精品解析：河北石家庄市第九中学2026-2027学年上学期九年级期中数学试题

2026-2027学年第一学期九年级中期学情诊断数学试卷 一、选择题：（本大题共12个小题，每题3分；共36分．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2. 若△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，则△ABC与△DEF的周长比为( ) A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 16：81 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的性质求解. 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9， ∴△ABC与△DEF的周长比为4：9. 故选C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键 3. 点在反比例函数的图像上，则下列各点在此函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再逐个选项判断即可． 【详解】将点(2，-4)代入反比例函数解析式，得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为：． 当时，，故(2，4)不在反比例函数图象上，故A不符合题意； 当时，，故(4，2)不在反比例函数图象上，故B不符合题意； 当时，，故(-2，4)在反比例函数图象上，(-2，-4)不在反比例函数图象上，故C符合题意，D不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象上点的坐标特征．掌握利用待定系数法求反比例函数解析式是解题关键． 4. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】构造直角三角形，利用正切定义求解即可. 【详解】 解：如图，过点作交于点.  网格小正方形边长为1， ，. 在中，. 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 6. 已知点，，在反比例函数（k是常数，）的图象上，则下列关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 首先判断反比例函数是常数，的图象在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，再根据点所在的象限判断函数值的大小． 【详解】解：， 此函数图象在一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， 点，，在反比例函数是常数，的图象上， 点在第三象限，，，在第一象限，， ， 故选：C． 7. 如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（ ） A. 8米 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 8. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，先通过判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系得到两根之和、两根之积，逐一判断选项即可． 【详解】解：方程的判别式为：， 方程有两个不相等的实数根，即， 故选项A、D错误； 根据根与系数的关系得：，， 为任意实数， ，不是固定值， 故选项B错误，选项C正确． 9. 如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（ ） A. 2:3 B. 2:5 C. 3:5 D. 3:2 【答案】B 【解析】 【详解】四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 10. 如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是1．若正方形的四个顶点分别在四条直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形与三角函数的综合应用，掌握通过作辅助线构造全等三角形，利用三角函数定义求解锐角三角函数值是解题的关键． 通过作辅助线构造全等三角形，求出相关线段长度，再利用三角函数的定义求解的值． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点． ， 与都垂直， ∵相邻两条平行直线间的距离都是， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ， 在中， ． 故选：B． 11. 如图，、均是等腰直角三角形，点、在函数的图象上，直角顶点、均在轴上，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质设出点、的坐标，代入反比例函数解析式求出线段、的长，进而得出点的横坐标． 【详解】解：是等腰直角三角形，直角顶点在轴上， ， 设点坐标为， 点在函数的图象上， ，解得（负值舍去）， ，点的坐标为， 是等腰直角三角形，直角顶点在轴上， ， 设，则， 点的横坐标为，纵坐标为， 点在函数的图象上， ， 整理得， 解得， ， ， 点的横坐标为． 12. 《几何原本》中有一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，延长至点F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系是（ ）     A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，线段的黄金分割，熟记正方形的性质是解答此题的关键． 根据正方形的性质及黄金分割的定义的得，进而得到． 【详解】解：由题意得，， ∵是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴．   故选：C ． 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 某商场经销一种点心，原价每盒75元，连续两次降价后每盒48元，若每次降价的百分率相同．每次降价的百分率是________． 【答案】 【解析】 【分析】已知原价、连续两次同百分率降价后的售价，根据价格变化的等量关系列一元二次方程，结合实际意义筛选有效解即可. 【详解】解：设每次下降的百分率为， ∵ 第一次降价后的价格为原价乘以，第二次降价在第一次降价后的价格基础上按相同百分率下降， ∴ 连续两次降价后的价格为， 根据题意列方程：. 解得（不符合题意，舍去），， 即每次下降的百分率是. 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C是点B关于原点O的对称点，连接，则的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据题意先求出，再根据点，关于原点对称得到计算即可．熟练掌握值几何意义是关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点B， ∴， ∵点，关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：10． 15. 小明同学在“测高”综合实践活动中发现：在一个阳光明媚的午后，身高的自己在阳光下的影长是，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是，则旗杆高为_____________． 【答案】##20米 【解析】 【分析】设该旗杆的高度为，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有，然后解方程即可． 【详解】解：设该旗杆的高度为， 根据题意，得， 解得． 即该旗杆的高度是20m. 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用和平行投影，解题的关键是根据相似三角形的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等． 16. 在中，若，，，则_________． 【答案】4或6 【解析】 【分析】过A作于，在中，由已知条件设，根据勾股定理求出x的值，从而得出，在中，根据勾股定理得出，可得到的长度． 【详解】解：如图，过A作于， 在中，， 设， ， ，即， 解得， ． 在中，， ， 同理可求． 则的值为4或6． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： 直接开平方得，， ∴或， 解得，． 【小问2详解】 解： 移项得，， 配方得，， ∴， 开平方得，， ∴或， 解得，． 【小问3详解】 解： 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 【小问4详解】 解： 因式分解得，， ∴或， 解得，． 18. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，作的位似图形，在第一象限，且的相似比为2． （2）点的坐标是_______． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）把三个点的横纵坐标都乘以2得到三个点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，点F的坐标为． 19. 已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正比例、反比例关系的定义，设，，结合可得，代入两组与的对应值，解方程组求出、的值，即可得出答案； （2）将代入（1）中求得的函数解析式，计算得到的值即可． 【小问1详解】 解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设，， ∵， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得， ∴关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴当时，． 20. 如图，是的高，点F，G在上，点E，H分别在，上，四边形是矩形， （1）证明：． （2）若，是的高，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵点F，G在上， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）的长为 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质得到对应边平行，由平行线得到两组同位角相等，从而证明，由相似三角形对应边成比例得到所求线段的关系，交叉相乘即可证明结论． （2）根据矩形性质得到对应边平行和直角，令与交点为R，结合得到与的关系式，由（1）中得到的相似三角形对应边成比例得到，代入与的关系式得到关于的方程，求解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，令交于点R， ∵矩形的边在上， ∴， 又∵点F，G在BC上， ∴，． ∵，，， ∴． ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴，即 解得 ∴的长为． 21. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方63米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为28米． 【解析】 【分析】首先通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型；根据垂直关系证明是矩形，得到矩形对边相等；设长为未知数x，分别在和中，利用三角函数推出和的长；在中，根据已知的值，推导出；根据联立方程求出x，得到的值，从而求出． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，过点B作于点G． 由题意可知，，， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴米，． 在中，，（米）， ∴（米）． 设（米）， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴， ∴． 观察图形可知，， 代入数值：， 解得． ∴（米）． 答：该风力发电机塔杆的高度为28米． 22. 项目化学习 项目背景：学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），请你和数学小组一起参与实验田的设计． 数据测量：该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米．设实验田的长为米． 问题解决： （1）的长为_____米（用含的式子表示）； （2）若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【答案】（1） （2） （3）不能 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据题意列出即可； （2）根据题意建立方程，解方程求出的值，再根据位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米即可求解； （3）根据题意建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可判断． 【小问1详解】 解：由题意得：（米）， 得（米）， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 则的值为． 【小问3详解】 解：假设该实验田的面积能为240平方米， 则， 整理得， ∵，方程没有实数根， ∴假设不成立． 答：该实验田的面积不能为240平方米． 23. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，且与直线在第三象限相交于点，连接，． （1）求该反比例函数的表达式； （2）已知点的横坐标为，求的面积． （3）观察图象，请直接写出时，的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出，，再结合，计算即可得出结果； （3）由图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将点代入得，， ∴， 将代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将代入得，， ∴， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴时，的取值范围是或． 24. 综合探究 （1）和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是 ； （2）和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； （3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）证明即可得到答案； （2）证明，得到，证明，得到，设，则，即可求出答案； （3）求出，，,分点D在线段上 点E在线段上两种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴ 即， ∴， ∴; 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， 设，则， ∴ 【小问3详解】 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ 当，，三点共线时，， 在中，, 分两种情况： 当点D在线段上时， ∴， 当点E在线段上时， ∴， 综上可知，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级中期学情诊断数学试卷 一、选择题：（本大题共12个小题，每题3分；共36分．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，则△ABC与△DEF的周长比为( ) A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 16：81 3. 点在反比例函数的图像上，则下列各点在此函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 已知点，，在反比例函数（k是常数，）的图象上，则下列关系正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（ ） A. 8米 B. C. D. 8. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 无实数根 9. 如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（ ） A. 2:3 B. 2:5 C. 3:5 D. 3:2 10. 如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是1．若正方形的四个顶点分别在四条直线上，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，、均是等腰直角三角形，点、在函数的图象上，直角顶点、均在轴上，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 《几何原本》中有一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，延长至点F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系是（ ）     A. B. C. D. 不能确定 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 某商场经销一种点心，原价每盒75元，连续两次降价后每盒48元，若每次降价的百分率相同．每次降价的百分率是________． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C是点B关于原点O的对称点，连接，则的面积为______． 15. 小明同学在“测高”综合实践活动中发现：在一个阳光明媚的午后，身高的自己在阳光下的影长是，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是，则旗杆高为_____________． 16. 在中，若，，，则_________． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，作的位似图形，在第一象限，且的相似比为2． （2）点的坐标是_______． 19. 已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值． 20. 如图，是的高，点F，G在上，点E，H分别在，上，四边形是矩形， （1）证明：． （2）若，是的高，，，求的长． 21. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方63米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 22. 项目化学习 项目背景：学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），请你和数学小组一起参与实验田的设计． 数据测量：该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米．设实验田的长为米． 问题解决： （1）的长为_____米（用含的式子表示）； （2）若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 23. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，且与直线在第三象限相交于点，连接，． （1）求该反比例函数的表达式； （2）已知点的横坐标为，求的面积． （3）观察图象，请直接写出时，的取值范围． 24. 综合探究 （1）和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是 ； （2）和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； （3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $