精品解析：吉林吉林市第九中学2026-2027学年度八年级上学期期中考试数学试题

吉林市第九中学2026—2027学年度上学期期中测试八年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案． 【详解】A.，故该选项计算错误，不符合题意， B.，故该选项计算错误，不符合题意， C.，故该选项计算正确，符合题意， D.，故该选项计算错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 3. 如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ） A. AC∥DF B. ∠A=∠D C. AC=DF D. ∠ACB=∠F 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出． 【详解】∵AB=DE，∠B=∠DEF， ∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确； 添加∠A=∠D，根据ASA，可证明△ABC≌△DEF，故B都正确； 添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C都不正确． 故选C． 4. 如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此题的关键． 【详解】A、∵D是的中点，∴，但不一定等于，故本选项结论错误，不符合题意； B、∵是的角平分线，∴，本选项结论正确，符合题意； C、∵是的角平分线，不是高线，∴不等于，故本选项结论错误，不符合题意； D、与的关系不能确定，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图所示，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形，这样做的数学依据是（ ）． A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：∵加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形， ∴所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 6. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 如果，那么 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 等边对等角 D. 内错角相等，两直线平行 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：原命题的逆命题为“如果，那么”. ∵ 当，时，满足，但， ∴ 该逆命题不成立． 选项B：原命题的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”． ∵ 三角形内角和为，两个锐角和为时，第三个角为， ∴ 该逆命题成立． 选项C：原命题的逆命题为“等角对等边”，成立. 选项D：原命题的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，成立． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 点与点关于轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征求出、的值，再代入代数式计算． 【详解】解：平面直角坐标系中，关于轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∵点与点关于轴对称， ∴，， 将，代入，得． 8. 某社区要净化满满一池废水，长方体水池长为、宽为、高为，则这池废水的体积是______（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】已知长方体水池的长、宽、高，利用长方体体积公式计算容积，结果需符合科学记数法的表示规范． 【详解】解：∵ 长方体体积等于长、宽、高的乘积． ∴ 代入已知边长计算体积． 先计算数字因数的乘积：． 再计算同底数幂的乘积：． 得到初步结果． ∵ 科学记数法要求表示形式为，其中． ∴ 将初步结果调整为规范形式：． 9. 如图，在中，，边上的中线把三角形的周长分为和两部分，则该三角形的三边长分别为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设，根据中线定义和等腰三角形性质表示出，分和两种情况列方程求解，最后利用三角形三边关系检验是否成立． 【详解】解：∵是边上的中线 ∴ 设 ∵ ∴ 分两种情况讨论：当，时 ， 解得 ∴， ∴ 此时三边长为 ∵ ∴能构成三角形 当，时 ， 解得 ， ∴ 此时三边长为 ∴能构成三角形 综上所述，该三角形的三边长分别为或． 10. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，则的面积是______ ． 【答案】18 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 过点G作于点M， 由作图过程可知，是的平分线， ∴， ∴的面积． 11. 如图，在中、，，点是边上一点，连接，将沿着折叠，点落在点处、若，则的度数为______°． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形外角的性质，平行线的性质．熟练掌握轴对称的性质和三角形外角的性质是解题的关键． 先由轴对称的性质得出，，再由平行线的性质得，从而求得，然后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：由折叠可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：35． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先完成多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算，再去括号合并同类项得到最简结果； （2）先完成同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方的对应运算，再合并同类项得到最简结果． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解： ． 13. 如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵ AC= DB ∴AB= CD，且AE= DF，BE= CF， ∴ △ABE≌△DCF (SSS) ∴∠A= ∠D， ∴AE∥DF． 【解析】 【分析】“SSS” 可证△ABE≌△DCF，可得∠A=∠D，即可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 14. 如图，在中，于D平分与交于点F，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，解题的关键是先根据三角形内角和求出角的度数，再利用角平分线得到平分角的度数，结合高线的垂直关系，通过三角形外角性质求出目标角度． 根据三角形内角和定理求出的度数；由角平分线的性质得到的度数；结合得出的度数；再利用三角形外角等于不相邻两个内角之和，求出的度数． 【详解】解：∵， 而， ∴， ∵平分， ∴， ∵于D， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ，， 平分， ， ， ∴， 为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线性质得到角相等，结合角平分线定义推导出，再根据等角对等边证明为等腰三角形； （2）先由角平分线定义求出，再通过平行线性质得到，接着利用等腰三角形性质求出，最后根据三角形内角和定理计算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，， ∵， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 16. 利用幂的运算解决下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知为正整数，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将等式左侧各幂统一为以为底的同底数幂，根据指数相等列方程求解； （2）利用幂的运算法则将所求式子变形为含的形式，代入已知值计算． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴，解得.； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴原式 ． 17. 如图，为的角平分线，的垂直平分线交于点E、的延长线于点F，与交于点O． （1）求证：； （2）连接，求证：． 【答案】（1） 证明：∵为的角平分线， ， ∵的中垂线交于点、的延长线于点， ， ， ， ． （2） ∵是的中垂线， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由为的角平分线，的中垂线交于点、的延长线于点，得 ，又由三角形外角的性质，即可证得：； （2）由线段垂直平分线的性质得，从而，等量代换可证，进而可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点、、、、、均在格点上在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且、均为格点； （2）在图②中，画以为底的等腰三角形，且为格点： （3）在图③中，以线段为边画一个等腰三角形，使其面积为，且为格点． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质，先选定一条对称轴，再找出、两点对应的对称格点、，连接两点得到线段，保证与不重合． （2）以为底构造等腰三角形，依据等腰三角形底边上的点到两底端点距离相等的特点，在的垂直平分线上寻找符合条件的格点，连接、完成作图． （3）先利用勾股定理计算、的长度，再结合三角形面积公式验证面积，在格点中找到点，满足，且三角形面积等于． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得， ∴是等腰三角形； 【小问3详解】 解：由勾股定理可得，， ， ． 19. 如图，已知，，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）若． ①的度数为______； ②若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴, ∵， ∴为等边三角形； （2）①150度；②2 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由得，结合可判断为等边三角形； （2）①证明得，运用周角可求出结论； ②证明，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵为等边三角形， ∴， 又，， ∴ ∴， 又，， ∴ ②， ． 由（1）知，， ， 又， ， ． 20. 对定义一种新运算：．如：． （1）计算：__________． （2）计算：． （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，涉及整式加减乘法运算，读懂题意，准确掌握新定义的运算法则是解决问题的关键． （1）根据新定义运算法则，代值求解即可得到答案； （2）根据新定义运算法则，利用整式乘法运算及整式加减运算法则计算即可得到答案； （3）根据新定义运算法则，利用整式乘法运算及整式加减运算法则计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 21. 如图，在中，． （1）如图①，分别以，为边，向外作等边和等边，连接，，则______（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）如图②，分别以，为腰，向内作等腰和等腰，且小于，连接，，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图③，以为腰向内作等腰，以为腰向外作等腰，且，已知点A到直线的距离为3，，求的长及点D到直线的距离． 【答案】（1）= （2） （3），D到直线的距离为 【解析】 【分析】（1）利用等边和等边得出，可判断，即得； （2）利用和为等腰三角形，得出，可判断，即得； （3）利用和为等腰三角形，得出，可判断，即得，再利用的面积即可求点D到直线的距离． 【小问1详解】 解：∵和为等边三角形， ∴， ∴，即：， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：=； 【小问2详解】 解：， 证明如下：∵和为等腰三角形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵和为等腰三角形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 设D到直线的距离为h， ∵，则 ∴， ∴D到直线的距离为． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．全等三角形的判定结合全等三角形的性质是证明线段相等或角相等的工具，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有． 22. 如图，在中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． （1）的长为 ；（用含的代数式表示） （2）当的面积是时，求的值； （3）当点在的角平分线上时，求的值； （4）当点在线段的延长线上时，直接写出为等腰三角形时的值． 【答案】（1）； （2）或； （3）； （4）或； 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （）根据题意列代数式可求得答案； （）分当在线段上时，当在线段延长线上时两种情况分析即可； （）过作于点，则，根据角平分线的性质得，证明，则有，所以，设，则，然后通过勾股定理得，再求出的值即可； （）分作为底和腰两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当在线段上时，， ∵的面积是， ∴， ∴，解得：； 当在线段延长线上时，， ∵的面积是， ∴， ∴，解得：； 综上可得：当的面积是时，的值为或； 【小问3详解】 解：如图，过作于点，则， ∵点在的角平分线上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，解得：， ∴的值为； 【小问4详解】 解：如图， 当时， ∴，解得：； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 综上可得：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第九中学2026—2027学年度上学期期中测试八年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ） A. AC∥DF B. ∠A=∠D C. AC=DF D. ∠ACB=∠F 4. 如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形，这样做的数学依据是（ ）． A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 6. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 如果，那么 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 等边对等角 D. 内错角相等，两直线平行 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 点与点关于轴对称，则______． 8. 某社区要净化满满一池废水，长方体水池长为、宽为、高为，则这池废水的体积是______（结果用科学记数法表示）． 9. 如图，在中，，边上的中线把三角形的周长分为和两部分，则该三角形的三边长分别为______． 10. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，则的面积是______ ． 11. 如图，在中、，，点是边上一点，连接，将沿着折叠，点落在点处、若，则的度数为______°． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 化简： （1）； （2）． 13. 如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，．求证：． 14. 如图，在中，于D平分与交于点F，求． 15. 如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，求的度数． 16. 利用幂的运算解决下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知为正整数，且，求的值． 17. 如图，为的角平分线，的垂直平分线交于点E、的延长线于点F，与交于点O． （1）求证：； （2）连接，求证：． 18. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点、、、、、均在格点上在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且、均为格点； （2）在图②中，画以为底的等腰三角形，且为格点： （3）在图③中，以线段为边画一个等腰三角形，使其面积为，且为格点． 19. 如图，已知，，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）若． ①的度数为______； ②若，，求的长． 20. 对定义一种新运算：．如：． （1）计算：__________． （2）计算：． （3）计算：． 21. 如图，在中，． （1）如图①，分别以，为边，向外作等边和等边，连接，，则______（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）如图②，分别以，为腰，向内作等腰和等腰，且小于，连接，，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图③，以为腰向内作等腰，以为腰向外作等腰，且，已知点A到直线的距离为3，，求的长及点D到直线的距离． 22. 如图，在中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． （1）的长为 ；（用含的代数式表示） （2）当的面积是时，求的值； （3）当点在的角平分线上时，求的值； （4）当点在线段的延长线上时，直接写出为等腰三角形时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $