2026-2027学年北师大版八年级数学上册 期中培优检测卷（测试范围：第一～三章）

2026-2027学年八年级上册数学期中培优检测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在实数，，，，，（相邻两个中间一次多个）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．下列说法不正确的是（     ） A．点一定在第四象限 B．点到轴的距离为 C．若中，则点一定在轴上 D．若轴，，则点的横坐标为 4．下列说法正确的有（     ） ①9是3的算术平方根；②无理数都是无限小数；③每个数都有一个立方根； ④一个数的平方根是它本身，这个数是1；⑤两个无理数的和还是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．已知和关于轴对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 7．比较的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为h，则最少露出（     ）厘米． A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在正方形中，顶点分别与数轴上表示数1，3的点重合．将正方形绕点顺时针旋转一周，正方形的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为（     ） A．5 B． C． D．9 10．如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，则的平方根是______． 12．已知平面直角坐标系中有一点，点和点都在过点且与轴平行的直线上，且，则点坐标为________ 13．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为______ 时， 为直角三角形． 14．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值是_____． 15．如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 16．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，连接，．是直线上的一个动点，当最短时，________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．如图，在一条东西走向的街道上有两个快递投放点，．快递投放点的正北方向处有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求快递投放点，之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道上增设一个快递自提柜，并且使得自提柜到小区与快递投放点的距离相等，求自提柜与快递投放点之间的距离． 19．在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点都在格点上． (1)请写出A，B，C三点的坐标． (2)已知点，，画出； (3)的面积为 ． 20．已知的平方根是，的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 21．利用分母有理化解决问题： (1)将分母有理化得_________，分母有理化得_________． (2)，，求的值； (3)化简． 22．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 23．如图，平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上，，且，满足． (1)点，，坐标分别是__________，__________，__________； (2)如图，将点向右平移个单位长度得到点，为线段上一点，若直线恰好平分三角形的面积，求点的纵坐标； (3)如图，若点满足三角形的面积等于，求的值． 24．如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，为轴正半轴上一点，连接，． (1)求点的坐标： (2)如图，为轴负半轴上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，用含的式子表示（不用写出的取值范围）； (3)如图，在（2）的条件下，为轴负半轴上左侧一点，连接，过作，连接，，，若，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学期中培优检测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理进行判断，找出每个选项中的最长边，计算两条较短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，若相等则可组成直角三角形． 【详解】解：A、，， ，不能组成直角三角形． 故不符合题意； B、，， ，能组成直角三角形． 故符合题意； C、，， ，不能组成直角三角形． 故不符合题意； D、，， ，不能组成直角三角形． 故不符合题意． 2．在实数，，，，，（相邻两个中间一次多个）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数称为无理数是解题的关键．先化简，再根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数． 【详解】解：∵（有理数），是有限小数（有理数），是循环小数（有理数），是无理数，是无理数，是无限不循环小数（无理数）， ∴无理数有个． 故选：B． 3．下列说法不正确的是（     ） A．点一定在第四象限 B．点到轴的距离为 C．若中，则点一定在轴上 D．若轴，，则点的横坐标为 【答案】C 【分析】根据各选项涉及的平面直角坐标系相关性质逐一判断. 【详解】解：A选项：∵，∴，∵，∴点在第四象限，原说法正确； B选项：点到轴的距离为，原说法正确； C选项：∵，∴或，∴点并非一定在轴上，原说法错误； D选项：∵轴，，∴点的横坐标与相同，即为，原说法正确. 4．下列说法正确的有（     ） ①9是3的算术平方根；②无理数都是无限小数；③每个数都有一个立方根； ④一个数的平方根是它本身，这个数是1；⑤两个无理数的和还是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据无理数和有理数的定义，实数，平方根，立方根等知识性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①的算术平方根是，3是9的算术平方根，①错误； ②无理数是无限不循环小数，属于无限小数，②正确； ③任意实数都有唯一的立方根，③正确； ④平方根等于它本身的数只有0，1的平方根是，④错误； ⑤与的和为0，0是有理数，⑤错误 综上，正确的说法共2个． 5．如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先设,则分别在和中，利用勾股定理表示出的长，从而可得方程，解方程求解即可得答案． 【详解】解：设, 则, ∵， 在中：, 在中：, ∴， 解得：， ∴， ∴． 6．已知和关于轴对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标特征，求算术平方根，熟练掌握关于轴对称的点的特征是解题的关键． 关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出a和b的值，再进行计算即可求解． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 7．比较的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的大小比较，利用即可判断． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 8．如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为h，则最少露出（     ）厘米． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】当玻璃棒在杯内的长度最长时，露在杯外的长度最短，此时玻璃棒、杯高与底面直径构成直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：当玻璃棒斜靠在杯子边缘时，杯子里的玻璃棒长度取得最大值， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． 9．如图，在正方形中，顶点分别与数轴上表示数1，3的点重合．将正方形绕点顺时针旋转一周，正方形的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为（     ） A．5 B． C． D．9 【答案】C 【详解】解：正方形的顶点中到点距离最远的是点，易得， 点到点的距离为， 顶点与数轴上表示1的点重合， ∴当点在数轴原点的右侧时，点到原点的距离为，正方形的边与数轴的交点所表示的数最大为， 故选C． 10．如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点,过点作轴于点,证明，得出，根据，，得出，说明点在直线上，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接,根据两点之间线段最短，当在点处时, 最小,且最小值为的长度,根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点作轴于点,过点作轴于点,如图所示： 则, 根据旋转可知, , ∴, , , , ∵,, ∴, , ∴点在直线上, 为定值, ∴当最小时,的周长最小, 如图,作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接, 根据轴对称可知：, ∴, ∵两点之间线段最短, ∴当在点处时,最小,且最小值为的长度, ∴最小值为：, 的周长最小值为. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，则的平方根是______． 【答案】 【分析】利用平方和算术平方根的非负性，两个非负数和为0时每个非负数均为0，求出，的值后，再计算的平方根． 【详解】解：对根号内的式子因式分解，原式可化为 ， ∵ 任意数的平方都是非负数， ， ∵ 算术平方根本身是非负数， ， ∵ 两个非负数的和等于， ∴ 每个非负数都等于， ， 解得 ， ， 解得 ， 计算得 ， ∴ 的平方根是． 12．已知平面直角坐标系中有一点，点和点都在过点且与轴平行的直线上，且，则点坐标为________ 【答案】或 【分析】先利用平行于轴的直线上点的横坐标相等求出，得到点坐标，再计算长度，最后根据求出点的纵坐标． 【详解】解：过点且与轴平行的直线上，所有点的横坐标都为， 又点在该直线上， ， 解得， 将代入纵坐标得， 点的坐标为， 和横坐标相同，长度为纵坐标差的绝对值， ， ， ， 点也在该直线上， 的横坐标为， 设的纵坐标为， ， 得或， 解得或， 点的坐标为或． 13．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为______ 时， 为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于，如图： 则四边形为长方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，， ， 当时，， 即， ， 解得，； 当时，如图：作于， 由勾股定理得，，， ， 在中，， 即， ， 解得：； 当时，在中， 则， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 14．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值是_____． 【答案】 【分析】两个最简二次根式可以合并说明二者是同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴． 移项得． 合并同类项得． 系数化为得． 15．如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长，然后根据勾股定理即可求得．掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ 将该纸片沿直线折叠，使点落在斜边上的点处， ∴，，， ∴， 设， ∴，， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，连接，．是直线上的一个动点，当最短时，________． 【答案】 【分析】过点A作，交的延长线于点J，利用求出，再用勾股定理求出，再用求出，结合垂线段最短即可求解． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点J， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵垂线段最短，， ∴最短时，． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把化简为，化简为，根据去掉绝对值得到，再合并同类二次根式算出结果 2． （2）先用完全平方公式展开得，用平方差公式计算得，再去括号合并计算得到． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 18．如图，在一条东西走向的街道上有两个快递投放点，．快递投放点的正北方向处有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求快递投放点，之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道上增设一个快递自提柜，并且使得自提柜到小区与快递投放点的距离相等，求自提柜与快递投放点之间的距离． 【答案】(1)，之间的距离为 (2)自提柜与快递投放点之间的距离为 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）设，则，在中，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， 答：快递投放点，之间的距离为； （2）解：设，则， 在中，， ∴， 解得． 答：自提柜与快递投放点之间的距离为． 19．在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点都在格点上． (1)请写出A，B，C三点的坐标． (2)已知点，，画出； (3)的面积为 ． 【答案】(1)，， (2) (3)10 【分析】（1）根据直角坐标系直接写出A，B，C三点的坐标即可； （2）根据点A，点D，点E的坐标画出即可； （3）利用网格求三角形面积即可． 【详解】（1）解：根据直角坐标系可知：，，． （2）略 （3）解：． 20．已知的平方根是，的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根与立方根的定义列方程，求解得到a，b的值； （2）将a，b的值代入代数式计算，再求所得结果的算术平方根． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， 将代入上式，得， 解得； （2）解：将代入中， 得 ， 算术平方根为非负数，且， 的算术平方根是9． 21．利用分母有理化解决问题： (1)将分母有理化得_________，分母有理化得_________． (2)，，求的值； (3)化简． 【答案】(1)； (2)18 (3) 【分析】（1）利用分母有理化的方法计算即可； （2）先利用分母有理化求出，，再利用完全平方公式代入计算即可； （3）利用分母有理化的方法计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ； 22．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)的长为 (2)市受到台风影响的时间持续小时 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意并正确计算是关键． （1）使用勾股定理直接计算即可； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点、，使用勾股定理求出，再除以台风的速度求出持续时间． 【详解】（1）解：由题意可得，， 在直角中，． 答：的长为． （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点、， 由题意可知，台风在段时，对市有影响． 在直角中，， 同理，， ∴， ∴影响持续的时间为． 答：市受到台风影响的时间持续小时． 23．如图，平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上，，且，满足． (1)点，，坐标分别是__________，__________，__________； (2)如图，将点向右平移个单位长度得到点，为线段上一点，若直线恰好平分三角形的面积，求点的纵坐标； (3)如图，若点满足三角形的面积等于，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）根据算术平方根的非负性得到，求出，然后结合求解即可； （2）首先求出，设点的纵坐标为，然后根据直线恰好平分三角形的面积求解即可； （3）过作直线垂直于轴，延长交直线于点，过作交直线于点，连接，设点坐标为，根据求出，得到，然后根据三角形的面积等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵点向右平移个单位得到点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设点的纵坐标为， ∵直线恰好平分三角形的面积， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为； （3）解：如图，过作直线垂直于轴，延长交直线于点，过作交直线于点，连接， 设点坐标为， ∵，，， ∴点C到直线l的距离为，，，， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵三角形的面积等于， ∴， 解得或． 24．如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，为轴正半轴上一点，连接，． (1)求点的坐标： (2)如图，为轴负半轴上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，用含的式子表示（不用写出的取值范围）； (3)如图，在（2）的条件下，为轴负半轴上左侧一点，连接，过作，连接，，，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，再结合三角形面积公式计算得出，即可得出结果； （2）表示出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果； （3）在轴的负半轴上取一点，使得，连接，证明，得出，，再证明，得出，从而得解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为轴正半轴上一点， ∴； （2）解：∵为轴负半轴上一点，点的横坐标为， ∴，， ∵， ∴； （3）解：如图，在轴的负半轴上取一点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $