2.1.1 椭圆及其标准方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

1.1　椭圆及其标准方程

　　在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图1、图2.我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是任意一点到圆心的距离都等于半径.

【问题】　椭圆又有着怎样的几何特征呢？它是否与圆一样有自己的定义、方程？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                                                      　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                                                      　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　椭圆的定义

　平面内到两个定点F1，F2的　　　　　　的点的集合（或轨迹）叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的　　　　，两个焦点间的距离　　　　叫作椭圆的焦距.

【想一想】

定义中，将“大于｜F1F2｜”改为“等于｜F1F2｜”或“小于｜F1F2｜”，其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？

知识点二　椭圆的标准方程

提醒：椭圆标准方程的特征：（1）几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上；（2）代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值.x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上；（3）在椭圆的标准方程中不一定有a＞b＞c成立，只需a＞b，a＞c即可，b，c的大小关系不确定.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.（　　）

（2）平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.（　　）

（3）方程＋＝1（a＞0，b＞0）表示的曲线是椭圆.（　　）

（4）设F1（－4，0），F2（4，0）为定点，动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝8，则动点M的轨迹是椭圆.（　　）

2.若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值为（　　）

A.1　　　　 B.2　　　　

C.4　　　　 D.6

3.若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为　　　　.

4.已知椭圆＋＝1过点（2，），则其焦距为　　　　.

 题型一　椭圆的定义

若△ABC的两个顶点坐标为A（－4，0），B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为　　　　　　.

尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　                              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

通性通法

椭圆的定义在解题中的双向作用

　　椭圆的定义具有双向作用，即若｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜），则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.

1.〔多选〕已知在平面直角坐标系中，点A（－3，0），B（3，0），P为一动点，且｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a≥0），下列说法中正确的是（　　）

A.当a＝2时，点P的轨迹不存在

B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3

C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6

D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆

2.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点.若｜F2A｜＋｜F2B｜＝12，则｜AB｜＝　　　　.

题型二　求椭圆的标准方程

〔一题多解〕求满足下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别为F1（－4，0），F2（4，0），并且椭圆上一点P与两焦点的距离之和等于10；

（2）焦点分别为（0，－2），（0，2），经过点（4，3）；

（3）经过两点（2，－），（－1，）.

尝试解答

 

 

 

通性通法

利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤