勾股定理与特殊角、斜边中线问题 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

勾股定理与特殊角、斜边中线问题 2026—2027学年苏科版八年级数学上册专题复习 学生版 学习导航 先认清直角、特殊角和中点分别属于哪个三角形，再选择求边或求角的方法。遇到点的位置不确定时，应分别检查，并把结果代回原条件。 一、运用30°和45°求边 2 二、运用等腰三角形的三线合一 4 三、作垂线构造特殊直角三角形 6 四、运用斜边中线寻找等长线段 7 五、由中点等距判定直角 10 六、中线与高线的综合应用 12 A、基础通关 14 B、难点突破 16 C、综合提升 20 D、近年中考真题 22 一、运用30°和45°求边 【适用条件】先确认三角形中的直角。一个锐角为时，两条直角边相等；一个锐角为时，这个角所对的直角边等于斜边的一半。 【必要证明】在中，延长到使连接由两边及其夹角相等，所以等腰的两个底角也为因此 反过来，若直角三角形的斜边等于一条直角边的倍，按上面的作法可得到等边从而证明这条直角边所对的角为使用反向结论也需要有直角前提。 【常用步骤】先用特殊角确定相等关系或两倍关系，再用勾股定理求剩下的边。求出的长度取正值。 【例如】直角三角形中，所对的边长为则斜边长为另一条直角边的平方为所以它的长为这里且符合算术平方根的定义。 【易错提醒】“所对的边”与“挨着的直角边”不能混淆；在不是直角三角形的图形中，不能直接套用这些关系。 例1、在中，点在边上，且求的长。 变式1.1、在中，求和的长。 变式1.2、在中，求的度数和的长。 变式1.3、在中，点在射线上，且求的长。 二、运用等腰三角形的三线合一 【适用条件】在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合。这里的“底边”是两条相等边所对的边，不能随意改成其他边。 【必要证明】若为的中点，则公共，由三边分别相等得于是后两个角的和为所以它们都为 【常用步骤】确定底边及其中点，把底边分成相等的两段，再在一个小直角三角形中列式。若还有一个等距点，先按点的实际位置写出线段的和或差。 【例如】等腰三角形的腰长为底边长为则半底长为底边上的高为 【易错提醒】中线不一定是高；只有先具备等腰条件，才能按上面的性质得到垂直。解出点到端点的距离后，还要检查该点是否在题目指定的线段或射线上。 例2、在中，为的中点。点在线段上，且求的长。 变式2.1、在等腰中，是上的高，求和的长。 变式2.2、等腰的周长为底边上的高求和的长。 变式2.3、在中，为的中点。点在射线上，且求的长。 三、作垂线构造特殊直角三角形 【适用条件】图中出现或时，先结合三角形内角和、邻补角等关系，寻找能够形成或的直角三角形。 【常用步骤】可以作垂线，也可以延长边利用已有垂直关系，得到含已知特殊角的直角三角形。分别表示边长后，再按点的位置还原所求线段。以三角形的一边为底时，该边两端内角都为锐角，高足在底边内部；一端内角为钝角，高足在这一端的外侧；一端为直角，高足与该端点重合。 【例如】若作于且则所以 【易错提醒】不能只记“底边等于两段的和”。当高足在边外时，原边可能等于两段之差。若条件只确定了到高足的距离，就要检查高足两侧是否都有符合条件的位置。 例3、在中，求的长。 变式3.1、在中，求和的长。 变式3.2、在中，求的长。 变式3.3、在四边形中，求和的长。 四、运用斜边中线寻找等长线段 【适用条件】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。若为的中点，则由此可在原图中找到两个等腰三角形。 【必要证明】延长到使连接由和对顶角相等，得所以从而由于所以 在和中，夹角均为直角，故两三角形全等，又所以 【例如】斜边长为时，斜边中线长为若另一直角边也长它与中线及半条斜边组成的三角形就是等边三角形。 【易错提醒】必须同时确认“直角”和“斜边中点”。在组合图中，要说清中点属于哪一条边、所用直角属于哪一个三角形。 例4、在中，为的中点，求和的长。 变式4.1、在中，为的中点，的周长为________。 变式4.2、在中，为的中点，求和的长。 变式4.3、在等腰中，为的中点，为的中点，求的长。 五、由中点等距判定直角 【适用条件】在中，为的中点。如果就有从而可以判定在判定以前，只能把称为三角形的一条边，不能预先称它为斜边。 【必要证明】设由的内角和，所以 【常用步骤】先把中点条件展开成两条半边相等，再与已知等距关系合在一起，确定能使用上述判定的三角形。得到直角后，才使用勾股定理。 【例如】为的中点，先判定再得 【易错提醒】三个等长线段必须确实从同一个中点连向该三角形的三个顶点。点在边的延长线上时，还要依据点的先后次序辨认直角所在的三角形。 例5、在中，为的中点。点在边上，且求的长。 变式5.1、在中，为的中点，求的长。 变式5.2、在中，为的中点，求和的长。 变式5.3、在中，为的中点。点在直线上，且求的长。 六、中线与高线的综合应用 【选择方法】同一图中有中线与高线时，先用斜边中点得到等长线段，再看哪一个小三角形有直角。若两个直角三角形共用一条斜边，就可从同一中点得到更多相等的线段。 【选对三角形】例如，在中，作垂足为取的中点连接虽然是中点，但它不是原的斜边中点。改看直角在斜边是恰好是这条斜边的中点，因此先确定直角，再认斜边，最后核对中点；三个条件必须落在同一个三角形中。 【另例】在另一个直角三角形中，斜边长为斜边上的高为设斜边中点为高足为则直角顶点到的距离为所以但要继续求原来的两条直角边，还需分别检查在的哪一侧。 【综合步骤】识别每个小直角三角形的斜边和中点；把等长关系用于角或边的计算；出现多个位置时分别求值；最后将结果放回原来的线段、射线及其他条件中检验。 【易错提醒】中线与高不一定重合。图上看起来垂直或相等的线段，只有得到题设或证明的支持后才能使用；得到三边长度后，也可以用勾股定理的逆定理检验直角。 例6、在中，为的中点。垂足为已知求和的长。 变式6.1、在中，为的中点，垂足为已知求和的长。 变式6.2、在中，为的中点。点分居直线两侧，且求的长。 变式6.3、在中，为的中点，垂足为已知求和的长。 A、基础通关 1、在中，的长为（ ）。 A． B． C． D． 2、在中，为的中点，垂足为下列结论中，一定成立的是（ ）。 A． B． C． D． 3、在中，为的中点，的长为（ ）。 A． B． C． D． 4、在等腰中，为的中点。则________，________。 5、在中，为的中点。则________。 6、在中，为的中点。则________，________。 7、在中，为的中点。求的长和的周长。 8、在中，为的中点，点在上，求的长。 B、难点突破 1、在中，为的中点，为的中点，则的长为（ ）。 A． B． C． D． 2、在中，为的中点，则________，________。 3、在中，为的中点，为的中点，则等于（ ）。 A． B． C． D． 4、在中，为的中点。点在线段上，且求的长。 5、在中，平分交于为的中点。求和的长。 6、在中，为的中点。点在边上，且则________，________。 7、在中，垂足为分别为的中点。连接求与的长，并求的度数。 8、在中，为的中点，垂足为已知过作的垂线，与直线交于点求的长，并判断点在线段内还是在线段外。 C、综合提升 1、在中，为的中点。点在上，且不与重合，设的取值范围，以及当时的长，分别为（ ）。 A． B． C． D． 2、在中，分别为的中点。点在射线上且不与重合，点在射线上且不与重合，则________，________，________。 3、在中，垂足为垂足为为的中点。求的周长，并判断它的形状。 4、在中，为的中点，为的中点。点在直线上，且为直角三角形。求的长，并指出的直角顶点。 5、在中，为的中点，垂足为若则________。 6、在中，为的中点。点在射线上，且不与重合。当为等腰三角形时，求的长。 D、近年中考真题 1、（2025陕西，第5题）如图，在中，为边上的中线，则图中与互余的角共有（ ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2、（2026重庆，第25题第（1）问）如图，在中，以为斜边在上方作等腰直角三角形 若求的长度。 3、（2025江苏苏州，第24题）小明同学用一副三角板进行自主探究。如图，中，中， （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点求的度数和线段的长。（结果保留根号） （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点按逆时针方向旋转一定的角度，使得点落在边上，如图②。①求线段的长。（结果保留根号）②判断与的位置关系，并说明理由。 图① 图② 4、（2025江苏南京，第25题）如图，码头位于码头的南偏东方向，之间的距离为灯塔在的中点处。轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行。当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，三点恰好在一条直线上。求甲航行的距离 （参考数据： 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理与特殊角、斜边中线问题 2026—2027学年苏科版八年级数学上册专题复习 教师详解版 学习导航 先认清直角、特殊角和中点分别属于哪个三角形，再选择求边或求角的方法。遇到点的位置不确定时，应分别检查，并把结果代回原条件。 一、运用30°和45°求边 2 二、运用等腰三角形的三线合一 4 三、作垂线构造特殊直角三角形 6 四、运用斜边中线寻找等长线段 8 五、由中点等距判定直角 11 六、中线与高线的综合应用 13 A、基础通关 17 B、难点突破 20 C、综合提升 24 D、近年中考真题 28 一、运用30°和45°求边 【适用条件】先确认三角形中的直角。一个锐角为时，两条直角边相等；一个锐角为时，这个角所对的直角边等于斜边的一半。 【必要证明】在中，延长到使连接由两边及其夹角相等，所以等腰的两个底角也为因此 反过来，若直角三角形的斜边等于一条直角边的倍，按上面的作法可得到等边从而证明这条直角边所对的角为使用反向结论也需要有直角前提。 【常用步骤】先用特殊角确定相等关系或两倍关系，再用勾股定理求剩下的边。求出的长度取正值。 【例如】直角三角形中，所对的边长为则斜边长为另一条直角边的平方为所以它的长为这里且符合算术平方根的定义。 【易错提醒】“所对的边”与“挨着的直角边”不能混淆；在不是直角三角形的图形中，不能直接套用这些关系。 例1、在中，点在边上，且求的长。 【解析】由得在中，所以 在中，所以因此由于点确在线段内部。 变式1.1、在中，求和的长。 【解析】设则由勾股定理，得 因为所以 变式1.2、在中，求的度数和的长。 【解析】斜边等于直角边的倍，由已证明的反向结论，得 由勾股定理，所以因此 变式1.3、在中，点在射线上，且求的长。 【解析】所以由勾股定理， 是等腰直角三角形，所以点在的延长线上。因此 二、运用等腰三角形的三线合一 【适用条件】在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合。这里的“底边”是两条相等边所对的边，不能随意改成其他边。 【必要证明】若为的中点，则公共，由三边分别相等得于是后两个角的和为所以它们都为 【常用步骤】确定底边及其中点，把底边分成相等的两段，再在一个小直角三角形中列式。若还有一个等距点，先按点的实际位置写出线段的和或差。 【例如】等腰三角形的腰长为底边长为则半底长为底边上的高为 【易错提醒】中线不一定是高；只有先具备等腰条件，才能按上面的性质得到垂直。解出点到端点的距离后，还要检查该点是否在题目指定的线段或射线上。 例2、在中，为的中点。点在线段上，且求的长。 【解析】由等腰三角形的三线合一，得于是 设则由和勾股定理，化简得所以 所求点在线段内部，符合题意。 变式2.1、在等腰中，是上的高，求和的长。 【解析】由三线合一，得在中，所以 所以 变式2.2、等腰的周长为底边上的高求和的长。 【解析】由三线合一，设则由周长为得 在中，化简得所以因此 上述长度均为正，且符合直角三角形中斜边长于直角边的关系。 变式2.3、在中，为的中点。点在射线上，且求的长。 【解析】由三线合一，所以设 若在线段上，则若在的延长线上，则这两种情况下，都等于 由得化简得所以由于在的延长线上，符合射线条件。 三、作垂线构造特殊直角三角形 【适用条件】图中出现或时，先结合三角形内角和、邻补角等关系，寻找能够形成或的直角三角形。 【常用步骤】可以作垂线，也可以延长边利用已有垂直关系，得到含已知特殊角的直角三角形。分别表示边长后，再按点的位置还原所求线段。以三角形的一边为底时，该边两端内角都为锐角，高足在底边内部；一端内角为钝角，高足在这一端的外侧；一端为直角，高足与该端点重合。 【例如】若作于且则所以 【易错提醒】不能只记“底边等于两段的和”。当高足在边外时，原边可能等于两段之差。若条件只确定了到高足的距离，就要检查高足两侧是否都有符合条件的位置。 例3、在中，求的长。 【解析】作同一条高，可以借助和把都表示成这条高的倍数，从而用一个未知长度处理已知的边长和。作垂足为因为均为锐角，所以在线段内部。设 在等腰直角中，在中，所以 由已知，得因此 变式3.1、在中，求和的长。 【解析】作直线垂足为由于在的延长线上， 所以又所以 变式3.2、在中，求的长。 【解析】作直线垂足为由得在射线上。 由得所以 若在的远离的一侧，则若在之间，则因为两种位置都符合条件。 H 在线段 BC 上 H 在 BC 的延长线上 变式3.3、在四边形中，求和的长。 【解析】延长交直线于在中，所以 由于在之间，又所以为等腰直角三角形， 由得因此 四、运用斜边中线寻找等长线段 【适用条件】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。若为的中点，则由此可在原图中找到两个等腰三角形。 【必要证明】延长到使连接由和对顶角相等，得所以从而由于所以 在和中，夹角均为直角，故两三角形全等，又所以 【例如】斜边长为时，斜边中线长为若另一直角边也长它与中线及半条斜边组成的三角形就是等边三角形。 【易错提醒】必须同时确认“直角”和“斜边中点”。在组合图中，要说清中点属于哪一条边、所用直角属于哪一个三角形。 例4、在中，为的中点，求和的长。 【解析】由斜边中线性质，所以 因为在同一直线上，又所以是等边三角形， 由勾股定理，所以 变式4.1、在中，为的中点，的周长为________。 【解析】由勾股定理，所以的周长为 变式4.2、在中，为的中点，求和的长。 【解析】设则由得所以 由斜边中线性质，所以于是再由勾股定理， 变式4.3、在等腰中，为的中点，为的中点，求的长。 【解析】在中，为斜边的中点，所以又为的中点，所以 由等腰三角形的三线合一，所以 五、由中点等距判定直角 【适用条件】在中，为的中点。如果就有从而可以判定在判定以前，只能把称为三角形的一条边，不能预先称它为斜边。 【必要证明】设由的内角和，所以 【常用步骤】先把中点条件展开成两条半边相等，再与已知等距关系合在一起，确定能使用上述判定的三角形。得到直角后，才使用勾股定理。 【例如】为的中点，先判定再得 【易错提醒】三个等长线段必须确实从同一个中点连向该三角形的三个顶点。点在边的延长线上时，还要依据点的先后次序辨认直角所在的三角形。 例5、在中，为的中点。点在边上，且求的长。 【解析】这里应把与联系起来：是的中点，等距条件也含所以适合判定直角的是不是原由为的中点，得所以由中点等距判定，连接因为在上，所以 故 在中，所以 变式5.1、在中，为的中点，求的长。 【解析】由中点等距判定，又所以是等腰直角三角形。 因此 变式5.2、在中，为的中点，求和的长。 【解析】由得在中，所以 由勾股定理，即所以 变式5.3、在中，为的中点。点在直线上，且求的长。 【解析】由得连接则由得 若在线段上，则 若在的延长线上，则 不可能在的延长线上，因为那样会有与矛盾。所以的长为或 P 在线段 AB 上 P 在 BA 的延长线上 六、中线与高线的综合应用 【选择方法】同一图中有中线与高线时，先用斜边中点得到等长线段，再看哪一个小三角形有直角。若两个直角三角形共用一条斜边，就可从同一中点得到更多相等的线段。 【选对三角形】例如，在中，作垂足为取的中点连接虽然是中点，但它不是原的斜边中点。改看直角在斜边是恰好是这条斜边的中点，因此先确定直角，再认斜边，最后核对中点；三个条件必须落在同一个三角形中。 【另例】在另一个直角三角形中，斜边长为斜边上的高为设斜边中点为高足为则直角顶点到的距离为所以但要继续求原来的两条直角边，还需分别检查在的哪一侧。 【综合步骤】识别每个小直角三角形的斜边和中点；把等长关系用于角或边的计算；出现多个位置时分别求值；最后将结果放回原来的线段、射线及其他条件中检验。 【易错提醒】中线与高不一定重合。图上看起来垂直或相等的线段，只有得到题设或证明的支持后才能使用；得到三边长度后，也可以用勾股定理的逆定理检验直角。 例6、在中，为的中点。垂足为已知求和的长。 【解析】由斜边中线性质，所以在中， 只确定到的距离，不决定在的哪一侧；因此恢复时，必须分别考虑相加和相减的次序。若在线段上，则所以 若在线段上，则所以 两种位置中的高足都在斜边内部。两组结果分别代入均有符合题意。 H 在线段 AM 上 H 在线段 BM 上 变式6.1、在中，为的中点，垂足为已知求和的长。 【解析】在中，又 若在上，则所以 若在上，则两段长度交换，得到两种位置均满足在内部。 H 在线段 AM 上 H 在线段 BM 上 变式6.2、在中，为的中点。点分居直线两侧，且求的长。 【解析】由勾股定理， 均为直角三角形，并共用斜边所以 在中， 变式6.3、在中，为的中点，垂足为已知求和的长。 【解析】若在上，则由得 若在上，则由得 第一种位置有第二种位置有两种高足位置都符合条件。 H 在线段 AM 上 H 在线段 BM 上 A、基础通关 1、在中，的长为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】设则由得所以选C。 2、在中，为的中点，垂足为下列结论中，一定成立的是（ ）。 A． B． C． D． 【解析】由斜边中线性质，选A。高足不一定与中点重合；题设也没有给出两条直角边相等，所以其余三个结论都不一定成立。 3、在中，为的中点，的长为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】所以又所以选B。 4、在等腰中，为的中点。则________，________。 【解析】由三线合一，平分顶角且垂直底边。所以 5、在中，为的中点。则________。 【解析】由得所以 6、在中，为的中点。则________，________。 【解析】为等腰直角三角形，所以由斜边中线性质， 7、在中，为的中点。求的长和的周长。 【解析】等腰的两个底角均为所以它是等边三角形， 由三线合一，因此的周长为 8、在中，为的中点，点在上，求的长。 【解析】由三线合一，于是 在中， B、难点突破 1、在中，为的中点，为的中点，则的长为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】由斜边中线性质， 在等腰中，为底边的中点，所以因此选B。 2、在中，为的中点，则________，________。 【解析】作直线垂足为因为所以在的延长线上，设则 所以在中，得 取的中点连接由三线合一，所以因此 3、在中，为的中点，为的中点，则等于（ ）。 A． B． C． D． 【解析】由为的中点且得 由为的中点且得所以又故是等腰直角三角形，选C。 4、在中，为的中点。点在线段上，且求的长。 【解析】所以作垂足为在等腰中， 设点可能在的两侧，但都可写为又因此化简得 所以由于在之间，符合题意。 5、在中，平分交于为的中点。求和的长。 【解析】所以又设则由得 于是在等腰中，为底边的中点，所以 6、在中，为的中点。点在边上，且则________，________。 【解析】因为公共、所以得 设则由勾股定理，得该值在与之间。 所以 7、在中，垂足为分别为的中点。连接求与的长，并求的度数。 【解析】由得所以 虽是的中点，却不是原的斜边中点，因此须转看直角在斜边为的同样对应求时则应转看已有直角的不能先把待求角当作直角。在中，为斜边的中点，所以在中，为斜边的中点，所以 所以 又由勾股定理的逆定理， 8、在中，为的中点，垂足为已知过作的垂线，与直线交于点求的长，并判断点在线段内还是在线段外。 【解析】在中，是斜边上的高，所以在之间。设则 确定在线段上后，选为未知量，就能直接用表示另一条边，并将两次勾股定理所得的相代消去，避免同时保留两个未知长度。由以及得化简得所以 所以又所以在直线上、线段外。若在上，则越过若在上，则越过 P 在 A 的外侧 P 在 B 的外侧 C、综合提升 1、在中，为的中点。点在上，且不与重合，设的取值范围，以及当时的长，分别为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】所以取的中点连接在等腰中， 由在之间或与重合；但不能与重合。因此由得所以 当时，由于在上，选B。 2、在中，分别为的中点。点在射线上且不与重合，点在射线上且不与重合，则________，________，________。 【解析】连接是因为的中点与正好对应对则连接后在中用同样的方法判定直角。由和中点等距判定，得在中， 连接由同理得在中， 所以在的延长线上，所以在边内部， 因此 3、在中，垂足为垂足为为的中点。求的周长，并判断它的形状。 【解析】先看和它们共用斜边因此到的距离都等于的一半；要判断是否等边，还须独立求第三边计算时，过作的垂线，可把放入一个直角三角形，并借助线段差得到所需的直角边。在中，所以于是 在中，所以因为分别在内部。 与都是以为斜边的直角三角形，又是的中点，所以 作垂足为在中，所以由得 在中，因此是等边三角形，周长为 4、在中，为的中点，为的中点。点在直线上，且为直角三角形。求的长，并指出的直角顶点。 【解析】所以而在等腰中，因此 等距条件先确定直线上的候选位置，另一个条件才负责筛选；题目没有指定的直角顶点，不能预先假定哪两边垂直。在中，因此可以在上，也可以在的延长线上。 作垂足为由得若在上，则与重合，因为所以的直角在且 若在的延长线上，则此时是最大边，但不能构成直角三角形，舍去。 所以直角顶点为 P 在线段 BC 上 P 在 C 的外侧（舍去） 5、在中，为的中点，垂足为若则________。 【解析】设则由得在中， 和同以射线为一边，又都在内部，所以两角之差就是应先比较两角大小，再确定相减的次序。当时，所以由题意，解得符合此范围。 当时，所以由题意，解得符合此范围。 当时，与重合，不符合题意。因此或 H 在线段 BM 上 H 在线段 AM 上 6、在中，为的中点。点在射线上，且不与重合。当为等腰三角形时，求的长。 【解析】作垂足为由得设则 点可在垂足的两侧，但因此下面分别考虑三种两边相等的情况。 题目没有指定等腰三角形的腰是哪两边，因此应将三条边两两比较，不能只按示意图选择其中一对。①若由得不可能。 ②若则即所以或时与重合，不符合题意，舍去；时与重合，可以保留。 ③若则化简得所以此时在的延长线上，也符合题意。 直线与直线只交于而不与重合，所以所保留两种位置中的不共线。综上，或 P 与 B 重合（舍去） P 与 C 重合 P 在 C 的外侧 D、近年中考真题 1、（2025陕西，第5题）如图，在中，为边上的中线，则图中与互余的角共有（ ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解析】由得由斜边中线性质，在等腰中， 在等腰中，所以又由三线合一， 因此与互余的角是共个，选C。图中的其他非平角分别为没有遗漏的角。 2、（2026重庆，第25题第（1）问）如图，在中，以为斜边在上方作等腰直角三角形 若求的长度。 【解析】为等腰直角三角形，所以 设在中，所以由勾股定理，得 因为所以且符合题设。 3、（2025江苏苏州，第24题）小明同学用一副三角板进行自主探究。如图，中，中， （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点求的度数和线段的长。（结果保留根号） （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点按逆时针方向旋转一定的角度，使得点落在边上，如图②。①求线段的长。（结果保留根号）②判断与的位置关系，并说明理由。 【解析】（1）为等腰直角三角形，所以在中，设则由得 图①中，（cm）。所以在中， （2）作垂足为在中，所以于是 在中，从向的方向取距为的点，记为由于在外，不符合点在边上的条件。又故在之间，（cm）。 由于得又在图②的位置中，射线在与之间，所以因此 4、（2025江苏南京，第25题）如图，码头位于码头的南偏东方向，之间的距离为灯塔在的中点处。轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行。当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，三点恰好在一条直线上。求甲航行的距离 （参考数据： 【解析】延长向南、向西交于过作交于由方向关系，在中，所以（km），（km）。 因为是的中点，所以又有由两角及其夹边分别相等，所以 由两船航行的距离相同，所以为等腰直角三角形，于是也是等腰直角三角形， 设（km），则（km），所以解得 点确在之间，符合题意。答：甲航行的距离约为 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $