精品解析：广东省清远市清城区飞来湖中学2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷

2025—2026学年第一学期教学质量检测 九年级数学试题 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，菱形中，，，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为（　　） A. B. C. D. 6. 数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 黄球 C. 红球 D. 白球 7. 下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 邻边相等 8. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（ ） A. 135° B. 90° C. 45° D. 22.5° 9. 如图，四边形是菱形，对角线，，于点H，则长为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程则值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 0 二、填空题：本小题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知一元二次方程 的两根为、，则 ________ 12. 如果，那么_______． 13. 已知是方程的一个根，则的值为____． 14. 如图，小逸同学利用刻度尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点A，B分别对应刻度尺上的刻度1和7，D为的中点，若，则的长为_______． 15. 如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且，OC与EF交于点G．下列结论中：①是等腰直角三角形；②四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；③；④．正确的有_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分， 16. 用适当的方法解一元二次方程： 17. 如图，在中，，点为的中点，连接并延长至点，使得，连接、．求证：四边形是菱形． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且，求k的值． 四、解答题（一）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 20. 在争创全国文明典范城市活动中，某校举行了创文明城市知识竞赛，全校1800名学生都参加了此次大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机从参赛学生中抽取了200名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 10 30 40 m 50 频率 n 请根据以上信息，完成下列问题： （1）______； （2）请补全频数分布直方图； （3）某班恰有2名男生和1名女生的初赛成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加复赛，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 21. 如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________． 23. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． （1）下面是垂美四边形的是_____；（填序号） ①平行四边形 ②矩形 ③ 菱形 （2）如图，已知四边形是垂美四边形，则边，，，存在怎样的数量关系?并说明理由； （3）如图，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，证明四边形是矩形； （4）如图，分别以的边，为边向外作正方形和正方形，连接，，，若是直角三角形，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期教学质量检测 九年级数学试题 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 如图，菱形中，，，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的性质和利用勾股定理求边长是解题的关键； 先利用菱形的性质求得，，再利用勾股定理求得，从而可求菱形的周长． 【详解】解： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∴菱形的周长为， 故选：A． 3. 已知，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴只有D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键． 4. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 5. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把常数项移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方，配成完全平方的形式，从而可得答案． 【详解】解：由原方程移项，得， 等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方得，即； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方． 6. 数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 黄球 C. 红球 D. 白球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到三种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为， ∵抽到白球的概率为，抽到黄球的概率为，抽到红球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是黄球， 故选：B． 7. 下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 邻边相等 【答案】A 【解析】 【分析】通过矩形和菱形的性质逐一分析即可． 【详解】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等，②矩形的四个角都是直角，③矩形的对角线互相平分且相等； 菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角， 所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键． 8. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（ ） A. 135° B. 90° C. 45° D. 22.5° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系．根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 9. 如图，四边形是菱形，对角线，，于点H，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线互相平分且垂直，可根据勾股定理得的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱形的高． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 又∵，即， 解得：， 故选：C． 10. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程则值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的新定义，理解题意是解题的关键．根据“和谐”方程和“美好”方程的定义，分别列出关于m和n的方程，联立求解得出m和n的值，进而计算． 【详解】由方程是“和谐”方程，，得， 由方程是“美好”方程，，得 得：，解得， 将代入①得：，解得， ， 故选：D． 二、填空题：本小题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知一元二次方程 的两根为、，则 ________ 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：∵一元二次方程的两根为和，∴=3．故答案为3． 考点：根与系数的关系． 12. 如果，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，将所求分式拆分为两个分式的和，利用分式加法法则进行计算． 本题考查了比例性质，求代数式的值，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由 ，得 ． 故答案为： ． 13. 已知是方程的一个根，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值．根据一元二次方程根的定义可得，即，整体代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，小逸同学利用刻度尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点A，B分别对应刻度尺上的刻度1和7，D为的中点，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵点A，B分别对应刻度尺上的刻度1和7， ∴， 又∵，D为的中点， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且，OC与EF交于点G．下列结论中：①是等腰直角三角形；②四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；③；④．正确的有_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用正方形的性质证明，根据全等三角形的性质结合勾股定理对各选项逐一分析判断即可得出正确答案． 【详解】解：①在正方形中，，，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，故①正确； ②∵， ∴四边形的面积与面积相等， 四边形的面积为正方形面积的，故②正确； ③当四边形是矩形时，，故③不一定正确； ④， ， 四边形为正方形， ， 在中，， ，故④正确； 综上所述，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证出． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分， 16. 用适当的方法解一元二次方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题关键； 观察方程特点，可将方程移项后提取公因式进行求解． 【详解】解：， 移项，得， 提公因式，得， ∴或， ∴，． 17. 如图，在中，，点为的中点，连接并延长至点，使得，连接、．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：点为的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明． 【详解】略 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的两个实数根分别为α，β， ∴， ∵， ∴， 解得：． 四、解答题（一）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 【答案】（1）这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为 （2）当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确得出等量关系并列出方程是解题关键． （1）设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为，利用七月销量九月的销量建立方程，进而求出答案即可； （2）首先设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，最后求解即可． 【小问1详解】 解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元， 根据题意得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元． 20. 在争创全国文明典范城市活动中，某校举行了创文明城市知识竞赛，全校1800名学生都参加了此次大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机从参赛学生中抽取了200名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 10 30 40 m 50 频率 n 请根据以上信息，完成下列问题： （1）______； （2）请补全频数分布直方图； （3）某班恰有2名男生和1名女生的初赛成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加复赛，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1） （2） 补全频数分布直方图：在“”区间对应的柱形，高度调整为与频数70对应； （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表的相关计算、频数分布直方图的补全以及用列表法求随机事件的概率，解题的关键是掌握“频率=频数÷样本总数”的关系，并通过列表列出所有等可能结果来计算概率． （1）根据频率与频数的关系，用的频数除以样本总数200，即可求出n； （2）先通过样本总数减去其他组的频数求出的频数m，再根据m的值补全直方图中对应区间的柱形； （3）标记2名男生和1名女生，用列表法列出从3人中抽2人的所有可能情况，数出“1男1女”的情况数，结合概率公式(概率符合条件的情况数总情况数)计算概率． 【小问1详解】 解：由题意知，样本总数为200,的频数为40． 根据“频率频数样本总数”，得． 故答案为：； 【小问2详解】 解：先求的频数m． ∵样本总数为200，且各组频数之和等于样本总数， ∴． 【小问3详解】 解：设2名男生分别为男1、男2，1名女生为女，列表如下： 男1 男2 女 男1 (男1，男2) (男1，女) 男2 (男2，男1) (男2，女) 女 (女，男1) (女，男2) 由表格可知，从3人中随机抽2人，共有6种等可能结果(考虑顺序)，其中“1名男生和1名女生”的结果有4种． ∴抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 答：抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为． 21. 如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【答案】（1） 证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）的度数为． 【解析】 【分析】（1）由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，证明 可得结合平行四边形的判定可得结论． （2）由题意可得四边形为矩形，则进而可得则 则． 本题考查作图-基本作图、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定与性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________． 【答案】（1）； （2） 解：将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形， 则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． （3），． 【解析】 【分析】（1）运用直接开平方法解方程，即可得到方程的另一个根． （2）将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为，由题意得，整理得，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 【小问1详解】 由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．． 23. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． （1）下面是垂美四边形的是_____；（填序号） ①平行四边形 ②矩形 ③ 菱形 （2）如图，已知四边形是垂美四边形，则边，，，存在怎样的数量关系?并说明理由； （3）如图，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，证明四边形是矩形； （4）如图，分别以的边，为边向外作正方形和正方形，连接，，，若是直角三角形，，，求的长． 【答案】（1）③ （2） 解：边，，，的数量关系为，理由如下： ∵在四边形中，对角线与相交于点，， ∴， ∴． （3） 证明：∵，，，分别是边，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （4）或 【解析】 【分析】（1）根据垂美四边形的定义，结合平行四边形，矩形，菱形对角线的性质判断解答即可； （2）根据垂美四边形的定义，勾股定理，等式的性质解答即可； （3）根据三角形中位线定理，矩形的判定证明即可； （4）设与交于点M，与交于点N，连接，先证明四边形是垂美四边形，再根据正方形的性质，勾股定理，结合垂美四边形的四边关系，分类解答即可． 本题考查了新定义，菱形的性质，正方形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握新定义，中位线定理，勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，且对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． ∴菱形是垂美四边形， 故选：③， 故答案为：③． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，设与交于点M，与交于点N，连接， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， ∵是直角三角形，，，， ∴或，， 如图，当时， ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∵四边形和四边形是正方形，，， ∴，， ∴，，， 由得， ∴（负的舍去）； 如图， 当时， ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∵四边形和四边形是正方形，，， ∴，， ∴，，， 由得， ∴（负的舍去）； 综上所述：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $