精品解析：广东佛山市顺德区 卓越联盟考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026学年第一学期九年级核心素养展示 数学 说明： 1．全卷共6页，满分为120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号，姓名、考场号、座位号．用2B笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、方程中未知数最高次数为1，不是一元二次方程； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程； C、方程中是分式，不是整式方程，不是一元二次方程； D、方程是只含有一个未知数的整式方程，且未知数最高次数为2，是一元二次方程． 2. 已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按成比例线段的给定字母顺序列比例式，代入已知长度计算的值． 【详解】解：∵线段，，，为成比例线段， ∴． ∵，，， ∴． 3. 若，它们的周长比为，则对应边与之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，周长比为， ∴与的相似比为， ∴对应边与的比为． 4. 如图，两个正方形、两个等边三角形、两个等腰直角三角形、两个矩形各成一组，同组的两个图形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例，对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两个正方形对应角相等，对应边成比例，一定相似； B．两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，一定相似； C．两个等腰直角三角形对应角相等，对应边成比例，一定相似； D．两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似． 5. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 6. 如图，在中，，D是的中点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再结合勾股定理求． 【详解】解：，D是的中点， ． ， ． 7. 顺次连接四边形的各边中点得到中点四边形，若且，则中点四边形的形状是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 梯形 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理，将原四边形对角线的位置与数量关系转化为中点四边形的边的关系，进而判定形状． 【详解】解：如图： ∵点分别是四边形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形不是正方形． 8. 某校在初三年级组织了“追光少年，青春飞扬”篮球比赛，在小组赛阶段设置了单循环赛制（即每两支球队之间进行一场比赛），已知小组赛阶段共比赛28场，参加小组赛的球队有（ ） A. 6支 B. 7支 C. 8支 D. 9支 【答案】C 【解析】 【分析】根据单循环赛制的比赛场次计算规则，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵每两支球队之间只进行一场比赛，每支球队要和其余支球队各赛一场，每场比赛被重复计算两次， ∴总比赛场次为， 根据题意得， 解得，（舍去）． 9. 如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成图示样子，A为公共顶点，，下列结论正确的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形性质得出，结合图形隐含条件，利用两角对应相等判定三角形相似． 【详解】解：和是全等的等腰直角三角形，， ， 在和中，，， ，故②正确； ， ， ， 又∵， ， 又∵， ，故③正确； 是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形，故①错误； 与不一定相等，故④错误， 综上所述，正确的是②③． 10. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列组成，第1个图形一共有4个圆，第2个图形一共有8个圆，第3个图形一共有14个圆，第4个图形一共有22个圆……按此规律排列下去，若第n个图形中圆的个数为158，则n的值为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形得出第n个图形中圆的个数是，进而即可求解． 【详解】解：第1个图形中圆的个数为， 第2个图形中圆的个数为， 第3个图形中圆的个数为， ∴第n个图形中圆的个数为， 根据题意得 解得（舍去）． 二、填空题（本题共5题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则________ 【答案】## 【解析】 【详解】解：∵， ∴，且， ∴． 12. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点A，C对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等可得，利用刻度尺上A、C两点的读数差求出的长，即可得出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，C对应的刻度分别为1和5， ， ． 13. 已知a是方程的解，则代数式的值为______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵a是方程的解， ∴， ∴， ∴． 14. 不少建筑上都能看到多边形相互嵌套的装饰图案，图1中的古建筑藻井图案就是在正方形内部嵌套了多个正八边形的设计．如图2，正方形的边长为2，在正方形的四个角上各截去一个全等的等腰直角三角形，可得到一个内嵌的正八边形，该正八边形的边长为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】设截去的等腰直角三角形直角边长为x，利用正八边形各边长相等建立关于x的方程求解． 【详解】解：设截去的等腰直角三角形直角边长为x， 截去的是等腰直角三角形， 斜边长为． 正方形边长为2， 正八边形的边长为． 该多边形为正八边形， 解得． 正八边形的边长为． 15. 如图，菱形中，点E是线段上的一点，且，连接．若，且，则菱形的边长为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，设，，先在和中，利用勾股定理可得的值，再证出，则，进而可得的长，最后在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， 设，， ∵， ∴，，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴（两条平行线间的距离相等）， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，且， ∴， 解得或（舍去）， ∴菱形的边长为． 三、解答题（本题共8题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴， 解得． 【小问2详解】 解：由一元二次方程可知， ∵， ∴，即， ， 解得， 由（1）可知， ∴，即m的值为． 18. 如图，矩形 （1）求作菱形，使点，分别落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若．求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线与的交点即为点，由线段垂直平分线的性质可得，，然后可证明，则，那么可由四边相等的四边形是菱形证明； （2）先得到，则，求出，则，再证明是等边三角形即可求解． 【小问1详解】 解：如图，菱形即为所求 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵矩形中， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴． 19. 中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．顺德素有“鱼米之乡”“南国丝都”美誉，中秋赏灯更是顺德水乡特色民俗．某中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作顺德水乡花灯文创套装，每套花灯制作成本18元，义卖标价28元/套．9月份第一期义卖售出100套，第三期义卖售出144套． （1）求销售量的每期平均增长率； （2）为筹集更多公益资金，学生会计划调整义卖标价．经试验，发现每套花灯的价格每降低1元，平均每期就能多卖出16套．在第三期销售量的基础上，若要使第四期义卖的筹款利润（筹款扣除制作成本）为1120元，则每套花灯的义卖价格应定为多少元？ 【答案】（1）销售量的每期平均增长率为 （2）每套花灯的义卖价格应定为元 【解析】 【分析】（1）设销售量的每期平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可； （2）设每套花灯的义卖价格降低元，则可得第四期销售量为套，根据题意建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设销售量的每期平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：销售量的每期平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每套花灯的义卖价格降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 则（元）， 答：每套花灯的义卖价格应定为23元． 20. 如图，，，动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，点到达点后，点也停止，设运动时间为秒，当为何值时，与相似？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质及判定，可知，，，分两种情况考虑：若；若． 【详解】根据题意，得 ，，． ①若，则，可得 ． 即 ． 解得 ． ②若，则，可得 即 ． 解得 (舍去)． 综上所述，当时，． 21. 项目式学习主题：一元二次方程的几何解法 项目背景 某数学学习小组研究了教材的“阅读·思考”栏目，他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔·花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．下面分别以解 ，即的做法为例，进行展示： 材料一 赵爽发现结构，可以看成是一个长为，宽为x，面积为48的矩形．他用4个长都是，宽都是x的相同矩形，构造成图1形状的大正方形． 材料二 阿尔·花拉子米采用的方法是用一个边长为x的正方形和2个长为x，宽为4的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形． 问题解决 （1）任务一：材料一中，大正方形面积可以表示为 （用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于 ，故可得到方程． （2）任务二：材料二中，通过阿尔·花拉子米的方式表示大正方形面积，可以得到方程为 ； （3）任务三：请通过其中一种构造图形的方法来解一元二次方程． 你选择的是 构图法（填写①或②），请在已经画好的图形上进行补充，根据所画图形，在图中标注出相关线段的长，并求出方程的一个正数解． （注：①赵爽构图法中已经画好了一个矩形，②阿尔·花拉子米构图法中已经画好了一个边长为x的正方形，需要写出必要的推算过程） 【答案】（1）， （2） （3）解：任务三：选择①， 赵爽构图法：解一元二次方程，即， 可以看成是一个长为，宽为x，面积是的矩形，用4个相同的矩形构造如下图的大正方形， ， 解得（舍）； 则正数解是； 选择②， 阿尔花拉子构图法：解一元二次方程，即， 可以看成是一个长为，宽为x，面积是的矩形，剪去两个相邻的长，宽都分别为和x的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，如下图： ， 解得（舍）， 则正数解是． 【解析】 【分析】对于任务一，根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积列出方程； 对于任务二，大正方形的面积等于2个长方形的面积加上两个正方形的面积列出方程； 对于任务三，根据以上两个任务解答，再求出解. 【小问1详解】 解：任务一：材料一中，大正方形可以表示为； 另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得到方程； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：任务二： 材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程为； 【小问3详解】 略 22. 【背景定义】我们给出如下规定：若一个矩形的宽与长之比恰好等于（n为正整数），则称该矩形为“n阶奇妙矩形”． （1）【概念初识】若取，此时的矩形即为1阶奇妙矩形（如图1），求出它的宽（）与长（）的比值 ． （2）【操作与计算】如图2，已知正方形纸片的边长为2．请按以下步骤操作：①将纸片对折并展开，得折痕，连接；②折叠纸片使边落在上，点D的对应点记为H，展开后得折痕，连接；③过点G折叠纸片，使点A、B分别落在边上，展开后得折痕．请根据操作解决以下问题： ①求线段的长度； ②证明四边形是1阶奇妙矩形． （3）【简单应用】如图3，正方形边长为4．已知某2阶奇妙矩形的长为4，请在图3中用圆规和无刻度的直尺画出折叠示意图． 【答案】（1） （2）①； ②证明：在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴矩形是1阶奇妙矩形； （3）矩形是2阶奇妙矩形， 【解析】 【分析】（1）将代入，即可求解． （2）①设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得，设，则，根据折叠，可得，，在中，根据勾股定理解答即可； ②在中，利用勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形． 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 解：①∵正方形的边长为， ∴， 根据折叠的性质，可得， 设，则， 根据折叠，可得，， 在中，， ∴； ②略 【小问3详解】 解：用正方形纸片进行如下操作（如图）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，再对折，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 理由如下，连接，正方形的边长为，根据折叠可得，则， 设，则， 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴矩形是2阶奇妙矩形． 23. 已知等边三角形，边长为5． （1）如图1，以为边在异侧作正方形，连接，求的度数； （2）如图2，以为边在同侧作正方形，连接并延长交于点E，延长交的延长线于点F，求的长度； （3）如图3，以为斜边在异侧作，且，，连接，求以为边的正方形的面积． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角结合三角形内角和定理求解即可； （2）求得，利用直角三角形的性质求得，再证明，推出，据此求解即可； （3）把绕点P顺时针旋转，使D与C重合，得到，求得，在中，作交的延长线于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵等边三角形，正方形， ∴，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵等边三角形，正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：，，， ∴， 把绕点P顺时针旋转，使D与C重合，得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，； 设，则， ∴， ∴， 在中，，，， 作交的延长线于点， ∴， ∴，， ∴， 在中， 由勾股定理得 ， ∵， ∴以为边的正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级核心素养展示 数学 说明： 1．全卷共6页，满分为120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号，姓名、考场号、座位号．用2B笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（ ） A. B. C. D. 3. 若，它们的周长比为，则对应边与之比为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，两个正方形、两个等边三角形、两个等腰直角三角形、两个矩形各成一组，同组的两个图形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，D是的中点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 12 D. 13 7. 顺次连接四边形的各边中点得到中点四边形，若且，则中点四边形的形状是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 梯形 8. 某校在初三年级组织了“追光少年，青春飞扬”篮球比赛，在小组赛阶段设置了单循环赛制（即每两支球队之间进行一场比赛），已知小组赛阶段共比赛28场，参加小组赛的球队有（ ） A. 6支 B. 7支 C. 8支 D. 9支 9. 如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成图示样子，A为公共顶点，，下列结论正确的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ②④ 10. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列组成，第1个图形一共有4个圆，第2个图形一共有8个圆，第3个图形一共有14个圆，第4个图形一共有22个圆……按此规律排列下去，若第n个图形中圆的个数为158，则n的值为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 二、填空题（本题共5题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则________ 12. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点A，C对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为___________． 13. 已知a是方程的解，则代数式的值为______________． 14. 不少建筑上都能看到多边形相互嵌套的装饰图案，图1中的古建筑藻井图案就是在正方形内部嵌套了多个正八边形的设计．如图2，正方形的边长为2，在正方形的四个角上各截去一个全等的等腰直角三角形，可得到一个内嵌的正八边形，该正八边形的边长为__________________． 15. 如图，菱形中，点E是线段上的一点，且，连接．若，且，则菱形的边长为__________________． 三、解答题（本题共8题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 18. 如图，矩形 （1）求作菱形，使点，分别落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若．求的长． 19. 中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．顺德素有“鱼米之乡”“南国丝都”美誉，中秋赏灯更是顺德水乡特色民俗．某中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作顺德水乡花灯文创套装，每套花灯制作成本18元，义卖标价28元/套．9月份第一期义卖售出100套，第三期义卖售出144套． （1）求销售量的每期平均增长率； （2）为筹集更多公益资金，学生会计划调整义卖标价．经试验，发现每套花灯的价格每降低1元，平均每期就能多卖出16套．在第三期销售量的基础上，若要使第四期义卖的筹款利润（筹款扣除制作成本）为1120元，则每套花灯的义卖价格应定为多少元？ 20. 如图，，，动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，点到达点后，点也停止，设运动时间为秒，当为何值时，与相似？ 21. 项目式学习主题：一元二次方程的几何解法 项目背景 某数学学习小组研究了教材的“阅读·思考”栏目，他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔·花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．下面分别以解 ，即的做法为例，进行展示： 材料一 赵爽发现结构，可以看成是一个长为，宽为x，面积为48的矩形．他用4个长都是，宽都是x的相同矩形，构造成图1形状的大正方形． 材料二 阿尔·花拉子米采用的方法是用一个边长为x的正方形和2个长为x，宽为4的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形． 问题解决 （1）任务一：材料一中，大正方形面积可以表示为 （用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于 ，故可得到方程． （2）任务二：材料二中，通过阿尔·花拉子米的方式表示大正方形面积，可以得到方程为 ； （3）任务三：请通过其中一种构造图形的方法来解一元二次方程． 你选择的是 构图法（填写①或②），请在已经画好的图形上进行补充，根据所画图形，在图中标注出相关线段的长，并求出方程的一个正数解． （注：①赵爽构图法中已经画好了一个矩形，②阿尔·花拉子米构图法中已经画好了一个边长为x的正方形，需要写出必要的推算过程） 22. 【背景定义】我们给出如下规定：若一个矩形的宽与长之比恰好等于（n为正整数），则称该矩形为“n阶奇妙矩形”． （1）【概念初识】若取，此时的矩形即为1阶奇妙矩形（如图1），求出它的宽（）与长（）的比值 ． （2）【操作与计算】如图2，已知正方形纸片的边长为2．请按以下步骤操作：①将纸片对折并展开，得折痕，连接；②折叠纸片使边落在上，点D的对应点记为H，展开后得折痕，连接；③过点G折叠纸片，使点A、B分别落在边上，展开后得折痕．请根据操作解决以下问题： ①求线段的长度； ②证明四边形是1阶奇妙矩形． （3）【简单应用】如图3，正方形边长为4．已知某2阶奇妙矩形的长为4，请在图3中用圆规和无刻度的直尺画出折叠示意图． 23. 已知等边三角形，边长为5． （1）如图1，以为边在异侧作正方形，连接，求的度数； （2）如图2，以为边在同侧作正方形，连接并延长交于点E，延长交的延长线于点F，求的长度； （3）如图3，以为斜边在异侧作，且，，连接，求以为边的正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $