精品解析：贵州黔西南州金成实验学校2026-2027学年上学期第一次质量检测高三数学

2026—2027学年度第一学期1022第一次质量检测试题 高三年级 数学 答卷注意事项： 1、学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题. 2、填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂. 3、答题时字迹要清楚、工整 4、本卷共19小题，总分为150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 若函数，则的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 某县区对小学生进行一分钟跳绳测试．已知该县区全体小学生的跳绳次数服从正态分布（单位：次/分钟），而且落在区间内的占比为30%．随机抽调该县区名小学生，其中至少有一位跳绳次数少于105（次/分钟）的概率不低于0.9，则至少需要抽取的学生数为（ ） （参考数据：，，，） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数、.满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 10. 函数（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A. 在上有三个零点 B. 有最大值 C. 在处取得极小值 D. 既没有最大值也没有最小值 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量若，则___________ 13. 在的展开式中，含项的系数是______. 14. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数a的值； （2）求在区间上的值域． 16. 设函数． （1）若，求的值． （2）已知在区间上单调递增，，，求，的值． 17. 如图，在三棱锥中，棱，，两两互相垂直，且，．点是的中点，点是棱上的一个动点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18. 2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼目的情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率． （1）已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程） （2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望； （3）在（1）的前提下，已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 19. 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期1022第一次质量检测试题 高三年级 数学 答卷注意事项： 1、学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题. 2、填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂. 3、答题时字迹要清楚、工整 4、本卷共19小题，总分为150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解集合，再由集合的并集求解即可. 【详解】因为，或，所以或. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 4. 若函数，则的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，令解不等式即可得答案. 【详解】解：因为函数，所以， 令，得，所以的单调增区间为， 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】凑角后利用诱导公式和二倍角公式求解. 【详解】. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数定义判断出函数为偶函数，排除B选项，再通过对变形设，求导得出单调性，进而分析时的情况，排除C，D选项. 【详解】∵，且定义域为， ∴为偶函数，故排除B选项，又因为， ，则恒成立， ∴在上单调递增，当时，， ∴当时，，且单调递增，故排除选项C、D. 7. 某县区对小学生进行一分钟跳绳测试．已知该县区全体小学生的跳绳次数服从正态分布（单位：次/分钟），而且落在区间内的占比为30%．随机抽调该县区名小学生，其中至少有一位跳绳次数少于105（次/分钟）的概率不低于0.9，则至少需要抽取的学生数为（ ） （参考数据：，，，） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求得单次抽样跳绳次数少于105次的概率，结合对立事件概率关系列不等式，取对数求解最小正整数. 【详解】设该县区小学生一分钟跳绳次数为随机变量，则， 因为落在区间内的占比为，根据正态分布对称性可得， 因为“抽取的名学生中至少有一位跳绳次数少于105次”的对立事件为“名学生跳绳次数均不低于105次”， 可得，即， 两边取对数得，所以， 又，故的最小值为11，即至少需要抽取的学生数为11. 8. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数、.满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质求解判断. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当且，即时取等号， ∴的最小值为3，故A正确； ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1，则B正确； 因为， 当且仅当时，等号成立，所以， 的最大值为2，故C正确； 因为， 由B项知，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2，故D错误， 10. 函数（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A. 在上有三个零点 B. 有最大值 C. 在处取得极小值 D. 既没有最大值也没有最小值 【答案】BC 【解析】 【详解】，零点为、，只有两个，A错误. 令得. 在小于0、大于0、小于0， 故为极小值点，为极大值点，C正确； 且当时，从而为最大值，B正确； 函数有最大值而无最小值，D错误. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】得到以为周期后，去绝对值并计算可得A；计算是否恒等于可得B；结合正弦型函数性质计算可得C；计算是否恒成立可得D. 【详解】对于A， ，故以为周期， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故的值域为，A正确； 对于B， ，故的最小正周期不为，故B错误； 对于C，当时，，， 故单调递减，故C正确； 对于D，由 ，故的图象关于直线对称，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 13. 在的展开式中，含项的系数是______. 【答案】160 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】由， 由，可得． 在的展开式中，含项的系数是. 故答案为：160 14. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 【答案】## 【解析】 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数a的值； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两直线垂直的性质即可求得a的值； （2）利用求导，判断函数的单调性，结合给定区间即可求得函数的值域. 【小问1详解】 由求导得， 则在处的切线的斜率为，因切线与垂直， 故，解得. 【小问2详解】 由（1）可得 ， 因，则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 因,即, 故在区间上的值域为. 16. 设函数． （1）若，求的值． （2）已知在区间上单调递增，，，求，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）想利用两角和的正弦公式得到，代入结合的范围即可求解； （2）根据单调区间即最值点求出周期进而求得，再代入即可求出. 【小问1详解】 先化简函数，由两角和正弦公式得， 代入，， 已知，所以, 【小问2详解】 ，， 两点刚好是最小值点与最大值点，区间长度， 又在单调递增，说明这个区间恰好是半个周期， ，所以， 此时， 由，得， 所以，解得， 由，得. 17. 如图，在三棱锥中，棱，，两两互相垂直，且，．点是的中点，点是棱上的一个动点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1）如图，连接． 因为，是的中点，所以． 因为，，且，平面，所以平面， 因为平面，所以． 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）1 【解析】 【分析】（1）先根据，，得出平面，再推出平面，最后证明； （2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角计算公式，建立方程求得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系． 由已知可得，，，． 设，则，，，． 设平面的法向量为， 由得，取． 设直线与平面所成的角为， 则． 令，解得（负值舍去）． 故线段的长为1 18. 2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼目的情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率． （1）已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程） （2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望； （3）在（1）的前提下，已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 【答案】（1）的分布列为 （2）的分布列为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式得到甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数，从而可补充表格内容. （2）先用古典概型计算公式分别计算甲、乙上午、下午选择同一种球和两种球的概率，再确定的取值，根据每个值对应的含义，求得每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得期望； （3）利用条件概率的计算公式即可求解. 【小问1详解】 设事件C为“甲上午选择足球”，事件为“甲下午选择足球”， 设甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数为， 则，解得， 所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为． 体育锻炼项目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 15天 5天 10天 10天 10天 5天 25天 【小问2详解】由题意知，甲上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为； 乙上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为． 记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，则的所有可能取值为， ． ， ， 所以的分布列为 所以． 【小问3详解】 记事件为“上午室外温度在20度以下”，事件为“甲上午打羽毛球”， 由题意知， . 故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下的概率为． 【点睛】本题考查概率与分布列问题，从素养上体现对学生的逻辑推理､数学建模素养的考查，考查学生的运算求解能力． 19. 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）证明：由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 【解析】 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $