1.1探索勾股定理常见的五种题型 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

1.1探索勾股定理常见的五种题型

目　录

题型一　勾股定理的基础计算（已知两边求第三边、分类讨论、斜边上的高、逆定理判断）

题型二　勾股定理与图形面积（正方形、半圆、希波克拉底月牙、垂美四边形）

题型三　折叠（翻折）中的勾股定理

题型四　勾股定理的实际应用（含最短路径问题）

题型五　勾股定理的证明与赵爽弦图

 

题型一　勾股定理的基础计算（已知两边求第三边、分类讨论、斜边上的高、逆定理判断）

【解题技巧】勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即。①已知任意两边可求第三边；②只知两边且未指明斜边时，须分类讨论（该边可能是直角边也可能是斜边）；③判断直角三角形用勾股定理的逆定理：若，则三角形为直角三角形；④斜边上的高用面积法：两条直角边之积等于斜边与斜边上的高之积，即。

1．图①是办公桌摆件，图②是其简化示意图．在图②中，四边形是长方形．若对角线，垂足为，，，，则（     ）

A． B． C． D．

2．若一个三角形的三边长分别为，则使此三角形是直角三角形的的值是（    ）

A． B． C． D．或

3．一个直角三角形的模具，其中两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为(  )

A．5cm B．4cm                       C．cm D．5cm或cm

4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ）

A．6 B．9 C．12 D．18

5．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）．

A． B．

C． D．

6．在中，，，则以为边的正方形的面积为______．

7．若直角三角形的两条直角边长分别为，则斜边上的高为________．

8．如图，已知在中，于点．

(1)求的长；

(2)求的长．

 

题型二　勾股定理与图形面积（正方形、半圆、希波克拉底月牙、垂美四边形）

【解题技巧】分别以直角三角形三边为边作正方形、半圆或等边三角形，其面积满足（直角边对应面积之和等于斜边对应面积）。因为正方形、半圆的面积与边长平方成正比，由勾股定理可直接得到面积关系。求阴影面积时，把图形分割成正方形、三角形等可求面积的基本图形，再进行加减。

1．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（   ）

A．4 B．6 C．16 D．55

2．如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（    ）

A．6 B． C．5 D．

3．如图，，正方形和正方形的面积分别是和，则以为直径的半圆的面积是____________．

4．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________．

5．如图，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当，时，则阴影部分的面积为_____．

6．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________．

7．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．