05 第05课时 一元二次方程、不等式课件-2027届高三数学一轮复习

一元二次方程、不等式 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 理解一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程之间的联系（三个"二次"）； 2. 掌握一元二次不等式的解法，能借助二次函数图象正确写出解集； 3. 能解简单的分式不等式、高次不等式，掌握其向一元二次不等式（组）的转化方法； 4. 能从实际情境中抽象出一元二次不等式模型并求解，提升逻辑推理与数学运算素养。 【教学重点】 三个"二次"的关系；一元二次不等式的解法（图象法）。 【教学难点】 含参数的一元二次不等式的分类讨论（开口方向、判别式、根的大小）；分式不等式的同解变形。 一元二次方程、不等式 · 复习教学目标、教学重点与教学难点 第05课时 一元二次方程、不等式 【内容要求】 1. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义； 2. 借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，掌握一元二次不等式的解法； 3. 能求解简单的分式不等式，体会数形结合的思想方法。 【素养指向】 逻辑推理、数学运算、直观想象。 一元二次方程、不等式 · 新课标（2017 年版 2020 年修订）教学要求 第05课时 一元二次方程、不等式 【考频考点】 1. 一元二次不等式的解法（常与集合、函数定义域结合）：高频基础题； 2. 含参数的一元二次不等式（讨论开口、判别式、根的大小）：中高频，解答题常考； 3. 三个"二次"的关系（由解集反求参数、恒成立问题）：高频； 4. 分式不等式及与基本不等式交汇求最值、范围：中频。 【备考建议】 1. 牢记"开口方向—判别式—图象"三要素，按"看开口、算判别式、定区间"的流程解题； 2. 由解集反求参数时，紧扣根与解集端点的对应关系，善用韦达定理； 3. 含参讨论按"开口→判别式→根的大小"的顺序分层进行，做到不重不漏； 4. 恒成立问题优先考虑分离参数或数形结合，注意端点处等号能否成立。 一元二次方程、不等式 · 近五年高考考情分析与备考建议 第05课时 一元二次方程、不等式 一、三个“二次”的对应关系 二次函数 的图象与一元二次方程 的根、不等式 的解的对应关 系.#1 判别式 二次函数 的 图象 第05课时 一元二次方程、不等式 5 判别式 方程 的 根 有两个不相等的实数根 ， 有两个相等的实 数根，且 没有实数根 的 解集 __________________ ___ 的 解集 _______________ 续表 第05课时 一元二次方程、不等式 6 微判断（1）若关于的不等式的解集是 ，则方 程的两个根是和 .( ) （2）若关于的不等式的解集为，则必有 .( ) （3）若关于的方程 没有实数根，则不等式 的解集为 .( ) 第05课时 一元二次方程、不等式 7 （1）已知关于的一元二次不等式的解集为 ，则一定满足 （2）已知关于的一元二次不等式的解集为 ，则一定满足 （3）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足 （4）已知关于的一元二次不等式的解集为 ，则一定满足 （5）不等式中的需要分类讨论，一般优先考虑 的情形. 第05课时 一元二次方程、不等式 8 二、分式不等式与整式不等式 1. __________________. 2. ____________________________. 且 三、简单的绝对值不等式 1. 的解集为___________________. 2. 的解集为________. 第05课时 一元二次方程、不等式 9 关键考点·核心突破 10 不含参数的一元二次不等式的解法 例1 解下列关于 的不等式： （1）（高考改编） ； （2） ； （3）（湘教必修一P54例4改编） . 第05课时 一元二次方程、不等式 11 解析 （1）方程的解为， ，故不等式的解集为 . （2）原不等式等价于，即，所以或 . 故原不等式的解集为或 . （3）原不等式等价于 即所以或 . 故原不等式的解集为 . 第05课时 一元二次方程、不等式 12 感悟提升 解不含参数的一元二次不等式的四个步骤 第05课时 一元二次方程、不等式 13 （多选题）下列选项正确的是( ). ABD A.不等式的解集为 B.不等式的解集为 C.不等式的解集为 D.设，则“”是“ ”的充分不必要条件 第05课时 一元二次方程、不等式 14 解析 因为方程的解为，，所以不等式 的解集为或 ，故A正确. 因为，即，即，解得 ， 所以不等式的解集为 ，故B正确. 由，可得或，解得或 ，所以不等式的解 集为 ，故C错误. 由，可得，解得，由，可得 ， 因此""是" "的充分不必要条件，故D正确. 故选ABD. 第05课时 一元二次方程、不等式 15 含参数的一元二次不等式的解法 例2 解关于的不等式 . 解析 若，则原不等式等价于，解得 . 若，则原不等式等价于，解得或 . 若，则原不等式等价于 . ①当时，， 无解； ②当时，，由，得 ； ③当时，，由，得 . 第05课时 一元二次方程、不等式 16 综上所述，当时，原不等式的解集为或 ； 当时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为 . 第05课时 一元二次方程、不等式 17 感悟提升 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法 （1）当二次项系数中含有参数时，应分别讨论二次项系数等于0、小于0、大于 0的情形，然后将不等式转化为一元一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式 的形式. （2）当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，应讨论判别式 与0 的关系. （3）确定无实根时，可直接写出解集；确定方程有两个不相等的实根时，要讨 论两根的大小关系，从而确定解集的形式. 第05课时 一元二次方程、不等式 18 解下列关于的不等式，其中 . （1） ； （2） . 第05课时 一元二次方程、不等式 19 解析 （1）若，则不等式化为 ， 即，得 . 若，则将化为 . ①当时，二次函数 的图象开口向下，方程 的两个根为和，且 ，则不等式的解集为 . ②当时，二次函数 的图象开口向上，方程 的两个根为和 . 第05课时 一元二次方程、不等式 20 当，即时，不等式为，即 ，此时不等式 的解集为 . 当，即时，不等式的解集为或 . 当，即时，不等式的解集为或 . 综上，当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 第05课时 一元二次方程、不等式 当时，不等式的解集为 . （2）等价于 . 若，则，解得，此时原不等式的解集为 . 若，则令，得， ， 当，即时，，原不等式的解集为 ； 当且，即时，原不等式的解集为 ； 当且，即时，原不等式的解集为 ； 第05课时 一元二次方程、不等式 当，即时，，原不等式的解集为 . 综上，当时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为 . 第05课时 一元二次方程、不等式 三个“二次”的对应关系 例3 （湘教必修一P55例6改编，多选题）若关于的不等式 的解集 是 ，则( ). AD A. B.且 C. D.不等式的解集是 第05课时 一元二次方程、不等式 24 解析 由题意知 ，所以A正确； 由题意可得，是方程的两个根，所以 所以 得， ，所以B不正确； 因为是方程的根，所以将代入方程得 ，所 以C不正确； 把，代入不等式，可得 ，因为 ，所以，即 ，此时不等式的解集为 ，所以D正确.故选AD. 第05课时 一元二次方程、不等式 25 感悟提升 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系 数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. （苏教必修一P69T12改编，多选题）已知关于的不等式 的解集为 或 ，则( ). ABD A. B.不等式的解集为 C.不等式的解集为 D. 第05课时 一元二次方程、不等式 26 解析 由的解集为 ，得 ， 故，， ，故A正确； ，故D正确； ，即，解得 ，故B正确； ，即，解得 ，故C错误. 故选ABD. 第05课时 一元二次方程、不等式 27 一元二次方程根的分布 思维进阶 由一元二次方程 根的分布情况，确定方程中系数的取 值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解： （1）判别式 的符号； （2）二次函数的图象的对称轴 与所给区间的位置关系； （3）区间端点处函数值的符号. 第05课时 一元二次方程、不等式 28 典例 当关于的一元二次方程 分别满足下列条件时， 求实数 的取值范围. （1）两个根都大于0； （2）一个根大于，另一个根小于 ； （3）一个根在区间内，另一个根在区间 内； （4）一个根在区间内，另一个根不在区间 内； （5）一个根小于1，另一个根大于2； （6）两个根都在区间 上； （7）两个根都小于1； （8）在区间 内有解. 第05课时 一元二次方程、不等式 29 解析 由题意设 ， 则 . （1）两个根都大于0，应满足解得，所以实数 的取值范围 为 . （2）一个根大于，另一个根小于，应满足 ，即 ，解得或 ， 所以实数的取值范围为 . 第05课时 一元二次方程、不等式 30 （3）一个根在区间内，另一个根在区间内，应满足 即 解得 ， 所以实数的取值范围为 . （4）一个根在区间内，另一个根不在区间 内， 应满足，即 ， 所以或 . 又因为，所以 . 故实数的取值范围为 . 第05课时 一元二次方程、不等式 （5）一个根小于1，另一个根大于2，应满足 即 解得，所以实数的取值范围为 . （6）两个根都在区间上，应满足解得 ，所 以实数的取值范围为， ）. 第05课时 一元二次方程、不等式 （7）两个根都小于1，应满足解得或，所以实数 的取值范围为 . （8）在区间内有解，应满足或 或 或 解得，所以实数的取值范围为 . 第05课时 一元二次方程、不等式 一元二次不等式恒（能）成立问题 考向1 在 上的恒成立问题 例4 若不等式对恒成立，则实数 的取值范围是 ( ). C A. B. C. D. 解析 当，即时，不等式为，对一切 恒成立； 当时，解得 . 综上所述，实数的取值范围是 .故选C. 第05课时 一元二次方程、不等式 34 感悟提升 不等式在 上恒成立问题的解题策略 （1）不等式对任意实数恒成立或 （2）不等式对任意实数恒成立或 第05课时 一元二次方程、不等式 35 考向2 在给定区间上的恒成立问题 例5（1）（一题多法）若对于， 恒成立，则 实数 的取值范围是_ ______________. 解析 （法一：单调性法）因为对于， 恒成 立， 所以令， ， 当时，在上单调递增，所以 ，解得 ，则 ； 第05课时 一元二次方程、不等式 36 当时，在上单调递减，所以 ，解得 ，所以 . 综上所述，的取值范围是 . （1）（法二：分离参数法）因为，所以 . 又因为函数在上的最小值为，所以只需 . 因为，所以的取值范围是 . 第05课时 一元二次方程、不等式 37 （2）若对于恒成立，则实数 的取值范围为 _ ___________. 解析 利用主元法，设 ，其图象是一条直线， 当时，图象为一条线段，则即 解得 ，故实数的取值范围为 . 第05课时 一元二次方程、不等式 38 感悟提升 不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法 （1）若在自变量的某个区间上恒成立，即区间是不等式 的解 集的子集，则可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）. （2）转化为函数的值域问题，即已知函数的值域为，则 恒成立 ，即；恒成立，即 . 第05课时 一元二次方程、不等式 39 （3）对于以下两种题型，可以利用二次函数在区间端点， 处的取值特点来求参 数的范围. ①对于 恒成立； ②对于 恒成立. （4）主元法：若含参不等式 在参数的某个区间上恒成立，可将问题 转化为关于参数的不等式（组）求解. 第05课时 一元二次方程、不等式 40 考向3 不等式能成立或有解问题 例6 （一题多法）若关于的不等式在上有实数解，则实数 的 取值范围是( ). A A. B. C. D. 第05课时 一元二次方程、不等式 41 解析 （法一：分离参数法）不等式在 上有实数解，等价于不等 式在 上有实数解. 因为函数在上单调递减，在 上单调递增，且 ， ， 所以，即实数的取值范围是 .故选A. （法二：最值转化法）若不等式在 上无解，则 解得，因此当不等式在 上有解时， ，即实数的取值范围是 . 故选A. 第05课时 一元二次方程、不等式 42 感悟提升 一元二次不等式在给定区间上有解问题的解题策略 （1）分离参数法：把不等式化为或的形式，只需 或 . （2）最值转化法：若在自变量的某个区间上有解，则函数 在区间中的"最大值"大于0；若在自变量的某个区间 上有解，则函数 在区间 中的"最小值"小于0. （3）数形结合法：根据图象列出约束条件求解. （4）最后一定要注意检验区间的开闭. 第05课时 一元二次方程、不等式 43 （一题练透）已知关于的不等式 . （1）是否存在实数，使不等式对任意 恒成立？请说明理由. （2）若不等式对任意恒成立，求实数 的取值范围. （3）若不等式对任意恒成立，求实数 的取值范围. （4）若不等式在上有解，求实数 的取值范围. 第05课时 一元二次方程、不等式 44 解析 （1）不存在.当时，对任意 不恒成立，不满足； 当时， 无解. 故不存在实数，使得不等式对任意 恒成立. （2）令 . 当时，解得 ； 当时，在 上不恒成立； 当时，因为图象的对称轴为直线 ，图象开口向下，所以只需 ，解得 ，矛盾. 综上，实数的取值范围为 . 第05课时 一元二次方程、不等式 45 （3）利用主元法，设 . 若当时， 恒成立， 则即 解得 ， 所以实数的取值范围为 . （4）因为，所以不等式可整理为，又不等式在 上有解，所以 . 设，，则 ， 第05课时 一元二次方程、不等式 所以 . 因为函数和函数在上均单调递增，所以函数在 上 单调递增，则函数在 上单调递减， 所以.故实数的取值范围为 . 第05课时 一元二次方程、不等式 THANKS 48 $