2.1.1 椭圆及其标准方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案围绕椭圆及其标准方程展开，从日常生活中的椭圆现象导入，类比圆的定义，通过问题引导学生抽象椭圆模型，掌握椭圆的定义及标准方程，构建前后知识联系的学习支架。 资料设计有“想一想”探究、题型分类解析、一题多解及通性通法总结，结合判断正误和分层练习，帮助学生深化理解，培养数学抽象和直观想象素养，提升用数学思维解决问题的能力，适合自主学习与教学评估。

1.1　椭圆及其标准方程 课标 要求 1.了解椭圆的实际背景（数学抽象）. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程（直观想象）. 　　在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图1、图2.我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是任意一点到圆心的距离都等于半径. 【问题】　椭圆又有着怎样的几何特征呢？它是否与圆一样有自己的定义、方程？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　椭圆的定义 　平面内到两个定点F1，F2的　　　　　　的点的集合（或轨迹）叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的　　　　，两个焦点间的距离　　　　叫作椭圆的焦距. 【想一想】 定义中，将“大于｜F1F2｜”改为“等于｜F1F2｜”或“小于｜F1F2｜”，其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？ 知识点二　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 　　　　　 　　　　　 图形 焦点坐标 　　　　　 　　　　　 a，b，c的关系 c2＝　　　　　 提醒：椭圆标准方程的特征：（1）几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上；（2）代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值.x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上；（3）在椭圆的标准方程中不一定有a＞b＞c成立，只需a＞b，a＞c即可，b，c的大小关系不确定. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.（　　） （2）平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.（　　） （3）方程＋＝1（a＞0，b＞0）表示的曲线是椭圆.（　　） （4）设F1（－4，0），F2（4，0）为定点，动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝8，则动点M的轨迹是椭圆.（　　） 2.若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值为（　　） A.1　　　　 B.2　　　　 C.4　　　　 D.6 3.若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为　　　　. 4.已知椭圆＋＝1过点（2，），则其焦距为　　　　. 题型一　椭圆的定义 若△ABC的两个顶点坐标为A（－4，0），B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为　　　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 椭圆的定义在解题中的双向作用 　　椭圆的定义具有双向作用，即若｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜），则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. 1.〔多选〕已知在平面直角坐标系中，点A（－3，0），B（3，0），P为一动点，且｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a≥0），下列说法中正确的是（　　） A.当a＝2时，点P的轨迹不存在 B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 2.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点.若｜F2A｜＋｜F2B｜＝12，则｜AB｜＝　　　　. 题型二　求椭圆的标准方程 〔一题多解〕求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为F1（－4，0），F2（4，0），并且椭圆上一点P与两焦点的距离之和等于10； （2）焦点分别为（0，－2），（0，2），经过点（4，3）； （3）经过两点（2，－），（－1，）. 尝试解答 通性通法 利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 　　主要步骤可归纳为“先定位，再定量”. 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）. 1.已知点A（－3，0），B（0，2）在椭圆＋＝1上，则椭圆的标准方程为（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 2. 求满足过点（，－），且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程. 题型三　椭圆方程的简单应用 若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为（　　） A.（5，6） B.（5，7） C.（6，7） D.（5，6）∪（6，7） 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 　（变条件）若本例条件变为“若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，则实数k的取值范围为　　　　. 通性通法 1.判断焦点所在坐标轴其依据是看x2项，y2项的分母哪个大，焦点在分母大的坐标轴上. 2.对于方程＋＝1（m＞0，n＞0），当m＞n＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n＞m＞0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地，当n＝m＞0时，方程表示圆心在原点的圆. 已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0（k≠0），焦距为4，则k＝　　　　. 题型四　椭圆的焦点三角形 〔一题多解〕已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，2a＝4，且点在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）若点P在椭圆上，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面积. 尝试解答 通性通法 　　设F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，当P，F1，F2三点不在同一条直线上时，P，F1，F2构成了一个三角形，这个三角形叫作焦点三角形.我们可以由三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理和椭圆的定义等来解决焦点三角形等有关问题，如△PF1F2的面积问题，｜PF1｜·｜PF2｜的最值问题等. 　设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上任意一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，则的值为　　　　. 1.椭圆＋＝1的焦点坐标是（　　） A.（±5，0） B.（0，±5） C.（0，±12） D.（±12，0） 2.过点A（3，－2）且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3.如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是　　　　. 4.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长是　　　　. 5.设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程为　　　　. 完成课后作业　第二章　§1　1.1 答案 1.1　椭圆及其标准方程 【基础落实】 新知初探 知识点一 距离之和等于常数（大于｜F1F2｜） 焦点　｜F1F2｜ 想一想 提示：不是.当距离之和等于｜F1F2｜时，点的轨迹是线段F1F2；当距离之和小于｜F1F2｜时，点的轨迹不存在. 知识点二 ＋＝1（a＞b＞0）　＋＝1（a＞b＞0）　（－c，0），（c，0）　（0，－c），（0，c）　a2－b2 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）× 2.C 3.＋＝1或＋＝1 4.4　解析：将点（2，）代入椭圆方程得＋＝1，解得b2＝12，则c2＝12－8＝4，c＝2，所以焦距为2c＝4. 【典例研析】 【例1】　＋＝1（y≠0）　解析：△ABC的两个顶点坐标为A（－4，0），B（4，0），周长为18，∵｜AB｜＝8，∴｜BC｜＋｜AC｜＝10.∵｜BC｜＋｜AC｜＞8，∴点C到两个定点A，B的距离之和为定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点，去除直线AB上的点的椭圆.∵2a＝10，2c＝8，∴b＝3.∴顶点C的轨迹方程是＋＝1（y≠0）. 跟踪训练 1.AC　对于A，当a＝2时，2a＝4＜｜AB｜＝6，故点P的轨迹不存在，故A正确；对于B、C，当a＝4时，2a＝8＞｜AB｜，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为｜AB｜＝6，故B错误，C正确；对于D，当a＝3时，2a＝6＝｜AB｜，故点P的轨迹为线段AB，故D错误. 2.8　解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知｜AB｜＝｜F1A｜＋｜F1B｜，所以在△F2AB中，｜F2A｜＋｜F2B｜＋｜AB｜＝4a＝20，又｜F2A｜＋｜F2B｜＝12，所以｜AB｜＝8. 【例2】　解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1. （2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 法一　由椭圆的定义知2a＝＋＝6＋＋6－＝12，解得a＝6. 又c＝2，所以b＝＝4. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 法二　因为所求椭圆过点（4，3），所以＋＝1. 又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. （3）法一　若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 由已知条件得解得 则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去. 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二　设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）.分别将两点的坐标（2，－），（－1，）代入椭圆的一般方程，得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 跟踪训练 1.B　由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋＝1. 2.解：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ① 又点（，－）在椭圆上，所以＋＝1， 即＋＝1. ② 由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 【例3】　D　由题意知解得5＜k＜7且k≠6，所以实数k的取值范围是（5，6）∪（6，7）. 母题探究 （5，6）　解析：由题意知解得5＜k＜6. 跟踪训练 1或5　解析：将方程kx2＋3y2－6k＝0化为＋＝1.∵焦距为4，∴2c＝4，即c＝2.当焦点在x轴上时，6－2k＝4，解得k＝1；当焦点在y轴上时，2k－6＝4，解得k＝5.综上，k＝1或5. 【例4】　解：（1）∵椭圆C的焦点在x轴上，且2a＝4， ∴可设椭圆C的方程为＋＝1（0＜b＜2）. ∵点（1，）在椭圆C上，∴＋＝1，解得b2＝1. ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. （2）法一 由（1）知，c＝＝，｜PF1｜＋｜PF2｜＝4. 在△F2PF1中，由余弦定理，得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋－2｜PF1｜｜PF2｜·cos∠F1PF2，即4c2＝42－3｜PF1｜｜PF2｜. ∴｜PF1｜｜PF2｜＝， ∴＝｜PF1｜｜PF2｜sin 60°＝××＝. 法二 由（1）知b2＝1，又∵∠F2PF1＝60°， ∴＝b2tan＝tan 30°＝. 跟踪训练 或2　解析：因为椭圆方程为＋＝1，所以a2＝9，b2＝4，c2＝5.所以｜F1F2｜＝2，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6.由题意知，｜PF1｜＞｜PF2｜，所以∠PF1F2不可能为直角.若∠PF2F1为直角，则｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，即｜PF1｜2＝（6－｜PF1｜）2＋20，解得｜PF1｜＝.所以｜PF2｜＝，所以＝.若∠F1PF2为直角，则｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2，即20＝｜PF1｜2＋（6－｜PF1｜）2，解得｜PF1｜＝4或｜PF1｜＝2（舍去）.所以｜PF2｜＝2，所以＝2.综上可知，的值为或2. 随堂检测 1.C　∵c2＝a2－b2＝169－25＝122，∴c＝12.又椭圆的焦点在y轴上，故焦点坐标为（0，±12）. 2.A　由题意，得椭圆的焦点坐标分别为（－，0），（，0），即c＝.设所求椭圆的方程为＋＝1（a2＞5且a＞0）.将点A（3，－2）的坐标代入＋＝1，得＋＝1，解得a2＝3（舍去）或a2＝15，所以所求椭圆的方程为＋＝1.故选A. 3.（0，1）　解析：椭圆的方程x2＋ky2＝2可化为＋＝1，∵x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，∴＞2，解得0＜k＜1.∴实数k的取值范围是（0，1）. 4.16　解析：由椭圆定义知，｜AF1｜＋｜AF2｜＝｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝8，故△ABF2的周长为｜AB｜＋｜AF2｜＋｜BF2｜＝｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AF2｜＋｜BF2｜＝16. 5.＋＝1　解析：由｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝4得a＝2，∴原方程化为＋＝1，将A代入方程得b2＝3，∴椭圆方程为＋＝1. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $