以外角即可得到边数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∴这个正多边形的边数为， 即正多边形是正十二边形， 故选D． 5. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理(直径所对的圆周角为直角，圆周角的度数等于所对弧度数的一半)，关键是利用直径的性质和圆周角与弧的度数关系求解． 【详解】解：如图，连接． ∵是半圆的直径， ∴． ∵， 在中，． ∴的度数为； 故选：C． 6. 如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F．已知，，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，得出，根据已知条件即可求解． 【详解】解：∵， ， ∵，，， ， 解得：， 故选：B． 7. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③； ④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 【详解】解：由抛物线的开口方向向下可推出， 因为对称轴在轴右侧，对称轴为， 而，所以， 由抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，可知， 故，①正确； 由图象知，当时，， ，故②正确； 对称轴， ， ， 故③错误； 抛物线与轴有两个交点， ， 故④正确； 故选：C． 8. 如图，将绕C点按顺时针方向旋转到，点E恰好落在上，若，则旋转的角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，旋转的性质以及等腰三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 先求出的度数，根据旋转的性质，得到，进而得到，利用三角形内角和定理，求出，即可得解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵将绕C点按顺时针方向旋转到， ∴， ∴， ∴， ∴旋转的角度为． 故选B． 9. 如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（ ） A. B，E，F，D四点共线 B. E为的重心 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵四边形与为菱形， ∴对角线互相垂直平分， 即垂直平分线段，垂直平分线段， ∴B，E，F，D四点共线， 故该选项正确，不符合题意； B.如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形，且相似比为2， ∴， ∴， 不满足三角形重心的性质， ∴点E不是的重心， 故该选项错误，符合题意； C. 如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， 假设，由选项B可得，，， 由勾股定理得，， ∴， 故该选项正确，不符合题意； D. 如图所示，连接交于点，连接，延长交于点， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 10. 如图①，在四边形中，，，，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，点同时从点出发沿以的速度匀速运动至点，规定其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点，运动时，随时间变化的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时，是等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】图②的三个关键点对应点的三个位置：时到、时到、时两个动点同时停止．先把时间还原成线段长，再分段用“底乘高的一半”写出，最后逐项验证． 【详解】解：由图②可知，当时点运动到点，当时点运动到点． ∵点的速度为， ∴，与题设相符． 当时，点在上，；点在上，． ∵， ∴． 由图②，时，取得最大值， ∴，故B错误． ∴，故A错误． 当时，令，得， ∴， ∴或，其中不在内，舍去， ∴当时，也成立，故C错误． 当时，点在上，点在上， 此时，， 过点作于点（如图）， ∵，，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴， ∴． ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形，故D正确． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质． 根据比例关系设参数表示变量，代入表达式计算即可． 【详解】解：由， 设，（）， 则． 故答案为：． 12. 对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下，根据表中的数据，估计出售件衬衣，其中合格产品约有______件． 抽取件数 合格频数 合格频率 【答案】 【解析】 【分析】当抽取的样本量足够大时，合格频率会稳定在某一固定数值附近，可利用该稳定频率估计衬衣的合格概率，再结合总出售数量计算合格产品的估计值． 【详解】解：观察表格中的合格频率数据，当抽取件数为件、件时，合格频率均为，随着抽取样本量增大，合格频率逐渐稳定在附近， 可估计这批衬衣的合格概率约为， 出售件衬衣时，合格产品的估计数量为件． 13. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为__________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割及二次根式的应用，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ． 因为， 所以． 故答案为：． 14. 如图，阴影部分是以点为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】根据，利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解： ． 15. 已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，若点的横坐标是，则点的横坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．将两个函数进行联立，根据根与系数的关系进行计算． 【详解】解：二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点， ， 即， 故， 由于点的横坐标是， 故点的横坐标是． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，点在上，作，交边于点，过点，，的交于点，连接，，．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先用勾股定理求出斜边的长，由圆周角定理推出是圆的直径，得到；结合，利用同弧所对圆周角相等证出是等腰直角三角形，得到，；再根据相似三角形对应边成比例，表示出；推导出是中点，求出到的距离；利用四边形面积的两种表达形式列方程求出，最后算出的长度． 【详解】解：，，， ， ，点在上， 是的直径， ， ， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形 ，， 设，则， ， ，， ，， ，， 是中点，， 过点作于，于， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∵是中点， ，， ，即 解得（舍去），或， ． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分） 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求b的值． （2）求该函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1）1 （2）交点坐标为， 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式和函数图象与x轴的交点问题，解题关键是牢记待定系数法的求解方法并且正确计算． （1）直接将代入解析式求解即可； （2）令，解一元二次方程后即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 令， ∴， ∴， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为，． 18. 为了丰富学生课余生活，某校每周开展丰富多彩的课后拓展课程，并于开学初进行线上自主选课报名．小欢和小喜打算从以下三个课程里各自随机选择一个：①甬城建筑几何探秘；②日常生活函数循迹；③科创百态AI建模． （1）小欢选择课程③的概率为______． （2）用画树状图或列表的方式，求小欢和小喜选择同一课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图求概率、概率公式等知识点，正确画出树状图是解题的关键． （1）先找出所有符合条件的情况数，再根据概率的计算公式进行计算即可； （2）根据题意画出树状图或列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小欢可以选①②③三个课程中的任意一种，因此小欢选择课程③的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：方法一：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能结果，其中小欢和小喜选择同一课程的结果有3种，所以概率为． 方法二：根据题意列表如下： 小欢 小喜 ① ② ③ ① （①，①） （②，①） （③，①） ② （①，②） （②，②） （③，②） ③ （①，③） （②，③） （③，③） 由表格可知，共有9种等可能结果，其中小欢和小喜选择同一课程的结果有3种，所以概率为． 19. 如图，在中，点D是的中点，在上取点E，使． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴． （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、线段的中点、线段的和差等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接根据两组对应角相等的三角形相似即可证明结论； （2）由线段的中点可得，由（1）得，再利用相似三角形的性质可得，最后利用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点D是的中点， ∴， 由（1）得， ∴，即，解得：， ∴． 20. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图中作的中线． （2）在图中作出的高线． （3）在图中作一点，使得． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2） 解：如图，即为所求． （3） 解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查无刻度的直尺、网格特征、垂直平分线的性质及圆周角定理，熟练掌握网格特征是解题关键． （1）取格点、，连接交于，连接，即为所求； （2）取格点、，连接、，、交于点，连接并延长，交于，即为所求． 取格点，连接，交于，即为所求； （3）根据网格特征，作、的垂直平分线，交于点，可得点为的外接圆的圆心，根据圆周角定理即可得出． 【小问1详解】 由网格特征可得，四边形是矩形， ∴，即点为中点， ∴为的中线． 【小问2详解】 由网格特征可得：，， ∴、是边、边的高所在直线， ∴为边的高． 【小问3详解】 ∵、的垂直平分线交于点， ∴点为的外接圆的圆心， ∴与是所对的圆周角和圆心角， ∴． 21. 如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，连接．已知，． （1）求证：； （2）求弦的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵点C为的中点， ∴， ∴； （2）弦的长为． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理． （1）连接，利用圆周角定理和垂径定理即可证明； （2）利用圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据垂径定理得到，，接着计算出得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与的交点为， 为直径， ， 在中，， 点是中点． ， ， ， ， 在中，． 22. 2026年1月，某校举办了体育节活动．901班学生为了备赛班级篮球赛，利用生活材料制作出一种练习投篮动作的投篮设备． 如图1是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以水平地面所在的直线为轴，过点作垂线为轴建立平面直角坐标系如图2所示．篮球的运动轨迹可以用二次函数刻画，篮球运动的水平距离（米）与篮球距离水平地面的竖直高度（米）的变化规律如下表： 水平距离/米 0 1 2 竖直高度/米 2 3 3 （1）根据上表，请确定篮球运动轨迹的函数表达式； （2）求篮球飞行的最大高度． 【答案】（1）； （2）篮球飞行的最大高度为米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求法与二次函数的最值问题，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及配方法将一般式化为顶点式是解题的关键． （1）已知二次函数表达式为，表格中给出了两组非原点的点和，将其代入函数表达式，得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可确定函数表达式． （2）将第（1）问求出的二次函数表达式化为顶点式，利用二次函数顶点式的性质，直接得到顶点的纵坐标，即为篮球飞行的最大高度． 【小问1详解】 解：∵二次函数过点和 ∴， 解得，， ∴篮球运行轨迹的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴二次项系数，抛物线开口向下，当时，取得最大值， ∴篮球飞行的最大高度为米． 23. 在平面直角坐标系中，已知y关于x的二次函数（m为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）若点，其中． ①若的最大值是1，求m的值； ②若点也在抛物线上，且对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为． （2）①；②或． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，包括二次函数的顶点式、对称轴、单调性，以及利用这些性质求函数最值和根据函数值大小关系求解参数范围．解题关键在于熟练掌握二次函数顶点式的运用，准确分析对称轴与给定区间的位置关系，根据函数单调性判断最值情况，对于根据函数值大小列不等式求解参数范围的问题，要结合变量的取值范围进行分析． （1）先将代入二次函数表达式，再通过配方法将二次函数化为顶点式（为顶点坐标），从而得到顶点坐标． （2）①先将二次函数化为顶点式，确定其对称轴，再根据，结合二次函数的性质（时，开口向上，对称轴左侧单调递减，对称轴右侧单调递增 ）来确定取最大值的情况，进而求出的值． ②先分别求出和的表达式，再根据列出不等式，结合的取值范围求解的取值范围． 【小问1详解】 解：①当时，函数变为 ∴． ∴． ∴该二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴其对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴函数图象开口向上． ∵，在对称轴处取得函数最小值，在离对称轴较远的端点处取得最大值． 比较端点与的距离为，端点与的距离为， ∴当时，取得最大值． 把代入函数中，可得，即． ∵的最大值是， ∴， 解得． ②∵点在抛物线上， ∴． ∵点在抛物线上，且， ∴． ∵对于，，都有， ∴．的取值范围是， ∴在取值范围内的最大值在或处取得． 当时，； 当时，， ∴最大值为． ∴，移项化为． 对于一元二次方程， ， ∴，． ∵， ∴或． 24. 如图①，的直径交弦于点M，，连接，过点B作于点C，交于点E，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图②，若，的半径为4，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∵， ∴； （2） 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）的长为． 【解析】 【分析】（1）连接，，利用证明，推出，即，再证明即可； （2）连接，先证明，再利用证明即可； （3）设，得到，，，证明，，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：设， ∵的半径为4， ∴，，， ∵，， ∴、， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $