第10章 分式 期中复习单元专题卷 2026-2027学年苏科版八年级数学下册

苏科版 八年级数学 第10章 分式 期中复习单元专题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．在，，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分式定义：分母中含有字母的式子。注意π是常数不是字母，分母含π的仍为整式。 【解答】解：的分母是常数2，不是分式； 的分母含有字母x，是分式； 中π是常数，因此不是分式； 的分母含有字母，是分式； 的分母含有字母m，是分式； 故在，，，，中，是分式的有3个． 故选：C． 2．已知分式（a，b为常数）满足如下表格， x的取值 2 ﹣2 c d 分式的值 无意义 0 ﹣6 正整数 根据表格信息，下列结论中错误的是（　　） A．a＝﹣2 B．b＝4 C．c＝1 D．d可以取4个值 【分析】由x＝2无意义得a，由x＝﹣2时值为0得b；再由x＝c时值为﹣6求c；最后将分式分离常数，由正整数解求d的个数。 【解答】解：A．∵x＝2时分式无意义，即x+a＝0， ∴a＝﹣2， 故A选项正确； B．当x＝﹣2时，原分式值为0， ∴﹣4+b＝0解得：b＝4， 故B选项正确； C．当b＝4，a＝﹣2，x＝c，代入6，， ∴c＝1， 故C选项正确； D．当x＝d时，分式的值为正整数， ∴2， ∴d﹣2＝1，d﹣2＝2，d﹣2＝4，d﹣2＝8，d﹣2＝﹣8， 这样d可以得出5个值， 故选项D错误． 故选：D． 3．下列代数式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】最简分式要求分子分母没有公因式。逐一判断各选项能否约分。 【解答】解：最简分式的分子与分母不含公因式，据此对各选项逐一判断如下： A、的分子分母有公因式a，不是最简分式，不符合题意； B、的分子可分解为x（2x+1），与分母有公因式x，不是最简分式； C、的分子分母有公因式2，不是最简分式，不符合题意； D、的分子为1，与分母无公因式，是最简分式，符合题意． 故选：D． 4．下列各式从左到右的变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式基本性质：分子分母同乘（除）同一个不为0的整式，分式值不变。注意c≠0的前提。 【解答】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、当c≠0时，，故D不符合题意； 故选：C． 5．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍 【分析】将x、y同时扩大3倍代入原式，比较新分式与原分式的倍数关系。 【解答】解：把分式中的x和y都变为原来的3倍， 则9， ∴分式的值扩大9倍， 故选：B． 6．已知分式方程有增根，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．0 D．2 【分析】增根使最简公分母为0，即x＝4；去分母后代入x＝4求a。 【解答】解：原分式方程去分母得x﹣2（x﹣4）＝a， ∵分式方程有增根， ∴x﹣4＝0， 解得：x＝4， 代入x＝4得a＝4． 故答案为A． 7．甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运x件货物，列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设乙每小时搬x件，则甲每小时搬（x+20）件；时间相同即“甲300件时间＝乙200件时间”，列等式。 【解答】解：根据甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同得：． 故选：A． 8．当a≠b时，定义一种新运算：．例：．若F（m，2）﹣F（2，m）＝1，求m的值．小明的答案是，小亮的答案是m＝0．下列判断正确的是（　　） A．只有小明的答案正确 B．只有小亮的答案正确 C．小明和小亮的答案合在一起才正确 D．小明和小亮的答案都不正确 【分析】按新运算定义分m＞2和m＜2两种情况，分别列出关于m的分式方程求解，并检验是否符合前提条件。 【解答】解：当m＞2时，则，， ∵F（m，2）﹣F（2，m）＝1， ∴， 解得． 因为m的值与当m＞2不相符合， ∴此情况不成立； 当m＜2时，则，， ∴， 解得m＝0． 经检验：m＝0是原方程的解． ∴m＝0． 故选：B． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．化简：　 　 ． 【分析】分式乘除混合运算，先将除法变乘法，再约分。 【解答】解：原式． 故答案为：1． 10．分式的最简公分母是　 ． 【分析】最简公分母取各分母所有因式的最高次幂，注意n﹣m＝﹣（m﹣n）。 【解答】解：∵三个分式的分母分别为m﹣n，（m+n）2，n﹣m＝﹣（m﹣n）， ∴分式，，的最简公分母是： （m﹣n）（m+n）2． 故答案为：（m﹣n）（m+n）2． 11．若分式有意义，则实数x的取值范围是 　 ． 【分析】分式有意义的条件是分母≠0，列不等式求解。 【解答】解：根据题意可知，分母不等于0，可得x+6≠0， 解得：x≠﹣6． 故答案为：x≠﹣6． 12．关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 　 ． 【分析】先解分式方程用m表示x，再由解为正数列不等式；同时排除增根x＝3。 【解答】解：分式方程两边同时乘（x﹣3），得2x﹣1＝m﹣2（x﹣3）， 整理，得4x＝m+7， 解得：． ∵分式方程的解为正数，可得：， 解得：m＞﹣7． 又∵x﹣3≠0，即x≠3， ∴， 解得：m≠5， ∴m的取值范围是m＞﹣7且m≠5． 故答案为：m＞﹣7且m≠5． 13．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则式子的值为　 　 ． 【分析】由相反数得a+b＝0，倒数得cd＝1，绝对值得m＝±2，整体代入计算。 【解答】解：根据题意可知，a+b＝0，cd＝1，m＝±2， 当m＝2时， ＝0+1﹣4 ＝﹣3， 当m＝﹣2时， ＝0+1﹣4 ＝﹣3， 综上所述，式子的值为﹣3． 故答案为：﹣3． 14．如果分式无意义，的值为0，则x﹣2y的值是　 　 ． 【分析】分式无意义即分母为0求x；分式值为0即分子为0且分母≠0求y，再代入x﹣2y。 【解答】解：∵分式无意义， ∴2x+4＝0， ∴x＝﹣2， ∵分式的值为0， ∴y+4＝0且y2+2≠0， ∴y＝﹣4， ∴x﹣2y＝﹣2﹣2×（﹣4）＝﹣2+8＝6． 故答案为：6． 15．若关于x的方程无解，则m的取值为　 　 ． 【分析】去分母化为整式方程（1+m）x＝6；无解分两种：整式方程无解（1+m＝0），或解为增根（x＝0或x＝2）。 【解答】解：方程两边同时乘以x（x﹣2）， 可得：（x﹣2）+mx＝4， （1+m）x﹣2＝4， （1+m）x＝6， 当1+m＝0即m＝﹣1时，方程无解； 当1+m≠0时， 解得， 若解为增根则：x＝2， 可得：， 解得：m＝2； ∵， ∴x≠0； ∴当m＝﹣1或m＝2时方程无解． 故答案为﹣1或2． 16．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之积为　 　 ． 【分析】由不等式组有解得a范围；解分式方程用a表示y，由y为非负整数且排除增根筛选a，再求所有a的乘积。 【解答】解：， 解不等式①得：x＜5， 解不等式②得：x≥2a+1， ∴不等式组的解集为：2a+1≤x＜5， ∴2a+1＜5， 解得：a＜2， ， （y﹣a）﹣（y+6）＝2（1﹣y）， y﹣a﹣y﹣6＝2﹣2y， y﹣y+2y＝2+6+a， 2y＝8+a， 解得：， ∵方程的解为非负整数， ∴且a为偶数， ∴a≥﹣8， ∴﹣8≤a＜2， ∴a＝﹣8或a＝﹣6或﹣4或﹣2或0， 当a＝﹣4时，， 当a＝﹣6时，， ∵y﹣1＝0， ∴y＝1是分式方程的增根， 当a＝﹣4时，， 当a＝﹣2时，， 当a＝0时，， ∴a＝﹣8或﹣4或﹣2或0， ∵（﹣8）×（﹣4）×（﹣2）×0＝0， ∴满足条件的整数a的值之积为0． 故答案为：0． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）计算下列分式运算： （1）； （2）； （3）； 【分析】按分式混合运算法则：先乘除后加减，有括号先算括号内，结果化为最简分式。 （2）根据分式的运算法则化简即可； （3）根据分式的运算法则化简即可； 【解答】解：（1）原式； （2）； （3）； 18．（本题6分）解下列分式方程： （1）； （2）． 【分析】解分式方程步骤：去分母化为整式方程→解整式方程→检验是否为增根。 （2）根据解分式方程的步骤解答即可． 【解答】解：（1）两边同乘以x（x+1），得4x＝3（x+1）， 去括号，得4x＝3x+3， 移项并合并同类项，得：x＝3， 检验：当x＝3时，x（x+1）＝12≠0， ∴x＝3是原方程的解； （2）两边同乘以（x﹣3）得：x+x﹣3＝3， 移项并合并同类项，得2x＝6， 解得x＝3， 检验：当x＝3时，x﹣3＝0， ∴x＝3是原方程的增根，即原方程无解． 19．（本题6分）解决问题： （1）当x取什么值时，分式的值为0． （2）当x取什么值时，分式的值不存在． （3）当x取什么值时，分式的值为负． 【分析】（1）值为0需分子＝0且分母≠0；（2）无意义即分母＝0；（3）值为负需分子分母异号，分母x²恒正故分子＜0。 （2）分式无意义的条件是分母等于0，解方程直接得到结果； （3）分母x2只要分式有意义就恒大于0；分式整体为负，只需要让分子小于0． 【解答】解：（1）∵分式的值为0， ∴x2﹣9＝0，解得：x＝3或x＝﹣3， 3﹣x≠0，解得：x≠3， 综上所述，x＝﹣3； （2）分式的值不存在，即分式无意义，分母等于0， x2﹣4＝0， 解得：x＝2或x＝﹣2， 即x＝±2； （3）要使分式的值为负， 分式有意义，则x≠0，此时x2＞0， 分子分母异号，分母已经是正数，因此要求分子小于0， 2x+1＜0， 解得：． 20．（本题6分）先化简：，然后从﹣3，0，3中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【分析】先按分式运算法则化简，再从﹣3、0、3中选取使原式各分母均不为0的值代入。 【解答】解： ， ∵x2+3x≠0，x+3≠0，x﹣1≠0， ∴x≠0且x≠﹣3且x≠1， ∴取x＝3，原式． 21．（本题7分）阅读理解： 我们把形如的式子进行变形，可以得到（n为正整数）． 例如：，． 请利用上述方法计算： （1）； （2）． 【分析】利用裂项相消：将每一项拆成两项之差，中间项相互抵消后再计算。 （2）根据题意，仿照示例，得到规律，化简运算可得结果． 【解答】解：（1） ； （2）， 可以得到（n为正整数）， ∴ ． 22．（本题7分）关于x的方程2的解为正数，求a的取值范围． 【分析】解分式方程用a表示x，由解为正数列不等式；同时排除增根x＝1。 【解答】解：， 2﹣（5﹣a）＝﹣2（x﹣1）， 2﹣5+a＝﹣2x+2， 2x＝5﹣a， ， ∵方程的解为正数， ∴， 解得：a＜5， ∵分式分母不能为0， ∴x≠1， 即， 解得a≠3， 综上，a的取值范围是a＜5且a≠3． 23．（本题7分）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，|m|＝2，求的值． 【分析】由倒数得ab＝1，相反数得c+d＝0，绝对值得m＝±2，分两种情况代入求值。 【解答】解：根据题意可知，ab＝1，c+d＝0，m＝±2， ∴或， 综上所述，的值为﹣1或﹣5． 24．（本题7分）已知：． （1）化简； （2）若x＞1，试比较P、Q的大小关系． 【分析】（1）按分式乘除法则化简P；（2）化简后P＝1﹣某分式，由x＞1判断该分式范围，从而比较P与Q的大小。 （2）依据题意，结合（1）1，又x＞1，故01，进而求出01，即可得解． 【解答】解：（1）由题意得，•（x﹣1）2； （2）由题意，结合（1）1， ∵x＞1， ∴x+1＞2， ∴01， ∴0＜11，即01， ∴P＜Q． 25．（本题10分）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2400元，乙种商品共用了2880元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元． （1）求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？ （2）该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了3m（m＞0）元/件，同时乙种商品单价下调了2m（m＞0）元/件， ①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费5460元，求m的值； ②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲、乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值　4480元　 ． 【分析】（1）设甲进价x元/件，由购进数量相同列分式方程；（2）①按调价后总价列方程求m；②设甲n件，总费用整理为含n的式子，由与n无关得n的系数为0，求定值。 （2）①利用进货总价＝进货单价×购进数量，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； ②设购买n件甲种商品，则购买（100﹣n）件乙种商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，可用含n的代数式表示出总费用，由总费用与n无关，可得出5m﹣8＝0，解之可得出m的值，再将其代入（5m﹣8）n+4800﹣200m中，即可求出结论． 【解答】解：（1）设该商场购进的甲种商品的进价是x元/件，则购进的乙种商品的进价是（x+8）元/件， 根据题意得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意， ∴x+8＝40+8＝48（元/件）． 答：该商场购进的甲种商品的进价是40元/件，乙种商品的进价是48元/件； （2）①根据题意得：（40+3m）（48﹣2m）5460， 解得：m＝3． 答：m的值为3； ②设购买n件甲种商品，则购买（100﹣n）件乙种商品， 根据题意得：总费用＝（40+3m）n+（48﹣2m）（100﹣n）＝（5m﹣8）n+4800﹣200m， ∵总费用与n无关， ∴5m﹣8＝0， 解得：m， ∴总费用＝（5m﹣8）n+4800﹣200m＝（58）n+4800﹣2004480． 故答案为：4480元． 26．（本题10分）已知关于x的方程只有一个解，求k的值及这个解． 【分析】去分母化为整式方程；分式方程只有一个解分两种：整式方程判别式Δ＝0，或整式方程有两个解但其中一个是增根。 【解答】解：去分母得：x2+x2﹣4x+4+2x+k＝0，即2x2﹣2x+k+4＝0， 由分式方程只有一个解，得到Δ＝4﹣8（k+4）＝﹣8k﹣28＝0， 解得：k，此时方程为2x2﹣2x0，即2（x）2＝0， 解得：x1＝x2， 经检验是分式方程的解， 分式方程有一根为x＝0或x＝2， 把x＝0代入方程得：k＝﹣4，此时方程的解为x＝1（x＝0舍去）； 把x＝2代入方程得：k＝﹣8，此时方程的解为x＝﹣1（x＝2舍去）， 则k的值为，解为；k的值为﹣4，解为1；k的值为﹣8，解为﹣1． 27．（本题10分）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有A+B或A﹣B为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：A＝﹣2x﹣1，B＝2x﹣1，因为A+B＝﹣2，所以A，B互为关于x的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为关于x的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①x+1与﹣x+2；　 　 ②2x2+x﹣1与2x2﹣2；　 　 ③与；　 　 （2）若关于x的代数式，B＝x2+b（x﹣4）+2，A，B互为关于x的“关联代数式”，求a2﹣4ab+4b2+2026的值； （3）若关于x的代数式A＝mx+1，B＝nx﹣2，A，B互为关于x的“关联代数式”，且满足，求此时A2﹣B2的值． 【分析】（1）按定义判断A+B或A﹣B是否为定值；（2）分A+B为定值和A﹣B为定值两种情况，得a与b的关系，再整体代入；（3）先化简条件得AB＝1，再分A+B为定值和A﹣B为定值两种情况求A²﹣B²。 （2）分两种情况讨论，当A+B为定值，或A﹣B为定值时，进而可得a、b关系，代入求解即可； （3）由题意先求出AB＝1，进而分两种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵x+1+（﹣x+2）＝3，为定值， 故①是关于x的“关联代数式”； ∵2x2+x﹣1+2x2﹣2＝4x2+x﹣3不是定值，2x2+x﹣1﹣（2x2﹣2）＝x+1也不是定值， 故②不是关于x的“关联代数式”； ∵，不是定值， 但2， 故③是关于x的“关联代数式”； 故答案为：①√；②×；③√； （2），B＝x2+bx﹣4b+2， （i）不为定值，不满足题意； （ii）， ∴当时，A﹣B为定值，即a﹣2b＝8， ∴a2﹣4ab+4b2+2026＝（a﹣2b）2+2026＝2090； （3）∵， ∴A（B+1）+B（A+1）＝（A+1）（B+1）， ∴AB+A+AB+B＝AB+A+B+1， ∴AB＝1． （i）若A+B＝（m+n）x﹣1为定值，则m+n＝0，A+B＝﹣1， ∴（A﹣B）2＝（A+B）2﹣4AB＝﹣3＜0（舍）； （ii）若A﹣B＝（m﹣n）x+3为定值，则m﹣n＝0，A﹣B＝3， ∴（A+B）2＝（A﹣B）2+4AB＝13， ∴， ∴， 综上，． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/30 23:18:40；用户：G8冯隆志；邮箱：16606149894；学号：54046794 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版 八年级数学 第10章 分式 期中复习单元专题卷 时间：120分钟 满分：130分 期中考试范围：（八上）三角形，（八下）因式分解、分式 班级：______________ 姓名：__________________ 得分：____________ 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．在，，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知分式（a，b为常数）满足如下表格， x的取值 2 ﹣2 c d 分式的值 无意义 0 ﹣6 正整数 根据表格信息，下列结论中错误的是（　　） A．a＝﹣2 B．b＝4 C．c＝1 D．d可以取4个值 3．下列代数式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式从左到右的变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍 6．已知分式方程有增根，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．0 D．2 7．甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运x件货物，列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．当a≠b时，定义一种新运算：．例：．若F（m，2）﹣F（2，m）＝1，求m的值．小明的答案是，小亮的答案是m＝0．下列判断正确的是（　　） A．只有小明的答案正确 B．只有小亮的答案正确 C．小明和小亮的答案合在一起才正确 D．小明和小亮的答案都不正确 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．化简：_____ ． 10．分式的最简公分母是________________ ． 11．若分式有意义，则实数x的取值范围是_________ ． 12．关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是_____________ ． 13．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则式子的值为_______ ． 14．如果分式无意义，的值为0，则x﹣2y的值是_____ ． 15．若关于x的方程无解，则m的取值为_________ ． 16．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之积为_____ ． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）计算下列分式运算： （1）； （2）； （3）； 18．（本题6分）解下列分式方程：（1）； （2）． 19．（本题6分）解决问题： （1）当x取什么值时，分式的值为0． （2）当x取什么值时，分式的值不存在． （3）当x取什么值时，分式的值为负． 20．（本题6分）先化简：，然后从﹣3，0，3中选一个合适的数作为x的值代入求值． 21．（本题7分）阅读理解： 我们把形如的式子进行变形，可以得到（n为正整数）． 例如：，． 请利用上述方法计算： （1）； （2）． 22．（本题7分）关于x的方程2的解为正数，求a的取值范围． 23．（本题7分）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，|m|＝2，求的值． 24．（本题7分）已知：． （1）化简； （2）若x＞1，试比较P、Q的大小关系． 25．（本题10分）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2400元，乙种商品共用了2880元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元． （1）求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？ （2）该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了3m（m＞0）元/件，同时乙种商品单价下调了2m（m＞0）元/件， ①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费5460元，求m的值； ②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲、乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值__________ ． 26．（本题10分）已知关于x的方程只有一个解，求k的值及这个解． 27．（本题10分）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有A+B或A﹣B为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：A＝﹣2x﹣1，B＝2x﹣1，因为A+B＝﹣2，所以A，B互为关于x的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为关于x的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①x+1与﹣x+2；_____ ②2x2+x﹣1与2x2﹣2；_____ ③与；_____ （2）若关于x的代数式，B＝x2+b（x﹣4）+2，A，B互为关于x的“关联代数式”，求a2﹣4ab+4b2+2026的值； （3）若关于x的代数式A＝mx+1，B＝nx﹣2，A，B互为关于x的“关联代数式”，且满足，求此时A2﹣B2的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $