第1章 第2课时 探索勾股定理(2)（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年八年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

第2课时　探索勾股定理(2) 1．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的(如图所示)，从而验证了勾股定理。已知最左边图中空白部分是由两个直角三角形和两个正方形组成，且面积为S1，最右边图中空白部分的面积为S2，则下列等式不正确的是(A) A．S1＝a2＋b2＋2ab B．S2＝c2＋ab C．S1＝S2 D．a2＋b2＝c2 2．如图，四边形ACDE是直角梯形，点B在CD上。在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C＝∠D＝90°，AC＝BD＝a，BC＝ED＝b，AB＝BE＝c。试利用该图形验证勾股定理。 证明：∵AC＝BD＝a，BC＝ED＝b，AB＝BE＝c， ∴△ACB≌△BDE(SSS)，∴∠BAC＝∠EBD。 ∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠EBD＝90°， ∴∠ABE＝90°。 ∵Rt△ACB，Rt△BDE，Rt△ABE的面积分别为ab，ab和c2，梯形ACDE的面积为(a＋b)(a＋b)， ∴(a＋b)(a＋b)＝ab＋ab＋c2， ∴(a＋b)2＝2ab＋c2， 化简，得a2＋b2＝c2。 3．图1所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的风车，则这个风车的外围周长是(D) A．144　　　 B．100　　 C．196　　　 D．148 　　　　 4．图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2所示，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺。设AC的长度为x尺，则可列方程为x2＋22＝(x＋0.5)2。 5．如图，在水塔O的东北方向15 m 处有一抽水站A，在水塔O的东南方向8 m处有一建筑工地B。若要在AB之间修建一条直水管，则水管的长为17m。 6．如图，小明打算测量学校旗杆AB的高度，他发现旗杆顶部的绳子AC垂到地面后还多出1 m。当他把绳子斜拉直，使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端到旗杆底部的距离BC为5 m，由此可计算出学校旗杆AB的高度是12m。 　　　　 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以三边长为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”。当AC＝4，BC＝6时，阴影部分的面积为12。 8．如图，两个滑块A，B由一个连杆连接，滑块A，B分别可以在垂直和水平的滑道上滑动。开始时，滑块A距O点20 cm，滑块B距O点15 cm。当滑块A向下滑到O点时，滑块B滑动了多少厘米？ 解：由题意，得AB2＝AO2＋OB2＝202＋152＝252， 所以AB＝25 cm。当滑块A向下滑到O点时，滑块B距O点的距离是25 cm， 所以滑块B滑动了25－15＝10(cm)。 9．制作4张全等的直角三角形纸片(如图1)，把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形，这样就构成了“弦图”(如图2)。古代数学家赵爽利用“弦图”验证了勾股定理。 【探索研究】 (1)小明将“弦图”中的2个三角形进行了旋转，得到图3。请利用图3验证勾股定理。 【数学思考】 (2)小芳认为用其他的方法改变“弦图”中某些三角形的位置也可以验证勾股定理。请你想一种方法支持她的观点(先在备用图中补全图形，再予以说明)。 解：(1)如答图1所示。因为图形的面积可表示为a2＋b2＋2×ab＝a2＋b2＋ab， 也可表示为c2＋2×ab＝c2＋ab， 所以a2＋b2＋ab＝c2＋ab，所以a2＋b2＝c2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 (2)如答图2所示。因为大正方形的面积可表示为(a＋b)2， 也可表示为c2＋4×ab＝c2＋2ab，所以(a＋b)2＝c2＋2ab， 所以a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab，所以a2＋b2＝c2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 学科网（北京）股份有限公司 $