第2章 第1节 函数的概念及其表示-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数概念、解析式与分段函数三大核心考点，依据高考评价体系明确定义域、值域、分段函数应用等考查要求，通过梳理近五年真题考点权重，归纳出同一函数判断、解析式求法、分段函数求值等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题演练+方法提炼+素养提升”策略，如结合2025北京卷函数值域与充要条件题，用换元法、方程组法突破解析式求解，培养数学思维与数学语言表达能力。特设题型训练与方法总结，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效指导复习冲刺。

第一节　函数的概念及其表示 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1. 了解构成函数的要素，体会简单函数的定义域，会根据不同的需求选择恰当的方法表示函数，理解函数图象的作用.2.了解简单的分段函数,并会简单的应用. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　函数的概念 知识点一　函数的概念 1.函数的定义 一般地,设A,B是 的实数集,如果对于集合A中的 一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A. 2.函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 . 非空 任意 唯一确定 定义域 值域 3.函数的三要素 、 和对应关系. 4.表示函数的常用方法 、 和解析法. 知识点一　函数的概念 定义域 值域 列表法 图象法 知识点二　分段函数 在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这种函数称为分段函数. 常用结论 1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点. 2.函数的定义实质是两个非空实数集A与B中的元素一对一或多对一的对应.函数的定义域为A,值域为B的子集. 3.分段函数虽然由几个部分组成,但是它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集. 自我评价 1.(多选)下列各图中,能表示函数y=f(x)的图象的是(　 　) 解析:对于A,多个x对应一个y,能表示函数; 对于B,在y轴左侧或右侧,一个x对应多个y,不能表示函数; 对于C,一个x对应一个y,能表示函数; 对于D,为不连续的点函数. ACD 2.(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A.f(x)=x2-2x-1与g(s)=s2-2s-1 B.f(x)=与g(x)=x C.f(x)=与g(x)= D.f(x)=x与g(x)= AC 解析:f(x)=x2-2x-1的定义域为R,g(s)=s2-2s-1的定义域为R,定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数,故A正确; f(x)==-x的定义域为{x|x≤0},g(x)=x的定义域为{x|x≤0},定义域相同,对应关系不同,不是同一个函数,故B错误; f(x)==1的定义域为{x|x≠0},g(x)==1的定义域为{x|x≠0},定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数,故C正确; f(x)=x的定义域为R,g(x)==|x|的定义域为R,定义域相同,对应关系不同,不是同一个函数,故D错误. 3.(人A必修第一册P101T7改编)已知f(x)=则f(f(3))=　　　　　　.  解析:f(f(3))=f(-|3-2|+1)=f(0)=-02+1=1. 1 4.已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)的解析式为 　 　　　　 　.  解析:∵f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0), ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17, 即ax+(5a+b)=2x+17, ∴ ∴f(x)=2x+7(x∈R). f(x)=2x+7(x∈R) 关键能力　重点探究 考点一　函数的概念 [例1]　(1)(多选)(原创)下列说法正确的是(　　) A.f(x)=与g(x)=x表示同一函数 B.函数f(x)=+log3(3+2x-x2)的定义域为(1,3) C.f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一个函数 D.若f(x)=|x-1|-x,则f(f())=0 AC [解析]　对于A,函数f(x)==x的定义域为R,函数g(x)=x的定义域为R,定义域相同,对应法则相同,所以是同一个函数,故A正确; 对于B,要使函数有意义,则 解得1≤x<3, 所以函数的定义域为[1,3),故B错误; 对于C,函数f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1的定义域与对应关系都相同,所以两函数是同一个函数,故C正确; 对于D,由f(x)=|x-1|-x,可得f()=0,所以f(f())=f(0)=1,故D错误. (2)(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D,则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在x0∈D,使得|f(x0)|>M”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A [解析]　若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈R,一定存在x1∈D,使得f(x1)=|M|+1, 取x0=x1,则|f(x0)|=|M|+1>M,充分性成立; 取f(x)=2x,D=R,则对任意M∈R,一定存在x1∈D,使得f(x1)=|M|+1, 取x0=x1,则|f(x0)|=|M|+1>M,但此时函数f(x)的值域为(0,+∞),必要性不成立. 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在x0∈D,使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件. 方法总结 1.当两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数. 2.求抽象函数的定义域的策略 若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出. 跟踪训练 1.已知f(+1)=lg x,则f(x)的定义域为　　　　　.  解析:由f (+1)=lg x可知x>0, ∴+1>1, ∴f(x)的定义域为(1,+∞). (1,+∞) 2.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],求f()+f(x-1)的定义域. 解:由f(x)的定义域为[-1,1], ∴ 解得0≤x≤2, 即f()+f(x-1)的定义域为[0,2]. 考点二　求函数的解析式 [例2]　(1)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; [解]　(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2], 则sin x=1-t. ∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x, ∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2]. 即f(x)=2x-x2(0≤x≤2). (2)已知f(x2+)=x4+,求f(x)的解析式; [解]　(配凑法)f(x2+)=x4+=(x2+)2-2, 又x2+≥2=2, 当且仅当x2=,即x=±1时等号成立. 设t=x2+, 则t≥2,∴f(t)=t2-2(t≥2), ∴f(x)=x2-2(x≥2). (3)若对任意实数x,均有f(x)-2f(-x)=9x+2,求f(x)的解析式. [解]　(解方程组法)∵f(x)-2f(-x)=9x+2,① ∴f(-x)-2f(x)=9(-x)+2,② 由①+2×②得-3f(x)=-9x+6, ∴f(x)=3x-2(x∈R). 方法总结 函数解析式的求法:(1)配凑法;(2)待定系数法;(3)换元法;(4)方程组法. 跟踪训练 3.若f()=,则f(x)=　　 　　　.  解析:f(x)==(x≠0且x≠1). (x≠0且x≠1) 4.f(x)满足2f(x)+f()=3x-1,则f(x)=　　 　　　.  解析:已知2f(x)+f()=3x-1,① 以代替①中的x(x≠0),得2f()+f(x)=-1,② ①×2-②,得3f(x)=6x--1,故f(x)=2x--(x≠0). 2x--(x≠0) 考点三　分段函数 [例3]　(多选)(原创)给定函数f(x)=|x-1|,g(x)=(x-2)2-1,x∈R,∀x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的最小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)},则下列说法正确的是(　　) A.m(2)=-1 B.m(x)的定义域和值域都是R C.若m(a)=3,则a=0或a=4 D.若m(x)>1,则x∈(-∞,0)∪(2+,+∞) AD [解析]　由于f(1)=g(1)=0, 当x>1时,由x-1=(x-2)2-1得x=4或x=1(舍去), ∴m(x)= 如图, ∴m(2)=-1,A正确; 而m(x)值域为[-1,+∞),B错误; 当m(a)=3时,-a+1=3,a=-2或(a-2)2-1=3,∴a=4,C错误; 若m(x)=1,则-x+1=1,∴x=0或(x-2)2-1=1,∴x=2+, ∴m(x)>1的解集为(-∞,0)∪(2+,+∞),D正确. 方法总结 分段函数求值问题的解题思路 1.求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. 2.求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 跟踪训练 5.(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1]　　　　　　 B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-1,+∞) 解析:f(x)=当x<a时,-x2+ax-2a2<0,∴a≤2. 当x≥a时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a),在(2,+∞)上,f(x)>0. ①当a>0时,2a≤2,即0<a≤1;②当a=0时,f(x)=x2>0恒成立;③当a<0时, -a≤2,即-2≤a<0.综上,-2≤a≤1. B 6.(2026·山东济南模拟)已知函数f(x)=则f(9)=(　　) A.2 B.9 C.65 D.513 解析:f(9)=f(9-3)=f(6)=f(3)=f(0)=20+1=2. A $