精品解析：福建省泉州市第五中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

泉州五中 2029 届高一上学期数学测试二 一、单选题（每题5分，共 40 分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以，又因为， 所以. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若有意义，则，解得，故B正确. 3. 命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将存在量词命题为假转化为其否定的全称量词命题为真，求出的取值范围，再结合必要不充分条件与集合包含关系的对应性来判断. 【详解】命题“，”为假命题，命题“，”为真命题，即对任意的恒成立. 令，为开口向上的二次函数，对称轴为； ，当时，取得最大值，即； 原命题为假的充要条件为，则 必要不充分条件对应的集合需真包含集合. 对于A，对应的集合不包含，故A错误； 对于B，对应的集合不包含，故B错误； 对于C，真包含于对应的集合，故C正确； 对于D，对应的集合真包含于，为充分不必要条件，故D错误. 4. 函数，对任意，都有，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解. 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数的取值范围为. 5. 已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】将变形为，结合基本不等式和已知乘积条件求解最小值. 【详解】 因为均为正实数，故，，根据基本不等式得 ， 整理可得，即， 当且仅当时等号成立， 解得，，均满足正实数条件，故的最小值为5. 6. 已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是偶函数推得的图象关于直线对称，利用函数的对称性与单调性,结合题设条件求解抽象不等式即可. 【详解】因为是偶函数，所以，即的图象关于直线对称． 又在上单调递减，且，则在上单调递增，且， 故等价于．所以． 7. 有限集所含元素个数用表示，定义，已知，集合，，若，则的所有可能取值个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值. 【详解】由题意，得集合，故， 又，或， 由题意可知，为关于的方程的一根， 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时方程无实数根，则满足条件， 当时，则方程有三个实根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得， 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得， 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； 综上，的可能的取值为. 8. 已知函数的定义域和值域均为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的定义域为，确定一元二次不等式的解集为，确定的符号，以及一元二次方程的两个根，根据韦达定理建立，与的关系；再结合的值域为，得到二次函数在上的最大值为4，利用二次函数的性质求出参数，，的值；代入分式不等式，求解得到解集. 【详解】函数的定义域为， 一元二次不等式的解集为； ，和是一元二次方程的两个根； ，解得，. 函数的定义域和值域均为， 二次函数在上的取值范围为. 得二次函数的对称轴为； 又，，当时，取得最大值，即，解得. . 将，代入不等式，得，整理得； ，解得，即不等式的解集为. 二、多选题（每题6分，共 18 分） 9. 已知由实数组成的非空集合满足：若，则．下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若中恰有个元素，则这个元素之积为 D. 中的元素个数一定是（） 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查集合元素的性质与递推关系，先根据题设推导元素的循环规律，再逐个分析选项即可. 【详解】选项A：若，代入递推规则得， 再将代入得，故A正确； 选项B：若，代入得， 但代入时分母为0无意义，矛盾，故，B错误； 选项C：因为，，则，则， 所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可. 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等. 所以乘积为，故C正确； 所以集合中含元素个数一定是个，故D正确. 10. 已知，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为9 C. 有最小值为3 D. 有最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用求解判断ABC；转化为二次函数并求出最小值判断D. 【详解】对于A，依题意，，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当时取等号，D错误. 11. 已知为定义在上的函数，对任意的，都有，并且当时，有，则（ ） A. B. 若，则 C. 在上为增函数 D. 若，且，则实数a的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过取特值的方法判断ABC三个选项，结合函数单调性的性质，解不等式判断D选项. 【详解】选项A：令，，或， 当时，任取，与矛盾，，A正确. 选项B：令，，， 当时，，B错误. 选项C：任取，令，，. ，，令， ，与同号， 当时，有，. 又，任取，都有. ，， 函数在上为增函数，C正确. 选项D：由，，. 由，， 由函数在上为增函数，，解不等式得或， 实数a的取值范围为，D正确. 三、填空题（每题5分，共 15 分） 12. 已知集合，集合，若，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】，分，和三种情况讨论时的取值范围. 【详解】集合或，， 当时，，满足； 当时，，若，则，即； 当时，，若，则，即， 综上，的取值范围是. 13. 已知，且，则的最小值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】配完全平方，然后结合题意将化简为，再根据均值不等式求最小值即可. 【详解】已知，且，则， 当且仅当，即，时等号成立. 14. 已知函数的定义域为，，，且对任意的，都有，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】先构造辅助函数，接着判断奇偶性和单调性，将不等式转化，最后平方求解即可。 【详解】设，则由得， 即，所以是偶函数. 又对任意，有， 因为，所以，即， 因此在上单调递减， 可得， 两边同时平方化简得，解得， 故解集为. 四、解答题（共5小题，共 77 分） 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若为非空数集且是的必要不充分条件，求实数a的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）小问解分式不等式，得集合或，最后求出； （2）小问将是的必要不充分条件转化为⫋，分类讨论和即可. 【小问1详解】 已知，移项可得，通分可得， 即，等价于， 则，解得或， 所以集合或， 因为全集，所以， 当时，， 所以. 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以⫋， 结合为非空数集，故，解得， 或者，解得，无解， 综上所述，实数a的范围为. 16. 已知函数 ． （1）若 ，，求不等式 的解集； （2）若 ，求不等式 的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2）当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当时，解集为 ；当时，解集为 ；当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）代入参数求解不等式； （2）对 的取值进行分类讨论求解不等式； （3）分离参数，转化为求 的最小值． 【小问1详解】 当 ， 时，， 由即 得 ， 所以不等式的解集为 ． 【小问2详解】 当 时，， ①当 时，不等式为 ，解集为 ； ②当 时，不等式为 ， 若，则 ，解集为； 若，则解集为 ； 若，则 ，解集为 ； ③当 时，不等式化简为，且，解集为 ． 综上所述，当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为 ； 当时，解集为 ； 当时，解集为. 【小问3详解】 在（1）的条件下 ，， 则， 因为，所以，当且仅当 时等号成立， 故，因此，的最小值为，当且仅当时取最小值， 要使不等式恒成立，只需 ，因此实数的取值范围为. 17. 已知二次函数，一次函数． （1）若时，的解集为，求关于的不等式的解集； （2）若的解集为，对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式解集得到二次函数零点，利用韦达定理解出参数，再求解新的一元二次不等式即可； （2）令，问题化为，上，分类讨论并结合二次函数的性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 当时，的解集为， 则，所以． 不等式即， 因式分解得，解得或， 所以不等式解集为． 【小问2详解】 由的解集为，则，得， 故. 令，， 且， 要使对于任意，总存在，使得成立， 所以，只需，而的对称轴为， ①当，即时，只需，即； ②当，即时， 只需，即，不符合条件； ③当，即时，只需，即，不符合条件； 综上所述，实数的取值范围为． 18. 已知函数，若，且当时，． （1）求、的值，并写出的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），， （2）在上单调递减， 证明：、，， ， 由，得，，， 则，即，所以函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定函数解析式，结合两个条件求出、的值，进而求得的解析式. （2）判断（1）中函数在上的单调性，再利用单调性定义推理得证. （3）由给定不等式可得，再利用建立不等式并借助单调性化简，再分离参数，借助基本不等式求出最值即可求出范围. 【小问1详解】 函数，当时，由，得，则， 由，得，即，则，所以，， 函数的解析式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，当时，，函数在上单调递减， 则函数在上单调递增， 当时，；当时，， 由任意的都有恒成立，得，， 则任意的都有，且恒成立， 因此对任意的恒成立， 而，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 19. 已知函数的定义域为，且当时，，对任意，定义集合． （1）当时，，求； （2）若是奇函数，，且， （i）求的解析式； （ii）证明：； （3）设满足：①若，则；②当时，．求证：． 【答案】（1） （2）（i） （ii）证明：因为分别在，单调递减， 当时， 当时， 当时， 由条件，，对，进行分类， ①当，即时，，． 因为，所以； ②当，即时，，， 因为，所以； ③当，即时，，， 显然也有，综上，当时，总有． （3）证明：假设，取，满足，由①知， 由于在单调递减，所以， 所以存在满足， 故此时，这与②矛盾，所以假设不成立，所以． 【解析】 【分析】（1）根据定义列出不等式，求解不等式的解集即可. （2）（i）根据奇函数的性质求解析式即可；（ii）分三种情况：，以及进行讨论证明即可. （3）利用反证法证明即可. 【小问1详解】 由题意可知，，则； 当，即时，，解不等式得； 当，即时，，所以， 综上，． 【小问2详解】 （i）设，所以，因为为奇函数， 所以， 又因为的定义域为，所以， 综上，． （ii）略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中 2029 届高一上学期数学测试二 一、单选题（每题5分，共 40 分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 函数，对任意，都有，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 5. 已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 有限集所含元素个数用表示，定义，已知，集合，，若，则的所有可能取值个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知函数的定义域和值域均为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共 18 分） 9. 已知由实数组成的非空集合满足：若，则．下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若中恰有个元素，则这个元素之积为 D. 中的元素个数一定是（） 10. 已知，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为9 C. 有最小值为3 D. 有最小值为 11. 已知为定义在上的函数，对任意的，都有，并且当时，有，则（ ） A. B. 若，则 C. 在上为增函数 D. 若，且，则实数a的取值范围为 三、填空题（每题5分，共 15 分） 12. 已知集合，集合，若，则的取值范围是________ 13. 已知，且，则的最小值为_______． 14. 已知函数的定义域为，，，且对任意的，都有，则不等式的解集是________． 四、解答题（共5小题，共 77 分） 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若为非空数集且是的必要不充分条件，求实数a的范围. 16. 已知函数 ． （1）若 ，，求不等式 的解集； （2）若 ，求不等式 的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 17. 已知二次函数，一次函数． （1）若时，的解集为，求关于的不等式的解集； （2）若的解集为，对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 18. 已知函数，若，且当时，． （1）求、的值，并写出的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，且当时，，对任意，定义集合． （1）当时，，求； （2）若是奇函数，，且， （i）求的解析式； （ii）证明：； （3）设满足：①若，则；②当时，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $