26.2.1二次函数y=ax2+k的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.2 二次函数的图像和性质 y=ax²+k的图像和性质 温故知新 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图 象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 x y O y x O 向上 向下 (0 ,0) (0 ,0) y轴 y轴 当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。 当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。 抛物线y=ax2 (a≠0)的开口大小是由|a|来确定的,一般来, |a|越大,抛物线的开口就越小. 学习目标： 1.能够熟练画出y=ax²+k （a≠0）图象. 2.能够根据y=ax²+k（a≠0）图像总结出性质. 重难点： 重点：能够熟练画出y=ax²+k （a≠0）图象. 难点：能够根据y=ax²+k （a≠0）图像总结出性质. 探究新知 想一想 如何y=ax²+bx+c转化为类似y=ax²+k的简单形式? ax²+bx+c = 0 配方 (x-h)²=k 二次函数y=ax²+bx+c 类似方程配方 转化 y =a(x-h)²+k 探究新知 提取a 配方 整理化简 k≠0 探究新知 画出二次函数 y=x² , y=x2+1 ，y=x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. x … －2 －1 0 1 2 … y＝x2 … 4 1 0 1 4 … y＝x2＋1 … 5 2 1 2 5 … y＝x2－1 … 3 0 －1 0 3 … 4 1 0 1 4 5 2 1 2 5 3 0 －1 0 3 探究新知 （1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？ （2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？ 图象的形状 开口方向 对称轴 抛物线 向上 y轴 函数 y =x² y = x²+1 y = x²-1 顶点坐标 （0，0） （0，1） （0，－1） （3）有没有最值？最值分别是多少？增减性是否相同？ 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下分别为 、____、 ； 低 小 1 0 -1 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 探究新知 y1 = x² y2 = x²+1 二次项相同 +0 常数项不同 相同的自变量x对应的函数值相差1，即y2比y1多1 y 1= x² y 3= x²-1 二次项相同 +0 常数项不同 相同的自变量x对应的函数值相差1，即y3比y1少1 y2=x²+1、y3=x²-1与y1=x²函数图象形状相同，位置沿y轴上下平移 （4）y=x²+1、y=x²-1的图象可由y=x²的图象如何平移得到？ y=x²的图象 向上平移1个单位 y=x²+1的图像 向下平移1个单位 y=x²－1的图像 y=x²的图象 探究新知 观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = x2 y =x2＋1 y = x2－1 向上 向上 向上 y轴 y轴 y轴 (0,1) (0,-1) (0,0) 思考：(1)抛物线y＝x2向 平移 ⁠个单位长度可得到抛物线y＝x2＋1；向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝x2－1. (2)对于二次函数y＝x2＋1，当x＝ 时，y取最 ⁠值为 ． 上 1 下 1 0 小 1 探究新知 画出二次函数 y=-x² , y=-x2+1 ，y=-x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. x … －2 －1 0 1 2 … y＝－x2 … －4 －1 0 －1 －4 … y＝－x2＋1 … －3 0 1 0 －3 … y＝－x2－1 … －5 －2 －1 －2 －5 … －4 －1 0 －1 －4 －3 0 1 0 －3 －5 －2 －1 －2 －5 探究新知 （1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？ （2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？ 图象的形状 开口方向 对称轴 抛物线 向下 y轴 函数 y =x² y = x²+1 y = x²-1 顶点坐标 （0，0） （0，1） （0，－1） （3）有没有最值？最值分别是多少？增减性是否相同？ 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下分别为 、____、 ； 高 大 1 0 -1 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 探究新知 观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y =- x2 y =-x2＋1 y =- x2－1 向下 向下 向下 y轴 y轴 y轴 (0,1) (0,-1) (0,0) 思考：(1)抛物线y＝x2向 平移 ⁠个单位长度可得到抛物线y＝x2＋1；向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝x2－1. (2)对于二次函数y＝x2＋1，当x＝ 时，y取最 ⁠值为 ． 上 1 下 1 0 大 1 思考 抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？ y O x y = ax2 +k(k<0) y = ax2+k (k>0) y = ax2 k k a>0，开口向上 a<0，开口向下 y O x y = ax2 +k(k<0) y = ax2+k (k>0) y = ax2 (a<0) k k 当k>0时， 向上平移k个单位长度得到 当k<0时， 向下平移∣k∣个单位长度得到 上下平移规律：上加下减常数项 y=ax2 顶点(0, 0) y=ax2+k 顶点(0, k) 课堂小结 二次函数y=ax2+k的图象和性质 图象 1.开口方向由a的符号决定； 2. k决定顶点的位置； 3.对称轴是y轴. 性质 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 与y=ax2的关系 平移规律： k正向上； k负向下. 拓展 1、对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____. 2、已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____. 3、抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______. 2 -2 8 拓展 4、已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c. c 【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． $