精品解析：广东深圳市福田区外国语学校2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

2026-2027学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 说明： 答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．选择题用2B铅笔作答，填涂时要将选中项框内涂黑、涂满．修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答．主观题用黑色字迹的签字笔作答；答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外．考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中． 1．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 2．全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分，其中只有一个选项是正确的） 1. 关于的一元二次方程，该方程的常数项是（ ） A. 2 B. －3 C. 1 D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】按照一元二次方程的一般形式找出二次项系数，一次项系数，以及常数项，即可做出判断． 【详解】解：一元二次方程的常数项为-1， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)，其中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 已知成比例线段．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，，，成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 3. 对于一元二次方程，该方程根的情况为（） A. 没有实数根 B. 两根之和是 C. 两根之积是 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【详解】解：由一元二次方程得，，． ∴． ∴该方程没有实数根． 4. 在下列四个命题中：①所有等腰直角三角形都相似；②所有矩形都相似；③所有正方形都相似；④所有菱形都相似．其中真命题有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】判断相似图形需同时考虑对应角与对应边两个条件，据此逐一验证命题． 【详解】解：①所有等腰直角三角形的内角均为，，，对应角相等，故都相似，是真命题； ②所有矩形对应角均为直角，但对应边的比不一定相等，故不都相似，是假命题； ③所有正方形对应角相等、对应边成比例，故都相似，是真命题； ④所有菱形对应边成比例，但对应角不一定相等，故不都相似，是假命题； 综上，真命题共2个． 5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理，找准、之间、、之间的间隔份数，列出比例式计算的长． 【详解】解：∵五线谱横线互相平行，相邻横线间距相等， ∴． ∵， ∴． ∴． 6. 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ） A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 【答案】B 【解析】 【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可． 【详解】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为；  “车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2 ，  ∵ ∴马应该落在②的位置， 故选B 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大． 7. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：∵矩形中， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 在中，， 故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键. 8. 如图，在正方形中，为上一点，且，连接．过点作，垂足为，连接并延长交于点，连接，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，推出，正方形边长为，先证明，求出的长，再过点作于点，作于点，利用相似三角形求出、、的长，再分别计算两个三角形面积，最后求出面积之比． 【详解】解：∵，设， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴，． ∵， ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴，即． 解得． 过点作于点，作于点， ∴四边形是矩形． ∴，，，． ∴． ∴，即． 解得，． ∴，，． ∵， ∴． ∴，即． 解得． ∴，． ∴． 二．填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 9. 已知是一元二次方程的一个实数根，则的值为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据方程根的定义，将a代入方程可得到的整体值，再将所求代数式变形为含该整体的形式，代入计算即可 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个实数根． ∴将代入方程可得． ∴． ∴． 10. 如图，在五角星中，，两点都是线段的黄金分割点，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】黄金分割点是指将一条线段分成两部分，其中较短部分与较长部分的比等于较长部分与整个线段的比，这个比的比值为．据此列出比例式解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ∵， ∴， ∴． 11. 如图，，且，，的面积为10，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先由平行线得到两个三角形相似，再求出相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方列式计算，求出的面积． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 12. 对于任意实数，，我们定义新运算“”：，例如．若是方程的两根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算规则将给定方程转化为普通一元二次方程，结合根与系数的关系，将所求分式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 整理得 ∵、是该方程的两根 ∴， ∴． 13. 如图，在中，点为边上一点，连接，点为中点，连接，已知，，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，先证明得到，不妨设，利用，求得，进而求出，接着利用面积求得，接着证明，求得，再证明，求得，最后求得答案． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵点为中点，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 不妨设， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去负值）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三．解答题（本大题共7小题，第14、15题8分，第16题7分，第17、18题9分，第19、20题10分，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 15. 如图，在平行四边形中，点为对角线的中点，过点作交边于点、，并连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若四边形为矩形，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 为对角线的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形 （2） 【解析】 【分析】第问，先利用平行四边形对边平行，得到内错角相等，结合中点条件证三角形全等，得到一组对边平行且相等，先证出是平行四边形；再结合条件，用对角线互相垂直的平行四边形是菱形完成证明． 第问背景升级为矩形，矩形自带直角，先用勾股定理算出对角线；利用菱形四边相等的性质设未知数，借助直角三角形勾股定理列方程求出边长；最后在中再次用勾股定理算出，菱形对角线互相平分，求出线段长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形为矩形， ， ∵， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为的三个顶点分别为，，． （1）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在第一象限内画出； （2）边上有一点，在边上与点对应的点的坐标是___________； （3）的面积是___________． 【答案】（1）如图所示即为所求： （2）坐标是 （3）的面积是20 【解析】 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：的面积． 17. 某校九年级（1）班同学利用可伸缩的标杆和卷尺测量物体高度，请你帮助同学们完成计算： （1）如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，测得信号塔的影长米，求信号塔的长度； （2）如图2，同学们继续测量电线杆的高度，具体操作如下：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点的影子与电线杆的端点的影子重合于点，测得米；②把标杆缩短为1.5米，记作，过了一段时间，标杆的端点的影子恰好与电线杆的端点的影子重合于点，测得米．请结合以上测量数据，求出电线杆的高度． 【答案】（1）信号塔的长度为17米 （2）电线杆的高度为6米 【解析】 【分析】（1）证明，得出，再代入数据求值即可； （2）由（1）同理可证：，根据相似三角形的性质得出，再代入数据求值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， ， ， 即， 解得：， 答：信号塔的长度为17米； 【小问2详解】 解：由（1）同理可证：， ， ， 解得：， 答：电线杆的高度为6米． 18. 某商家为深圳大运会议提供制作纪念品所需的环保树脂．今年三月份该环保树脂供应千克，四、五两个月供应量的月平均增长率相同，五月份供应量达到千克． （1）求四、五两个月供应量的月平均增长率； （2）从六月起，该商家将同款环保树脂面向其他生产商供货，采用降价促销方式．经调查，每千克降价元，月供应量增加千克．已知该环保树脂每千克盈利元，且以五月份供应量千克为基准．当每千克降价多少元时，商家六月份能获利元？ 【答案】（1）四、五两个月供应量的月平均增长率为 （2）当每千克降价元时，商家六月份能获利元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长率公式列出一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根； （2）设每千克降价元，表达出降价后每千克利润和总供应量，依据“总利润单件利润销售量”列一元二次方程求解，舍去负根． 【小问1详解】 解：设四、五两个月供应量的月平均增长率为，根据题意得： ， ， 或， 故，（不符合题意，舍去）． 答：四、五两个月供应量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每千克降价元，根据题意得： ， 即． 解得（不符合题意，舍去）， 答：当每千克降价元时，商家六月份能获利元． 19. 阅读与应用：对于两个正实数，同学们已经知道．即，所以（当且仅当时取等号） 阅读1：对于两个正实数．（当且仅当时取等号） 阅读2：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有．（当且仅当，即时取等号） 请阅读并理解上述内容，尝试应用以上结论完成下列问题： （1）已知为正实数，即，则的最小值为___________；的最小值为___________． （2）我校生物科组需要建成如图1所示的面积为的生物园地，一面利用墙体，其余各边用围栏围成，中间用围栏隔开，请你帮生物老师计算下至少需要多少米的围栏？ （3）如图2，四边形的对角线相交于点，的面积分别是和，则四边形面积的最小值为___________． 【答案】（1）10；1 （2）所用的围栏至少为18米 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给方法求解即可； （2）设该矩形生物园地的长是米，将宽用面积和表示出来，进而写出围栏长度的表达式，并利用题中结论求其最小值； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． 【小问1详解】 解：，当且仅当，即时取等号； ， ，当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为1； 【小问2详解】 解：设该矩形生物园地的长是米，则其宽是米． 根据题意，得围栏的长度． 由上述结论，得，即． 当，即时，（取最小值）． 所用的围栏至少为18米． 【小问3详解】 解：设． 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， ，解得． ． ． ，当，即时取等号． 四边形面积的最小值存在，为． 20. 探究小组的同学运用等腰直角三角形与正方形作探究，如图1，已知，正方形边长为，当的顶点置放在的中点时，顶点恰落在上． （1）【探究一】的面积为___________； （2）【探究二】如图2，探究小组让沿方向滑动，点从点出发到点终止，运动的速度为，设运动的时间为，请直接写出两个图形公共部分面积与之间的关系式； （3）【探究三】如图3，探究小组让点落在点并以点为旋转中心旋转，、与边相交于点、，若，求的长度． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，根据勾股定理得出，最后根据三角形面积公式求出结果即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别进行求解即可； （3）连接，证明，得出，设，则，，代入求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ， ∴， ∵的顶点置放在的中点时，顶点恰落在上， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设与交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 根据题意得，则， 当时，两个图形公共部分面积即为的面积，如图所示： ∴； 当时，设与交于点，两个图形公共部分面积即为四边形的面积，如图所示： 根据（1）可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ； 综上，； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ∵，点为的中点， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴设，则，，代入得： ， 解得，， 经检验，都是原方程的解， ∴或； 综上，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 说明： 答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．选择题用2B铅笔作答，填涂时要将选中项框内涂黑、涂满．修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答．主观题用黑色字迹的签字笔作答；答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外．考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中． 1．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 2．全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分，其中只有一个选项是正确的） 1. 关于的一元二次方程，该方程的常数项是（ ） A. 2 B. －3 C. 1 D. －1 2. 已知成比例线段．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 对于一元二次方程，该方程根的情况为（） A. 没有实数根 B. 两根之和是 C. 两根之积是 D. 有两个不相等的实数根 4. 在下列四个命题中：①所有等腰直角三角形都相似；②所有矩形都相似；③所有正方形都相似；④所有菱形都相似．其中真命题有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. 3 B. C. D. 6 6. 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ） A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 7. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 8. 如图，在正方形中，为上一点，且，连接．过点作，垂足为，连接并延长交于点，连接，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 9. 已知是一元二次方程的一个实数根，则的值为___________． 10. 如图，在五角星中，，两点都是线段的黄金分割点，，则的长为___________． 11. 如图，，且，，的面积为10，则的面积为___________． 12. 对于任意实数，，我们定义新运算“”：，例如．若是方程的两根，则的值为___________． 13. 如图，在中，点为边上一点，连接，点为中点，连接，已知，，若，则的长为___________． 三．解答题（本大题共7小题，第14、15题8分，第16题7分，第17、18题9分，第19、20题10分，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 如图，在平行四边形中，点为对角线的中点，过点作交边于点、，并连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若四边形为矩形，，求的长． 16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为的三个顶点分别为，，． （1）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在第一象限内画出； （2）边上有一点，在边上与点对应的点的坐标是___________； （3）的面积是___________． 17. 某校九年级（1）班同学利用可伸缩的标杆和卷尺测量物体高度，请你帮助同学们完成计算： （1）如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，测得信号塔的影长米，求信号塔的长度； （2）如图2，同学们继续测量电线杆的高度，具体操作如下：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点的影子与电线杆的端点的影子重合于点，测得米；②把标杆缩短为1.5米，记作，过了一段时间，标杆的端点的影子恰好与电线杆的端点的影子重合于点，测得米．请结合以上测量数据，求出电线杆的高度． 18. 某商家为深圳大运会议提供制作纪念品所需的环保树脂．今年三月份该环保树脂供应千克，四、五两个月供应量的月平均增长率相同，五月份供应量达到千克． （1）求四、五两个月供应量的月平均增长率； （2）从六月起，该商家将同款环保树脂面向其他生产商供货，采用降价促销方式．经调查，每千克降价元，月供应量增加千克．已知该环保树脂每千克盈利元，且以五月份供应量千克为基准．当每千克降价多少元时，商家六月份能获利元？ 19. 阅读与应用：对于两个正实数，同学们已经知道．即，所以（当且仅当时取等号） 阅读1：对于两个正实数．（当且仅当时取等号） 阅读2：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有．（当且仅当，即时取等号） 请阅读并理解上述内容，尝试应用以上结论完成下列问题： （1）已知为正实数，即，则的最小值为___________；的最小值为___________． （2）我校生物科组需要建成如图1所示的面积为的生物园地，一面利用墙体，其余各边用围栏围成，中间用围栏隔开，请你帮生物老师计算下至少需要多少米的围栏？ （3）如图2，四边形的对角线相交于点，的面积分别是和，则四边形面积的最小值为___________． 20. 探究小组的同学运用等腰直角三角形与正方形作探究，如图1，已知，正方形边长为，当的顶点置放在的中点时，顶点恰落在上． （1）【探究一】的面积为___________； （2）【探究二】如图2，探究小组让沿方向滑动，点从点出发到点终止，运动的速度为，设运动的时间为，请直接写出两个图形公共部分面积与之间的关系式； （3）【探究三】如图3，探究小组让点落在点并以点为旋转中心旋转，、与边相交于点、，若，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $