贵州黔西南州金成实验学校2026-2027学年上学期第一次质量检测高三数学

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 密封线内不准答题 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………金………………○………………成………………○………………学………………○………………校………………○……………… … 学号：______________姓名：_____________班级：_______________考号：____________________座位号： __ 2026—2027学年度第一学期1022第一次质量检测试题 高三年级 数学 答卷注意事项： 1、 学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题。 2、 填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂。 3、 答题时字迹要清楚、工整 4、 本卷共19小题，总分为150分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2、已知z=1+i，则等于(　　) A.-i B.i C.-1 D.1 3、已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D.2 4、若函数 ，则 的单调增区间为（　） A．　　B． C．　　　　 D． 5、已知，则（    ） A． B． C． D． 6、函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7、某县区对小学生进行一分钟跳绳测试．已知该县区全体小学生的跳绳次数服从正态分布（单位：次分钟），而且落在区间，内的占比为．随机抽调该县区名小学生，其中至少有一位跳绳少于105（次分钟）的概率不低于0.9，则至少需要抽取的学生数为（　　） （参考数据：，，， A．10 B．11 C．12 D．13 8、已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分。 9、设正实数、满足，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为3 B．的最大值为1 C．的最大值为2 D．的最大值为2 10、函数 （为自然对数的底数），则下列说法正确的是（　） A． 在R上有三个零点 B． 有最大值 C． 在 处取得极小值点 D． 既没有最大值也没有最小值 11、已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的值域为 B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．的图象关于直线 对称 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、 已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　　　 。 13、 在的展开式中，含项的系数是 。 14、有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)=　　　　。  四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。 15、（13分）已知，在处的切线与垂直， （1）求实数的值； （2）求在区间，上的值域． 16、（15分）已知函数，，． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若在，上单调递增，且，；求、的值。 17、 （15分）如图，在三棱锥O-ABC中，棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA=OB=2，OC=4。点P是AB的中点，点Q是棱 OC上的一个动点。 （1） 证明：PQAB； （2） 若直线AQ与平面ABC所成角的正弦值等于 ，求线段OQ的长。 18、（17分）2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼目的情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率． (1)已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程） (2)记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望； (3)已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 19、（17分）已知函数，其中 。 (1)证明：在区间(0，+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设x1，x2分别为在区间(0，+∞)的极值点和零点. (ⅰ)设函数g(t)=f(x1+t)-f(x1-t).证明：g(t)在区间(0，x1)单调递减； (ⅱ)比较2x1与x2的大小，并证明你的结论. 第7页（共8页） 第8页（共8页） 第1页（共8页） 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期1022第一次质量检测试题 高三年级 数学答案 选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A D C A A B B ABC BC ACD 填空题答案：12： ； 13： 160 ；14： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解集合，再由集合的并集求解即可. 【详解】因为，或，所以或. 2、已知z=1+i，则等于(　　) A.-i B.i C.-1 D.1 答案　A 解析　====-i. 3、已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D.2 答案　D 解析　设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c， 由题意知b=a， 于是c2=a2+b2=a2+7a2=8a2，则c=2a， 即e==2. 4、若函数 ，则 的单调增区间为（　） A．　　B． C．　　　　 D． 答案　C 解析：定义域 。 因 时 ，故 等价于 ，即 。所以单调增区间为 ，选 C。 5、已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 6、函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数定义判断出函数为偶函数，排除B选项，再通过对变形设，求导得出单调性，进而分析时的情况，排除C，D选项. 【详解】∵，且定义域为， ∴为偶函数，故排除B选项，又因为， ，则恒成立， ∴在上单调递增，当时，， ∴当时，，且单调递增，故排除选项C、D. 7、某县区对小学生进行一分钟跳绳测试．已知该县区全体小学生的跳绳次数服从正态分布（单位：次分钟），而且落在区间，内的占比为．随机抽调该县区名小学生，其中至少有一位跳绳少于105（次分钟）的概率不低于0.9，则至少需要抽取的学生数为（　　） （参考数据：，，， A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 8、已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 答案　B 解析　方法一　设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m， 令m=2，则x=1，y=3-1=，z=5-3=，此时x>y>z，A有可能； 令m=5，则x=8，y=9，z=1，此时y>x>z，C有可能； 令m=8，则x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x，D有可能. 方法二　设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，所以x=2m-2，y=3m-3，z=5m-5， 根据指数函数的单调性，易知各方程有唯一的实数解， 作出函数y=2x-2，y=3x-3，y=5x-5的图象，以上方程的解分别是函数y=2x-2，y=3x-3，y=5x-5的图象与直线x=m的交点纵坐标，如图所示. 易知，随着m的变化可能出现x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x. 方法三　(数形结合法) 2+log2x=3+log3y=5+log5z ⇔2+=3+=5+ ⇔-1+==2+， 因此只需比较ln x，ln y，ln z的大小，将ln x，ln y，ln z看作是自变量，作出如图所示的直线， 则图中直线y=-1+，y=，y=2+与虚线的交点的横坐标分别为ln x，ln y，ln z， 由图可知不可能出现ln x>ln z>ln y，即不可能出现x>z>y. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分。 9、设正实数、满足，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为3 B．的最大值为1 C．的最大值为2 D．的最大值为2 答案　ABC 10、函数 （为自然对数的底数），则下列说法正确的是（　） A． 在R上有三个零点 B． 有最大值 C． 在 处取得极小值点 D． 既没有最大值也没有最小值 答案：BC。 解析：，零点为 、，只有两个，A 错误。 令 得 。 在 小于 、 大于 、 小于 ，故 为极小值点， 为极大值点，且 为最大值，B、C 正确；函数有最大值而无最小值，D 错误。故选 BC。 11、已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的值域为 B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．的图象关于直线 对称 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　　　 . 答案　 解析　a-b=(1，1-2x)，因为a⊥(a-b)，则a·(a-b)=0， 则x+1-2x=0，解得x=1. 则a=(1，1)，则|a|=. 13、答案 160 14、有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)=　　　　。  答案　 解析　方法一　依题意，X的可能取值为1，2，3， 总的抽取方法数为53=125， 其中X=1表示3次抽取同一标号的球，选择球的标号有5种方式， 故P(X=1)==； X=2表示恰好两种不同标号的球被取出(即一球出现2次，另一球出现1次)， 选择出现2次的球有5种方式，选择出现1次的球有4种方式， 其中出现1次的球第几次被取出有3种可能，故事件X=2的可能情况有5×4×3=60(种)， 故P(X=2)==； X=3表示三种不同标号的球被取出， 可能情况有5×4×3=60(种)， 故P(X=3)==， 所以E(X)=1×+2×+3×=. 方法二　依题意，假设随机变量Xi，其中i=1，2，3，4，5， 其中Xi=则X=Xi， 易知所有E(Xi)相等， 则E(X)=E(Xi)=E(Xi)=5E(Xi)， 由题意可知，i号球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于每次抽取相互独立，则3次均未取出i号球的概率为P(Xi=0)==， 因此i号球至少被取出1次的概率为P(Xi=1)=1-=，故E(Xi)=， 所以E(X)=5E(Xi)=5×=. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。 15、（13分）已知，在处的切线与垂直， （1）求实数的值； （2）求在区间，上的值域． 16、（15分）已知函数，，． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若在，上单调递增，且，；求、的值。 【解析】（Ⅰ）因为函数， 所以， 又因为，所以． （Ⅱ）因为在，上单调递增，且， 所以在时取得最小值，时取得最大值1， 所以的最小正周期为，计算， 又因为，所以，， 解得，； 又因为，所以； 17、 （15分）如图，在三棱锥O-ABC中，棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA=OB=2，OC=4。点P是AB的中点，点Q是棱 OC上的一个动点。 （1） 证明：PQAB； （2） 若直线AQ与平面ABC所成角的正弦值等于 ，求线段OQ的长。 18、2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼目的情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率． (1)已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程） (2)记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望； (3)已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 【解析】（1）设事件C为“甲上午选择足球”，事件为“甲下午选择足球”， 设甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数为， 则，解得， 所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为． 体育锻炼项目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 15天 5天 10天 10天 10天 5天 25天 （2）由题意知，甲上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为； 乙上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为． 记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，则的所有可能取值为， ． ， ， 所以的分布列为 所以． （3）记事件为“上午室外温度在20度以下”，事件为“甲上午打羽毛球”， 由题意知， . 故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下的概率为． 19、（17分）已知函数，其中 。 (1)证明：在区间(0，+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设x1，x2分别为在区间(0，+∞)的极值点和零点. (ⅰ)设函数g(t)=f(x1+t)-f(x1-t).证明：g(t)在区间(0，x1)单调递减； (ⅱ)比较2x1与x2的大小，并证明你的结论. (1)证明　由题意得f'(x)=-1+x-3kx2=-3kx2=x2， 因为x∈(0，+∞)，所以x2>0， 设h(x)=-3k，x>0， 则h'(x)=-<0在(0，+∞)上恒成立，所以h(x)在(0，+∞)上单调递减， 因为0<k<，所以h(0)=1-3k>0，令h(x1)=0，则x1=-1， 所以当x∈(0，x1)时，h(x)>0，则f'(x)>0；当x∈(x1，+∞)时，h(x)<0，则f'(x)<0， 所以f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，+∞)上单调递减， 所以x1为f(x)在(0，+∞)上的极大值点， 所以f(x)在(0，+∞)上存在唯一极值点. 对函数y=ln(1+x)-x有y'=-1=-<0在(0，+∞)上恒成立， 所以y=ln(1+x)-x在(0，+∞)上单调递减， 所以y=ln(1+x)-x<0在(0，+∞)上恒成立， 又因为f(0)=0，f(x1)>0，当x→+∞时，x2-kx3=x2(1-2kx)→-∞， 所以当x→+∞时，f(x)→-∞， 所以存在唯一的x2∈(x1，+∞)使得f(x2)=0，即f(x)在(0，+∞)上存在唯一零点. (2)(ⅰ)证明　由(1)知x1=-1，则x1+1=，f'(x)=x2=，x>0， 则g'(t)=f'(x1+t)+f'(x1-t)=+ =+ =+=3kt·=， 因为0<t<x1且k>0，所以-6kt2<0，2x1+-t2>0， 又1+x1>t，所以(1+x1)2-t2>0， 所以g'(t)<0， 所以函数g(t)在区间(0，x1)上单调递减. (ⅱ)解　2x1>x2，证明如下： 由(ⅰ)知，函数g(t)在区间(0，x1)上单调递减， 所以g(0)>g(x1)，即0>f(2x1)，又f(x2)=0，所以f(x2)>f(2x1)， 由(1)可知f(x)在(x1，+∞)上单调递减，2x1，x2∈(x1，+∞)， 所以2x1>x2. 学科网（北京）股份有限公司 $