26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质（第1课时）教学课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2二次函数的图象与性质 26.2.1 二次函数y=ax2 的图象和性质 学习任务 1 2 能借助描点的方式作出y=ax2这类二次函数的图象，并认识抛物线的基本含义. 在观察图象的过程中，能够归纳出y=ax2图象的形状特点及其性质. 3 在类比中展开对y=ax2图象与性质的探究，进一步体会由图象看性质的基本路径，感受数与形的相互印证. 目录 1 4 2 3 随堂训练 类比研学 知识回顾 探究新知 5 6 限时检测 本课小结 7 作业安排 1 知识回顾 二次函数 概念 相关名词 图象 和性质 所谓二次函数，指的是形如y=ax2+bx+c的函数（a，b，c为常数，a≠0），其中x是自变量. 其中a、b、c依次为二次项系数、一次项系数、常数项. 同方程的联系 现实运用 答：常见的有y=ax2、y=ax2+bx、y=ax2+c这三种. 1 知识回顾 1.在一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)以外，二次函数还存在哪几种特殊形态？ 一次函数y=kx+b 正比例函数y=kx 特殊 二次函数y=ax2+bx+c 二次函数y=ax2 特殊 答：先描点作出图象，再由图得到性质，这就是研究函数的套路. 关注了它的形状与位置，还有函数值的增减变化情况. 1 知识回顾 2.正比例函数的图象与性质，当初我们是怎样一步步研究的？关注了哪些方面？ 答：分三步走——列表、描点、连线. 3.用描点法作图象要经过哪几个步骤？ 问题 请用描点法作出二次函数y=x2的图象. 2 探究新知 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x2 ... ... 1.列表： 2.描点： 3.连线： • • • • • • • y=x2 9 想一想：自变量可以取哪些值？ 1 4 4 1 0 9 2 探究新知 y=x2的图象画出来以后，得到的是一条平滑的曲线，像篮球出手后划过的轨迹，只不过它是朝上敞开的.凡是二次函数，图象都是这一类曲线，只是敞口的方向会朝上或者朝下.于是数学上给它起个名字：y=ax2+bx+c的图象，就叫做抛物线y=ax2+bx+c. 2 探究新知 曲线y=x2与它那条对称轴相交于(0，0)，这个点被称作抛物线y=x2的顶点，同时也是整条曲线y=x2的最低处. • 顶点 y=x2的图象可以沿一条直线对折后完全重合，这条直线就是y轴. 对称轴 不妨在y=x2上随便取一点(m，m2)，它关于y轴的镜像点(−m，m2)同样落在曲线y=x2上，这就说明曲线y=x2对y轴成轴对称. 对称性的代数说明 y=x2的图象关于y轴对称，也就是以y轴为对称轴. 这条曲线y=x2和对称轴碰于(0，0)，该点即抛物线y=x2的顶点，落在y=x2最低的位置上. 2 探究新知 • 顶点 对称轴 其实任何一条抛物线都带有一条对称轴，曲线与它相交处就是顶点；顶点总是曲线的最高处或最低处. 2 探究新知 观察y=x2的图象，不难发现: 对称轴左边，曲线自左向右 ； 对称轴右边，曲线自左向右 . 增减变化 下降 上升 也就是说， 当x<0时， ； 当x>0时， . 函数值y随x增大而减小 函数值y随x增大而增大 例1 在同一个平面直角坐标系里，作出y=x2与y=2x2的图象. x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... y=x2 ... ... 解：两函数各自列表，然后描点作图： x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=2x2 ... ... 8 0 0.5 4.5 2 0.5 2 4.5 8 8 0 0.5 4.5 2 0.5 2 4.5 8 2 探究新知 y=x2 y=x2 y=2x2 思考 (1)把y=x2、y=2x2的图象与y=x2的图象放在一起比较，有哪些相同之处，又有哪些差别? 2 探究新知 y=x2 y=x2 y=2x2 2 探究新知 二次函数 y=ax2（a>0） 图象与性质 形状 开口朝向 开口宽窄 对称轴 顶点 最值 增减趋势 抛物线 向上 y轴 （0，0） x=0时，y有最小值0 当x<0时，函数值y随x增大而减小当x>0时，函数值y随x增大而增大 a的值越大，开口就越窄 3 类比研学 探究 前面研究y=ax2(a>0)的图象与性质，走的是一套流程，你能照着这套流程，去研究y=ax2(a<0)的图象与性质吗? 在同一坐标系内作出y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象， 看看这几条抛物线，相同的地方和不同的地方分别在哪里. 3 类比研学 二次函数 y=ax2（a<0） 图象与性质 形状 开口朝向 开口宽窄 对称轴 顶点 最值 增减趋势 抛物线 向下 y轴 （0，0） x=0时，y有最大值0 当x<0时，函数值y随x增大而增大当x>0时，函数值y随x增大而减小 a的绝对值越大，开口就越窄 y=−x2 y=x2 y=−2x2 3 类比研学 二次函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0） 图象与性质 形状 开口朝向 开口宽窄 对称轴 顶点 最值 增减趋势 抛物线 向下 y轴 （0，0） x=0时，y有最大值0 当x<0时，函数值y随x增大而增大当x>0时，函数值y随x增大而减小 a的绝对值越大，开口就越窄 抛物线 向上 y轴 （0，0） x=0时，y有最小值0 当x<0时，函数值y随x增大而减小当x>0时，函数值y随x增大而增大 a的值越大，开口就越窄 4 随堂训练 1. 在同一坐标系内，作出下面几个二次函数的图象: (1) y=3x2； (2) y=−3x2. y=x2 y=x2 4 随堂训练 2. 填表. 抛物线 开口朝向 对称轴 顶点 增减趋势 y=4x2 y=−4x2 y=x2 y=− x2 向上 向下 向上 向下 y轴 y轴 （0，0） y轴 y轴 （0，0） （0，0） （0，0） 当x<0时，y值随x增大而增大当x>0时，y值随x增大而减小 当x<0时，y值随x增大而减小当x>0时，y值随x增大而增大 当x<0时，y值随x增大而增大当x>0时，y值随x增大而减小 当x<0时，y值随x增大而减小当x>0时，y值随x增大而增大 4 随堂训练 3. (2024广东)已知点(0，y1)、(1，y2)、(2，y3)均落在二次函数y=x2的图象上，则（    ） A．y3>y2>y1 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y3>y1>y2 A 5 限时检测 1. 下列哪个点位于函数y=x2的图象上（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，2) D．(4，4) C 5 限时检测 2.抛物线 y = -2x2的图象大致是( ) A． B． C． D． A 3. 抛物线y=x2的顶点是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） C 5 限时检测 4. 嘉嘉用画图软件画y=2x2的图象时，将“2”按成了“−2”，与原来的图象相比，被改变的是（    ） A．开口宽窄 B．开口朝向 C．对称轴 D．顶点坐标 B 5 限时检测 5. 三个二次函数的图象如下图所示，则a1，a2，a3之间的大小关系为（   ） A．a1<a2<a3 B．a3<a1<a2 C．a1<a3<a2 D．a3<a2<a1 D 5 限时检测 6. 已知抛物线y=ax2(a≠0)上有两个不同的点A(m，8)、B(2，8)，则m的值为（    ） A．2 B．−2 C．8 D．−8 B 5 限时检测 6 本课小结 2.说一说研究二次函数图象与性质通常按什么路子走. 解析式 图象 性质 描点法 形状 位置 开口朝向 顶点 ··· 增减趋势 对称性 最值 ··· 1.回顾一下y=ax2的图象与性质. 6 本课小结 3.这节课里，你感受到了哪些数学思想方法？ 分类讨论 数学归纳 数形结合 类比迁移 7 作业安排 A B 习题26.2 第1题. 请参照今天走过的路子，自主拟定一份方案，用来探究y=ax2+k(a、k为常数，k≠0)的图象与性质. 函数 二次函数y=ax2+k(a、k是常数，k≠0) 图 象 与 性 质 $