函数的概念及其表示课件-2027届高三数学一轮复习

函数的概念及其表示 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】【教学重点】【教学难点】 【教学目标】 1. 理解函数的概念，能从对应关系的角度判断两个函数是否为同一函数； 2. 了解构成函数的三要素，会求简单函数的定义域与值域； 3. 掌握函数的三种表示方法（解析法、图象法、列表法），并能根据实际需要选择恰当的方法表示函数。 【教学重点】 1. 函数的概念与函数相等（两要素：对应关系、定义域）； 2. 定义域、值域的求法（根式、分式、对数型限制条件）； 3. 函数解析式的求法（换元法、待定系数法、代入法）。 【教学难点】 1. 函数概念的本质理解（集合间对应关系）； 2. 复合函数、抽象函数定义域的求解。 第06课时 函数的概念及其表示 【近五年考频考点】及备考建议 【考频统计】近五年全国卷中，函数概念与表示的直接命题约每年1题（以选择题为主），且作为载体贯穿整章。分值约5分。 【高频考点】 1. 函数定义域的求解（与根式、分式、对数、0指数幂结合）； 2. 分段函数求值与图象识别（热点，常与解析式求值结合）； 3. 同一函数的判断、函数解析式的求法。 【备考建议】 1. 紧扣“对应关系+定义域”两要素判断函数相等； 2. 定义域求解熟记四类限制条件，结果用区间或集合表示； 3. 分段函数遵循“分段处理、逐段求解”，重视数形结合。 第06课时 函数的概念及其表示 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如解析法、列表法、图象法） 表示函数，理解函数图象的作用. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 第06课时 函数的概念及其表示 4 一、函数的有关概念 函数 一般地，设,是非空的________，如果对于集合 中的 _____________，按照某种确定的对应关系，在集合 中 都有______确定的数和它对应，那么就称 为从 集合到集合 的一个函数 三要素 对应关系 , 定义域 ___的取值范围 值域 与的值对应的值的集合 同一个函数 如果两个函数的______域相同，且__________完全一致， 那么这两个函数是同一个函数 实数集 任意一个数 唯一 定义 对应关系 第06课时 函数的概念及其表示 5 微思考（1）函数的概念的描述中，集合 一定是函数的值域吗？ 答案 在函数定义中,集合不一定是函数的值域,它包含了函数的值域,即值域是集合 的子集. （2）定义域与值域都相同的两个函数一定是同一个函数吗？值域与对应关系都相同 的两个函数一定相等吗？ 答案 定义域与值域都相同的两个函数不一定是同一个函数，如函数 和函数 ，二者的定义域均为，值域也均为 ，但两个函数不同.值域与对应关系 都相同的两个函数不一定相等.如函数,和函数, ，两 函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，所以不是相等函数. 第06课时 函数的概念及其表示 6 求函数的定义域时常用的结论： （1）分式型要满足 ； （2）根式型要满足 ； （3）要满足 ； （4）对数型,且要满足 ； （5）正切型要满足 , . 第06课时 函数的概念及其表示 7 二、表示函数的常用方法 解析法 一般情况下，必须注明函数的定义域 列表法 选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征 图象法 注意定义域对图象的影响；垂直于横轴的直线与函数图象最多有 一个公共点 微思考（1）（RA必修一P68思考改编）所有的函数都能用解析法表示吗?列表法与 图象法呢？ 第06课时 函数的概念及其表示 8 答案 并不是所有的函数都能用解析法表示，如某地一年中每天的最高气温是日期的 函数，该函数就不能用解析法表示；同样，并不是所有的函数都能用图象法表示， 如狄利克雷函数 不能用图象法表示；列表法在理论上适用于所 有函数，但对于自变量有无限个取值的函数，列表法只能表示函数的一个概况或片段. 第06课时 函数的概念及其表示 9 （2）直线是常数与函数 的图象有多少个交点？ 答案 直线是常数与函数 的图象的交点个数不确定. 若设的值域为，则当时，至少有1个交点；当 时，有0个交点. 第06课时 函数的概念及其表示 10 三、分段函数 定义 若函数在其定义域的不同子集上，因______________而分别用几个不同的 式子来表示，则称这种函数为分段函数 相关 概念 分段函数的定义域是各段函数定义域的______，其值域等于各段函数值域 的______，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 对应关系不同 并集 并集 第06课时 函数的概念及其表示 11 关键考点·核心突破 12 函数的概念 例1（1）（苏教必修一P115练习T4改编） 下列四个图象中，是函数图象的是( ). D A. B. C. D. 解析 由函数的概念知，一个对应一个 ， 所以是函数图象， 不是函数图象.故选D. 第06课时 函数的概念及其表示 13 （2）（RA必修一 P72习题3.1T2改编，多选题）下列各组函数是同一函数的是 ( ). BD A., B., C., D., 解析 两函数是同一个函数,则定义域相同，对应关系完全一致,只有B,D满足.故选 . 第06课时 函数的概念及其表示 14 感悟提升 1.函数的定义要求非空数集中的任何一个元素在非空数集 中有且只有一个元素与 之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而中有可能存在与 中元素不对应的元素. 2.构成函数的三要素中,若定义域和对应关系都相同,则值域一定相同. 第06课时 函数的概念及其表示 15 1.设集合,,下列四个图象中,能表示从集合 到集 合 的函数关系的是( ). C A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.② 解析 对于①,定义域为,不符合题意;对于④,集合中有的元素在集合 中对应两个值,不符合函数定义;②③符合题意.故选C. 第06课时 函数的概念及其表示 16 2.以下给出的同组函数是否表示同一个函数?为什么? ;; . ; ; 第06课时 函数的概念及其表示 17 1 2 3 第06课时 函数的概念及其表示 18 解析 不是.与的定义域为,的定义域为 . ②不是.的定义域为,的定义域为, 的定义域为 . ③是同一个函数.与 的对应关系完全一致且定义域相同,它们是同一个函数的不同表 示方法. 第06课时 函数的概念及其表示 19 函数的定义域 例2（1） 的定义域为____________. 解析 由得 所以且,故所求函数的定义域为 . 第06课时 函数的概念及其表示 20 （2）（一题练透）求下列函数的定义域. ①已知函数的定义域是，则函数 的定义域为______. 解析 因为的定义域是，所以，解得 ， 则函数的定义域为 . ②已知函数的定义域是，则函数 的定义域为_______ ___. 解析 因为的定义域是，所以，则函数 的定 义域为，所以，解得 ， 则函数的定义域为 . 第06课时 函数的概念及其表示 21 （3）已知函数的定义域为，则实数 的取值范围为______. 解析 因为函数的定义域为，所以对任意 恒成立，因 此，解得 . 感悟提升 1.由函数解析式求定义域 只需根据函数解析式列出自变量满足的不等式（组）,得出不等式（组）的解集即可. 2.求抽象函数的定义域的策略 （1）若已知函数的定义域为,则复合函数 的定义域由不等式 求出; （2）若已知函数的定义域为,则的定义域为在 上的值域. 第06课时 函数的概念及其表示 22 1.函数的定义域是 ( ). B A. B. C. D. 解析 由题意,得解得或 .因此函数的定义域为 .故选B. 2.已知函数的定义域为,则实数 的取值范围为_________. 解析 由条件知,在上恒成立,当时,,解得 ,不 满足条件,故解得，所以实数的取值范围为 . 第06课时 函数的概念及其表示 23 3.（1）若函数的定义域是,则函数 的定义域为_______ ___________. 解析 要使函数有意义,则,解得 ,故函数 的定义域为，所以函数有意义的条件是 解 得或，故函数的定义域为 . 第06课时 函数的概念及其表示 24 （2）若函数的定义域为,则函数 的定义域为_________ ___________. 解析 由函数的定义域为,得函数的定义域为 ,则 有意义的条件是解得或 ，所以函 数的定义域为 . 第06课时 函数的概念及其表示 25 函数的解析式 例3（1）（一题多法）已知为二次函数，且满足 ,则 ________. 解析 （法一：换元法）令,则 , 所以 , 所以 . 第06课时 函数的概念及其表示 26 （法二：配凑法）因为 , 所以 . （法三:待定系数法）因为是二次函数,所以设 , 则 . 因为 ， 所以解得所以 . 第06课时 函数的概念及其表示 27 （2）已知函数满足,则函数 的解析式为__________. 解析 已知 , ① 将换成,得 , ② 由①②消去,得,所以函数的解析式为 . 第06课时 函数的概念及其表示 28 感悟提升 求函数解析式的四种方法 第06课时 函数的概念及其表示 29 （一题练透）利用相应的方法求下列函数的解析式： （1）（换元法）已知，求函数 的解析式； （2）（配凑法）已知,求函数 的解析式； （3）（待定系数法）已知是一次函数,且,求函数 的解析式； （4）（构造方程组法）已知满足，求函数 的解析式. 第06课时 函数的概念及其表示 30 解析 （1）设，，则 . 因为 ， 所以， , 即 . （2）因为 , 所以,即 . （3）设,则 , 即对任意 恒成立, 第06课时 函数的概念及其表示 31 所以解得或 所以的解析式为或 . （4）因为, 所以, 由，得 , 所以 . 第06课时 函数的概念及其表示 分段函数 考向1 分段函数求值 例4（1）（苏教必修一P115习题5.2T7改编）已知函数 那么 的值为___. 0 解析 因为所以 ， 所以 . 第06课时 函数的概念及其表示 33 （2）已知则 ___. 1 解析 因为所以 . 感悟提升 “分段函数分段看”,遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围,并根据自变量的范围 选择合适的解析式. （1）求函数值：当出现 的形式时,应从内到外依次求值. （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义域区间的各段上,然后求出相 应自变量的值,切记要进行检验. 第06课时 函数的概念及其表示 34 考向2 分段函数与方程、不等式问题 例5（1）（北师大必修一P59习题2.2B组T3改编）已知函数 且 ，则实数 的值为____. 解析 因为 所以 . 又，所以.因为在上恒成立，所以 ， 故，则 . 第06课时 函数的概念及其表示 35 （2）（经典高考真题）设函数若，则实数 的取值 范围是__________. 解析 当时， ， 解得 （舍去）； 当时，，得，解得或 （舍去）. 综上，实数的取值范围是 . 第06课时 函数的概念及其表示 36 感悟提升 解与分段函数有关的方程、不等式 当自变量的取值不确定时,分类讨论求解. 注意：求解与分段函数有关的方程（不等式）的问题时,按不同范围求解后合并结果. 第06课时 函数的概念及其表示 37 1.（一题练透，多选题）已知函数 则( ). BCD A. B.若，则或 C.的解集为 D.若，，则 解析 对于A，因为，所以 ，所以A错 误.对于B，当时，由，得，解得;当 时，由 ，得，解得或（舍去）.综上，或 ， 所以B正确.对于C，当时，由，得，解得;当 时， 由，得，解得.综上，的解集为 ， 所以C正确.对于D，当时，;当时，.故 的值域为 .因为，，所以，所以D正确.故选 . 第06课时 函数的概念及其表示 38 2.已知函数，则 _ ______________， _ ________________. 第06课时 函数的概念及其表示 39 解析 当时，，;当时， ， . 所以由，得.由，得 .所以 第06课时 函数的概念及其表示 40 3.（经典高考真题）已知函数则 ____;若当 时，，则 的最大值是_______. 解析 由题意知 ，则 .作出函数 的图象， 如图所示，结合图象，令，解得 ，令 ，解得 （负值舍去），所以 . 第06课时 函数的概念及其表示 41 几类特殊的分段函数 典例（1）［狄利克雷函数］（多选题）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显 著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数 称为狄利克雷 函数，则关于 ，下列说法正确的是( ). BCD A.的值域为 B.的定义域为 C.， D.存在，是无理数， 解析 因为函数所以的定义域为，值域为， ，故A错误， B正确；因为，，，所以 ，故C正确；例如，取， ，则，故D正确.故选 . 第06课时 函数的概念及其表示 42 （2）［黎曼函数］（多选题）黎曼函数是近代分析学中重要的研究对象，在微积分 中有着广泛的应用.已知黎曼函数 则( ). ABD A.存在无数个,使 B.的最大值与最小值之和为 C. D. 第06课时 函数的概念及其表示 43 解析 设为上的有理数，表示为，则.令，即，得 . 因此，所以存在无数个，使得 ，A正确. 易知的定义域为，则值域为，，，，，所以的最大值为 ，最 小值为0，故最大值与最小值之和为 ，B正确. 取，，则， ， 此时 ，C错误. 设集合，且，互质，，1或 上的无理数｝. 第06课时 函数的概念及其表示 ①若，，令，，则 ， 当与互质时， ； 当与不互质时， . 故 . ②若，中至少有一个属于，则，而 ， 故 . 综上可知，D正确.故选 . 第06课时 函数的概念及其表示 45 （3）［最值函数］定义，设函数 ， ，记函数，，且函数在区间 内的值 域为，则 的最大值为___. 2 解析 令，即，解得.令 ，即 ，解得或，所以 ， 第06课时 函数的概念及其表示 46 的图象如图所示. 又，，要使函数在区间 内的值域为，则当时，；当 时，.故当，时， 取得最大值， 最大值为2. 第06课时 函数的概念及其表示 47 （4）［符号函数］已知符号函数 ，若，则实数 的取值范围是_________. 解析 由 得 第06课时 函数的概念及其表示 48 所以 的图象如图所示. 若 ，由分段函数可知， 当时，，即 ， 解得 ； 当时， 恒成立； 当时， 恒成立. 综上可得 . 若，则有，即 恒成立； 若，则有 恒成立； 若，则有，解得 . 综上所述，实数的取值范围是 . 第06课时 函数的概念及其表示 49 深耕定义 本题考查新函数的定义，学生需要深刻理解新函数定义中的关键点，才 能顺利得到正确答案.狄利克雷函数的关键点是区分有理数和无理数，黎曼函数的关 键点是理解“互质”的概念，最值函数的关键点是明确最值的核心含义，而符号函数 的关键点是理解其非数值计算的特性，以上新函数都体现了高考对基础概念深入考 查的特点和趋势. 第06课时 函数的概念及其表示 50 THANKS 51 $