5.3二元一次方程组的应用讲义 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦八年级上册二元一次方程组的应用，系统梳理其与一次函数的关系，列方程组解应用题的步骤，以及鸡兔同笼、增收节支、数字与行程等常见类型，构建从知识原理到实际应用的学习支架。 该资料采用“T-P-S”结构，同步课堂结合几何直观分析函数图象与方程组的联系，实战演练通过《孙子算经》问题、帐篷安置等实例培养模型意识，归纳总结强化推理思维，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固提升、查漏补缺。

学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：八年级(上) 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题 第12讲-二元一次方程组的应用 授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 1 学会列二元一次方程组解应用题； 2 掌握常见的几种实际问题的解法； 3 掌握二元一次方程组与一次函数的关系。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 ( 体系搭建 ) 1、 知识梳理 1、二元一次方程与一次函数 （1）二元一次方程与一次函数的关系； （2） 用二元一次方程组确定一次函数的表达式。 2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）明确题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个未知数； （2）找出表示应用题全部含义的两个等量关系； （3）根据找出的两个等量关系列出所需要的代数式，从而列出方程组； （4）解方程组； （5）检验所得的解是不是方程组的解，并检验其是否符合题意，不符合的要舍去； （6） 写出答案，包括单位名称。 3、常见的列方程解决实际问题的类型题： （1）鸡兔同笼问题； （2）增收节支问题； （3）数字与行程问题。 考点一：二元一次方程与一次函数 例1、如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 例2、已知直线y=x﹣3与y=2x+2的交点为（﹣5，﹣8），则方程组的解是　　 ． 　 例3、小明同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知直线y=kx+b过点（3，1），则b的正确值应该是多少？ 例4、在直角坐标系中，直线l1经过点（1，﹣3）和（3，1），直线l2经过（1，0），且与直线l1交于点A（2，a）． （1）求a的值； （2）A（2，a）可看成怎样的二元一次方程组的解？ （3）设直线l1与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点C，求△ABC的面积． 考点二：应用二元一次方程组--鸡兔同笼 例1、我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 例2、《孙子算经》是中国重要的古代数学著作．书中叙述了算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，举例说明筹算分数算法和筹算开平方法．同时，书中还记载了有趣的“鸡兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这句话的意思是：“有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？”设有鸡x只，兔y只，可列方程组为　　 ． 例3、根据题意列出方程组： （1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？ （2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？ 考点三：应用二元一次方程组—增收节支 例1、某次地震期间，为了紧急安置60名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（即不多不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有（　　） A．4种 B．11种 C．6种 D．9种 例2、一次智力竞赛有20题选择题，每答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不给分也不扣，小亮答完全部测试题共得65分，那么他答错了　 　道题． 例3、某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子．帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的．问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 考点四：应用二元一次方程组—数字与行程问题 例1、一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（　　） A．86 B．68 C．97 D．73 　 例2、A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，那么这艘船在静水中的速度和水流速度分别为　 　千米/时，　 　千米/时． 例3、某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按另外的标准收费，甲说：“我乘出租车走了5千米，付了10元”；乙说：“我乘出租车走了8千米，付了16元”． （1）请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ （2）假如你的身上只有20元，那么你乘出租车不能超过多少千米？ P(Practice-Oriented)——实战演练 ( 实战演练 ) · 课堂狙击 1、如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2、为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 3、为紧急安置60名地震中的灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，正好安置完所有人且不多余，则搭建方案共有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 4、新学期开始，为让同学们更好地互相帮助，王老师把班级里60名学生分成若干小组，每小组只能是6人或8人，则有（　　）种方案． A．4 B．3 C．2 D．1 5、一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（　　） A．92 B．38 C．47 D．29 6、直线y=kx+3与y=﹣x+3的图象如图所示，则方程组的解为　　 ． 7、已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为　 　． 8、《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位．在其中有这样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文：有100名和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为　　 ． 　 9、某地中学生校园足球联赛，共赛17轮（即每对均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次校园足球联赛中，光明足球队得16分，且踢平场数是所负场数的k倍（k为正整数），则k的所有可能值之和为　 　． 10、一个两位数的各位数字之和为8，十位数字与个位数字互换后，所得新数比原数小18，则原来的两位数是　 ． 11、如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）． （1）求b的值； （2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解； （3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由． 12、两人骑自行车在400米环形跑道上用不变的速度行驶，当他们按相反的方向行驶时，每20秒名相遇一次；若按同一方向行驶，那么每100秒钟相遇一次，问两个的速度各是多少？ · 课后反击 1、如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2、一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 3、一个商人将99颗弹子放进两个盒子，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完．盒子总个数大于9，问大小盒子各几个？（　　） A．大的2个，小的15个 B．大的7个，小的3个 C．大的2个，小的15个或 大的7个，小的3个 D．无数种 　 4、为推进课改，王老师把班级里40名学生分成若干组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5、一个两位数，十位上数字比个位上数字大2，且十位上数字与个位上数字之和为12，则这个两位数为（　　） A．46 B．64 C．57 D．75 6、如图，函数y=﹣x﹣和y=2x+3的图象交于点P，则根据图象可得，二元一次方程组的解是 　　． 7、如图，已知一次函数y=ax+b和y=kx的图象相交于点P，则根据图中信息可得二元一次方程组的解是　　 ． 8、《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为　　 ． 9、清明节期间，七（1）班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈．若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则少5人，由此可知该班共有　 　名同学． 10、一个两位数，它的个位数字是十位数字的2倍，且十位数字与个位数字和的4倍，等于这个两位数，这个两位数是　 　． 11、一艘轮船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米．则轮船在静水中的速度为　 　千米/时，水流速度为　 　千米/时． 12、张强和李毅二人分别从相距20千米的A、B两地出发，相向而行，如果张强比李毅早出发30分钟，那么在李毅出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求张强、李毅每小时各走多少千米． 13、如图，已知直线l1：y=3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y=mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解； （3）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式． ( 直击中考 ) 1、【朝阳区】如图，在平面直角坐标系xOy中，如果一个点的坐标可以用来表示关于x、y的二元一次方程组的解，那么这个点是（　　） A．M B．N C．E D．F 2、【连云港】某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ S(Summary-Embedded)——归纳总结 ( 重点回顾 ) 1、列方程解应用题的一般步骤： （1）分析题意，找出等量关系；（2）设未知数，列方程组；（3）解方程组；（4）检验；（5）答。 2、 常见的列方程解决实际问题的类型题： （1）鸡兔同笼问题； （2）增收节支问题； （3）数字与行程问题。 ( 名师点拨 ) 1、 列方程时，找出等量关系是解题的关键； 2、 学会数形结合，运用多种方法找出等量关系。 ( 学霸经验 ) · 本节课我学到 · 我需要努力的地方是 ( 11 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：八年级(上) 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题 第12讲-二元一次方程组的应用 授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 1 学会列二元一次方程组解应用题； 2 掌握常见的几种实际问题的解法； 3 掌握二元一次方程组与一次函数的关系。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 ( 体系搭建 ) 1、 知识梳理 1、二元一次方程与一次函数 （1）二元一次方程与一次函数的关系； （2） 用二元一次方程组确定一次函数的表达式。 2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）明确题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个未知数； （2）找出表示应用题全部含义的两个等量关系； （3）根据找出的两个等量关系列出所需要的代数式，从而列出方程组； （4）解方程组； （5）检验所得的解是不是方程组的解，并检验其是否符合题意，不符合的要舍去； （6） 写出答案，包括单位名称。 3、常见的列方程解决实际问题的类型题： （1）鸡兔同笼问题； （2）增收节支问题； （3）数字与行程问题。 考点一：二元一次方程与一次函数 例1、如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解析】根据函数图可知，函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P的坐标是（﹣3，1），故的解是，故选C． 例2、已知直线y=x﹣3与y=2x+2的交点为（﹣5，﹣8），则方程组的解是　　． 【解析】直线y=x﹣3与y=2x+2的交点为（﹣5，﹣8），即x=﹣5，y=﹣8满足两个解析式， 则是即方程组的解．因此方程组的解是． 　 例3、小明同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知直线y=kx+b过点（3，1），则b的正确值应该是多少？ 【解析】依题意得：2=﹣k+6，解得：k=4；又∵1=3×4+b，∴b=﹣11． 例4、在直角坐标系中，直线l1经过点（1，﹣3）和（3，1），直线l2经过（1，0），且与直线l1交于点A（2，a）． （1）求a的值； （2）A（2，a）可看成怎样的二元一次方程组的解？ （3）设直线l1与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点C，求△ABC的面积． 【解析】（1）设直线l1的解析式为y=kx+b，把（1，﹣3）和（3，1）代入，得，解得：， 则直线l1的解析式为：y=2x﹣5，把A（2，a）代入y=2x﹣5，得：a=2×2﹣5=﹣1； （2）设l2的解析式为y=mx+n， 把A（2，﹣1）、（1，0）代入，得，解得，所以L2的解析式为y=﹣x+1， 所以点A（2，a）可以看作是二元一次方程组的解； （3）把x=0代入y=2x﹣5，得y=﹣5，把x=0代入y=﹣x+1，得y=1，∴点B的坐标为（0，﹣5），点C的坐标为（0，1），∴BC=1﹣（﹣5）=6．又∵A点坐标为（2，﹣1），∴S△ABC=×6×2=6． 考点二：应用二元一次方程组--鸡兔同笼 例1、我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解析】设有x匹大马，y匹小马，根据题意得，故选C 例2、《孙子算经》是中国重要的古代数学著作．书中叙述了算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，举例说明筹算分数算法和筹算开平方法．同时，书中还记载了有趣的“鸡兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这句话的意思是：“有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？”设有鸡x只，兔y只，可列方程组为　　． 【解答】解；由题意可得，，故答案为：． 例3、根据题意列出方程组： （1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？ （2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？ 【解答】（1）解：设0.8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意得． （2）解：设有x只鸡，y个笼，根据题意得． 考点三：应用二元一次方程组—增收节支 例1、某次地震期间，为了紧急安置60名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（即不多不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有（　　） A．4种 B．11种 C．6种 D．9种 【解析】设6人帐篷用了x个，4人帐篷用了y个，根据题意得：6x+4y=60，即y==， 当x=0时，y=15；当x=2时，y=12；当x=4时，y=9；当x=6，y=6；当x=8时，y=3；当x=10时，y=0； 则不同的搭建方案有6种．故选：C． 例2、一次智力竞赛有20题选择题，每答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不给分也不扣，小亮答完全部测试题共得65分，那么他答错了　5　道题． 【解析】设答对x道题，答错了y道题，根据题意可得：， 解得：，故他答错了5道题．故答案为：5． 例3、某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子．帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的．问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 【解析】设该兴趣小组男生有x人，女生有y人，依题意得：，解得：． 答：该兴趣小组男生有12人，女生有21人． 考点四：应用二元一次方程组—数字与行程问题 例1、一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（　　） A．86 B．68 C．97 D．73 【解析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．则，解得．故选D． 　　　 例2、A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，那么这艘船在静水中的速度和水流速度分别为　17　千米/时，　3　千米/时． 【解析】设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时， 依题意得，∴， 答：这艘船在静水中的速度和水流速度分别为17千米/小时，3千米/小时． 例3、某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按另外的标准收费，甲说：“我乘出租车走了5千米，付了10元”；乙说：“我乘出租车走了8千米，付了16元”． （1）请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ （2）假如你的身上只有20元，那么你乘出租车不能超过多少千米？ 【解析】（1）设这种出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元， 依题意得：，解这个方程组得． 答：这种出租车的起步价是6元，超过3千米后，每千米的车费是2元； （2）设乘出租车不超过z千米，则6+2（z﹣3）≤20，解得z≤10． 答：乘出租车不超过10千米． P(Practice-Oriented)——实战演练 ( 实战演练 ) · 课堂狙击 1、如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解析】函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（﹣3，1），即x=﹣3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y的方程组的解是．故选C． 2、为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】该班男生有x人，女生有y人．根据题意得：，故选：D． 3、为紧急安置60名地震中的灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，正好安置完所有人且不多余，则搭建方案共有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【解析】设6人的帐篷有x顶，4人的帐篷有y顶，依题意，有：6x+4y=60，整理得y=15﹣1.5x， 因为x、y均为非负整数，所以15﹣1.5x≥0，解得0≤x≤10，从0到10的偶数共有5个， 所以x的取值共有5种可能，由于需同时搭建两种帐篷，x不能为0（舍去），即共有4种搭建方案． 故选：B． 4、新学期开始，为让同学们更好地互相帮助，王老师把班级里60名学生分成若干小组，每小组只能是6人或8人，则有（　　）种方案． A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】设6人一组的有x个，8人一组的有y个，根据题意可得：6x+8y=60，y=， 当x=1，则y=（不合题意）；当x=2，则y=6；当x=3，则y=（不合题意）； 当x=4，则y=（不合题意）；当x=5，则y=（不合题意）；当x=6，则y=3； 当x=7，则y=（不合题意）；当x=8，则y=（不合题意）； 当x=9，则y=（不合题意）；当x=10，则y=0． 故有3种分组方案．故选：B． 5、一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（　　） A．92 B．38 C．47 D．29 【解析】设这个两位数十位为x，个位为y，由题意得，，解得：， 则这个两位数为：29．故选：D． 6、直线y=kx+3与y=﹣x+3的图象如图所示，则方程组的解为　　． 【解析】根据题意知，二元一次方程组的解就是直线y=kx+3 与y=﹣x+3的交点坐标，又∵交点坐标为（0，3）， ∴原方程组的解是：．故答案为． 7、已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为　（1，0）　． 【解析】∵方程组的解为，∴一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为（1，0）． 8、《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位．在其中有这样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文：有100名和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为　　． 【解析】设大和尚有x人，则小和尚有y人，根据题意得，故答案为：． 　 9、某地中学生校园足球联赛，共赛17轮（即每对均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次校园足球联赛中，光明足球队得16分，且踢平场数是所负场数的k倍（k为正整数），则k的所有可能值之和为　3　． 【解析】设所负场数为x场，胜 17﹣x﹣kx场，平 kx场，可得：3（17﹣x﹣kx）+kx=16，解得：x=， 所以k的所有可能值为：1或2，所以k的所有可能值之和为1+2=3，故答案为：3． 10、一个两位数的各位数字之和为8，十位数字与个位数字互换后，所得新数比原数小18，则原来的两位数是　53　． 【解析】设原两位数的个位数字为x，十位数字为y． 则 ，解得 ， ∴10y+x=53，故答案为：53． 11、如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）． （1）求b的值； （2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解； （3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由． 【解析】（1）把P（1，b）代入y=x+1得b=1+1=2； （2）由（1）得P（1，2），所以方程组的解为； （3）直线l3：y=nx+m经过点P． 理由如下：因为y=mx+n经过点P（1，2），所以m+n=2，所以直线y=nx+m也经过P点． 12、两人骑自行车在400米环形跑道上用不变的速度行驶，当他们按相反的方向行驶时，每20秒名相遇一次；若按同一方向行驶，那么每100秒钟相遇一次，问两个的速度各是多少？ 【解析】设两个人中较快者的速度为x米/秒、较慢者的速度为y米/秒， 根据题意，得， 解这个方程组，得； 答：两个人的速度分别为12米/秒、8米/秒． 　 · 课后反击 1、如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解析】函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（﹣4，﹣2）， 即x=﹣4，y=﹣2同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于x，y的方程组的解是．故选：B． 2、一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【解析】由题意可得，， 故选A． 3、一个商人将99颗弹子放进两个盒子，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完．盒子总个数大于9，问大小盒子各几个？（　　） A．大的2个，小的15个 B．大的7个，小的3个 C．大的2个，小的15个或 大的7个，小的3个 D．无数种 【解析】设大盒子x个，小盒子y个，12x+5y=99，x+y＞10，因为，用99减去12的x倍， 所得的数个位是0或5即可，可得x=2，y=15，共17个，x=7，y=3，共10个， 故大的2个，小的15个或 大的7个，小的3个．故选：C． 　 4、为推进课改，王老师把班级里40名学生分成若干组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得：5x+6y=40， 当x=1，则y=（不合题意）；当x=2，则y=5；当x=3，则y=（不合题意）； 当x=4，则y=（不合题意）；当x=5，则y=（不合题意）；当x=6，则y=（不合题意）； 当x=7，则y=（不合题意）；当x=8，则y=0；故有2种分组方案．故选：C． 5、一个两位数，十位上数字比个位上数字大2，且十位上数字与个位上数字之和为12，则这个两位数为（　　） A．46 B．64 C．57 D．75 【解析】设个位上的数字是x，十位上的数字是y，依题意得：，解得． 则这个两位数是75．故选：D． 6、如图，函数y=﹣x﹣和y=2x+3的图象交于点P，则根据图象可得，二元一次方程组的解是　　． 【解析】观察函数图象可知：交点P的坐标为（﹣1，1）， ∴二元一次方程组的解是．故答案为：． 7、如图，已知一次函数y=ax+b和y=kx的图象相交于点P，则根据图中信息可得二元一次方程组的解是　　． 【解析】如图所示：根据图中信息可得二元一次方程组的解是：． 故答案为：． 8、《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为　　． 【解析】根据题意得：；故答案为：． 9、清明节期间，七（1）班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈．若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则少5人，由此可知该班共有　59　名同学． 【解析】设一共分为x个小组，该班共有y名同学，根据题意得，解得．故答案为59． 10、一个两位数，它的个位数字是十位数字的2倍，且十位数字与个位数字和的4倍，等于这个两位数，这个两位数是　12，24，36，48　． 【解析】设个位数字为x，十位数字为y，由题意得：， 当x=2时，y=1，当x=4时，y=2，当x=6时，y=3，当x=8时，y=4，故答案为：12，24，36，48． 11、一艘轮船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米．则轮船在静水中的速度为　18　千米/时，水流速度为　2　千米/时． 【解析】设船在静水速度为x千米/时，水流速度为y千米/时． 根据题意得：，解得： 即：轮船在静水中的速度为18千米/时，水流速度为2千米/时． 12、张强和李毅二人分别从相距20千米的A、B两地出发，相向而行，如果张强比李毅早出发30分钟，那么在李毅出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求张强、李毅每小时各走多少千米． 【解析】设张强每小时走x千米，李毅每小时走y千米， 由题意得，，解得：．答：张强每小时走4千米，李毅每小时走5千米． 13、如图，已知直线l1：y=3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y=mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解； （3）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式． 【解析】（1）∵（﹣2，a）在直线y=3x+1上， ∴当x=﹣2时，a=﹣5． （2）解为． （3）∵直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0， 此时恰好x＞3 ∴直线l2过点（3，0），（7分） 又∵直线l2过点P（﹣2，﹣5） ∴，解得． ∴直线l2的函数解析式为y=x﹣3． ( 直击中考 ) 1、【朝阳区】如图，在平面直角坐标系xOy中，如果一个点的坐标可以用来表示关于x、y的二元一次方程组的解，那么这个点是（　　） A．M B．N C．E D．F 【解析】两直线都过定点E， 所以点E表示关于x、y的二元一次方程组的解，故选C 2、【连云港】某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【解析】（1）设该店有客房x间，房客y人； 根据题意得：， 解得：． 答：该店有客房8间，房客63人； （2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16=320钱； 若一次性定客房18间，则需付费20×18×0.8=288钱＜320钱； 答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算． S(Summary-Embedded)——归纳总结 ( 重点回顾 ) 1、列方程解应用题的一般步骤： （1）分析题意，找出等量关系；（2）设未知数，列方程组；（3）解方程组；（4）检验；（5）答。 2、 常见的列方程解决实际问题的类型题： （1）鸡兔同笼问题； （2）增收节支问题； （3）数字与行程问题。 ( 名师点拨 ) 1、 列方程时，找出等量关系是解题的关键； 2、 学会数形结合，运用多种方法找出等量关系。 ( 学霸经验 ) · 本节课我学到 · 我需要努力的地方是 ( 11 ) 学科网（北京）股份有限公司 $