精品解析：浙江省杭州市钱塘区养正中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）

2025学年第一学期 养正教育集团九年级（数学）闯关训练（二） 2025年12月 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共3分） 1. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，，．若以点B为圆心，以4cm长为半径作OB，则下列选项中的各点在外的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 如图，是等边外接圆上的点，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图1是第七届国际数学教育大会()的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．如果已知， ，则的值是( ) A. B. C. D. 7. 假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（ ） A. B. C. D. 8. 西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角，则的长度为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 9. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（ ） A. 只有甲同学正确 B. 乙和丙同学都正确 C. 甲和乙同学正确 D. 三个同学都正确 10. 已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①；②二次函数和图像关于轴对称；③；所有正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果，则_____． 12. 一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球、个白球，这些小球除颜色外无其他差别，小明同学从袋子中随机摸出个小球，则摸出的小球是红球的概率是_____． 13. 如图，在中，是的直径，，垂足为，，，则的半径是________． 14. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是________m． 15. 在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是________． 16. 如图，边长为的正方形内放置了个大小相等的小正方形，且，，，四个顶点分别在正方形的四条边上，则每个小正方形的边长是______． 三．解答题（共7小题） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 第八届养正教育集团学科文化节即将举行，特设立了抽奖环节．设有四张除正面图案不同外，其余都相同的卡片，正面印有“诚、毅、勤、朴”图案．卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上． （1）若小正同学随机翻开一张，求抽到“诚”图案的概率． （2）这四张卡片分别对应价值为40元，35元，30元，25元的4件奖品，若小景同学连续抽取两张卡片（不放回），请通过列表或树状图分析两次抽取奖品总值不低于65元的概率． 19. 如图，中，，为上任意一点，，． （1）求证：； （2）若，且的面积为，求四边形的面积． 20. 如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求的度数； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 21. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，) （1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)； （2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)． 22. 在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ （2）若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 23. 已知二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1． （1）求的值； （2）设点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求的值；②若，求的最小值． 24. 如图①，点是圆劣弧上的一个动点（不与点，重合），且满足， （1）求证：为等边三角形； （2）若，，求的长； （3）如图②，是内一点，，，，点在劣弧上运动的过程中，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期 养正教育集团九年级（数学）闯关训练（二） 2025年12月 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共3分） 1. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是， 故选：B． 2. 如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率，求出相应部分所占整体的几分之几是解决问题的关键． 求出黄色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】解：黄色区域圆心角：， ∴转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是：， 故选：C． 3. 如图，在矩形中，，．若以点B为圆心，以4cm长为半径作OB，则下列选项中的各点在外的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BD的长，进而得出点A，C，D与⊙B的位置关系． 【详解】解：连接BD， 在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， ∵∠B＝90°， ∴BD5， ∵AB＝3＜4，BD＝5＞4，BC＝4， ∴点D在⊙B外，点C在⊙B上，点A在⊙B内． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①如果点P在圆外，那么d＞r；②如果点P在圆上，那么d＝r；③如果点P在圆内，那么d＜r．反之也成立． 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中图形的位似变换，熟练掌握位似三角形的有关性质是解题的关键．根据题意知，由，知位似比为，又由，根据对应边的比等于位似比即可求解的长． 【详解】解： ∵，， ∴，． ∵与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：D． 5. 如图，是等边外接圆上的点，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理，由等边三角形的性质和圆内接四边形的性质可得，再根据三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 如图1是第七届国际数学教育大会()的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．如果已知， ，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，得出，在中，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ， ∴， 在中，， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数关系是解题的关键． 7. 假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为，利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：设二次函数解析式为， 把、和代入得，， 解得， ∴二次函数解析式为， 故选：． 8. 西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角，则的长度为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算．根据弧长公式代入计算即可． 【详解】根据弧长公式， 可得的长度为． 故选：B 9. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（ ） A. 只有甲同学正确 B. 乙和丙同学都正确 C. 甲和乙同学正确 D. 三个同学都正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，全等三角形的判定和性质，在中，依据三角形外角及已知可得，结合等腰三角形易证；结合，易证，得到；当时，结合已知求得，易证，依据等腰三角形“三线合一”得． 【详解】解：在中， ， ， ，， ， ， 甲同学正确； ，，， ， ， 乙同学正确； 当时， ， ， ， ， ， ， 即为的中点， 丙同学正确； 综上所述：三个同学都正确． 故选：D． 10. 已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①；②二次函数和图像关于轴对称；③；所有正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，中心对称图形的性质，利用对称轴方程可得，即可判定①；由可判定②；设，则点关于点的对称点的坐标为，可得点在二次函数的图像上，即得点和点关于点对称，即可判定③，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点， ∴，对称轴为直线， 即， 解得，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴互为相反数， ∴二次函数和图像关于轴对称，故②正确； 如图，点在二次函数的图像上，点在二次函数的图像上，设，则点关于点的对称点的坐标为， 把代入，得， 把代入，得， ∴点在二次函数的图像上， 即点和点关于点对称， ∴，故③正确； 综上，正确的结论为①②③，共个， 故选：． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的代数形式变形以及比例的性质，解决本题的关键是将分式进行变形求解． 由代入求解即可． 【详解】解：∵， 则． 故答案为：． 12. 一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球、个白球，这些小球除颜色外无其他差别，小明同学从袋子中随机摸出个小球，则摸出的小球是红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据概率的定义直接计算即可，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：∵袋子中共有个小球，随机摸出个小球，共有种等可能情况，其中摸出红球的情况有种， ∴摸出的小球是红球的概率为， 故答案为：． 13. 如图，在中，是的直径，，垂足为，，，则的半径是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，先由垂径定理得，设的半径为，再由勾股定理得到，然后解方程求出即可．熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的半径为5． 故答案为：5． 14. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是________m． 【答案】10 【解析】 【分析】根据铅球落地时，高度，实际问题可理解为当时，求的值即可； 【详解】 当时，得： ， 解得：，（舍去） 即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 故答案为：10 【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用时求出的值是解题关键． 15. 在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作的高，，根据题意可得，，在中，根据三角函数可得，即，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，作的高，， 是锐角三角形， ，在的内部， ，， 在中，，， ， ， 又， ， 故答案为：． 16. 如图，边长为的正方形内放置了个大小相等的小正方形，且，，，四个顶点分别在正方形的四条边上，则每个小正方形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，二元一次方程组，勾股定理，先证明，，得到，，设，，则，，，，由，可得方程组，解方程组可得的值，再利用勾股定理即可求出小正方形的边长，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， 设，， 则，，，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴小正方形的边长是， 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （）把特殊角的三角函数值代入计算即可； （）把特殊角的三角函数值代入计算即可； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 第八届养正教育集团学科文化节即将举行，特设立了抽奖环节．设有四张除正面图案不同外，其余都相同的卡片，正面印有“诚、毅、勤、朴”图案．卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上． （1）若小正同学随机翻开一张，求抽到“诚”图案的概率． （2）这四张卡片分别对应价值为40元，35元，30元，25元的4件奖品，若小景同学连续抽取两张卡片（不放回），请通过列表或树状图分析两次抽取奖品总值不低于65元的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的基本计算方法，解决本题的关键是通过列举所有可能的情况来求解概率． （1）直接计算单一事件的概率即可． （2）列出所有可能的抽取组合，然后找出符合条件的组合，再计算概率． 【小问1详解】 解：总共有4张卡片，分别是“诚”、“毅”、“勤”、“朴”． 抽到“诚”图案的情况只有1种， 因此，抽到“诚”图案的概率为：． 【小问2详解】 解：四张卡片标上对应的价值：“诚”40元，“毅”35元，“勤”30元，“朴”25元． 用列表法来分析所有可能的抽取组合（不放回抽取）： 第一次抽取 第二次抽取 总值（元） 诚 (40) 毅 (35) 75 诚 (40) 勤 (30) 70 诚 (40) 朴 (25) 65 毅 (35) 诚 (40) 75 毅 (35) 勤 (30) 65 毅 (35) 朴 (25) 60 勤 (30) 诚 (40) 70 勤 (30) 毅 (35) 65 勤 (30) 朴 (25) 55 朴 (25) 诚 (40) 65 朴 (25) 毅 (35) 60 朴 (25) 勤 (30) 55 总共有12种可能的抽取组合． 找出总值不低于65元的组合：（诚，毅）、（诚，勤）、（诚，朴）、（毅，诚）、（毅，勤）、（勤，诚）、（勤，毅）、（朴，诚），共8种． 因此，两次抽取奖品总值不低于65元的概率为：． 19. 如图，中，，为上任意一点，，． （1）求证：； （2）若，且的面积为，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）利用平行线的性质可得，，进而根据相似三角形的判定即可求证； （）由已知可得，再利用相似三角形的性质可得，，进而根据解答即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求的度数； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点．灵活运用垂径定理是解答关键． （1）如图：连接，由垂径定理可得，则，再根据圆周角定理求得的度数． （2）设，则，求出，得到，则，解得，由勾股定理得到，最后根据即可解答． 【小问1详解】 解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，) （1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)； （2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)． 【答案】（1）点C到直线的距离约为13.8cm （2）点A到直线的距离约为21.5cm 【解析】 【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答； （2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：如图2，过点C作，垂足为N 由题意可知，， 在中， ， ∴． 答：点C到直线的距离约为． 【小问2详解】 解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F， ∴ 在中，，， ∴， ∴． 答：点A到直线的距离约为21.5cm． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确的理解正弦、余弦的定义是解答本题的关键． 22. 在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ （2）若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）元 （2）售价定为元时，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其蕴含的函数关系，并列出解析式，也要求熟练掌握二次函数的性质． （1）设每个毛绒玩具售价定为元，，先表示出上涨的价格，然后得出销售量与售价的关系式； （2）根据单价利润乘以销售量等于总利润列出关系式，再根据获利不得高于进价的得到自变量的取值范围，然后由二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每个毛绒玩具售价定为元，， 该毛绒玩具每天的销售量为， 根据题意得， 解得，， 尽可能让利于顾客， ，即每个毛绒玩具售价定为元； 【小问2详解】 设每天销售玩具所获利润为元， ， 获利不得高于进价的， ， 解得， ， 当时，随着的增大而增大， 当时，最大，此时， 若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是元． 23. 已知二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1． （1）求的值； （2）设点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求的值；②若，求的最小值． 【答案】（1）4 （2）①或；②2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的顶点式，非负数的应用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质． （1）先将二次函数化为顶点式求解出顶点横坐标，再由顶点横坐标大1求解即可； （2）根据可求解点A的坐标，再由将点B坐标代入函数中即可求解m的值； ②将代入函数中可求解，再将点B坐标代入函数中即可求解m与n的关系，由此可求解最值． 【小问1详解】 解：二次函数， ∴该函数的顶点横坐标为1， ∵二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1， ∴二次函数（为常数）的顶点横坐标为2， 又二次函数， ∴，解得； 【小问2详解】 解：①∵，且点在抛物线上， ∴，即， ∵，且点在抛物线上， ∴， 整理可得， 解得或； ②∵，且点在抛物线上， ∴，即， ∴点，即点 ∵点在抛物线上， ∴， 即， ∵，则， ∴， ∴的最小值为2． 24. 如图①，点是圆劣弧上的一个动点（不与点，重合），且满足， （1）求证：为等边三角形； （2）若，，求的长； （3）如图②，是内一点，，，，点在劣弧上运动的过程中，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2） （3） 【解析】 【分析】（）由圆周角定理可得，，即得，即可求证； （）延长至点，使，则，可证是等边三角形，即得，，再证明即可求解； （）延长至点，使得，过点作于点，由（）知是等边三角形，，即得，得到，，即得到，又由得到，即得，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作的延长线交于点，可得，，，得到是等边三角形，即得，，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，得到，即得，得到，即可得，，得，进而利用勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，延长至点，使，则，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又由圆周角定理得，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长至点，使得，过点作于点，连接， 由（）知，是等边三角形，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作的延长线交于点，如图所示， 则，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）知为等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，旋转的性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $