26.1 二次函数的概念（第1课时）教学课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册_

人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念 学习目标 1 2 能由具体情境列出二次函数的表达式，感受这类函数的现实背景. 掌握二次函数的概念，认识它的一般形式. 目录 1 4 2 3 基础巩固 例题选讲 温故知新 问题探究 5 6 随堂小测 回顾反思 7 课后任务 1 温故知新 2.关于一次函数，前面我们已经研究了哪些内容？ 一次函数 1.函数是刻画变量之间依赖关系的数学模型，到现在为止我们认识了哪几类函数？ 一次函数与 方程、不等式 一次函数的 图象与性质 一次函数的 概念及其定义 正比例函数 特殊 一次函数与 实际应用 分析：矩形的一条边长x和面积y都是变量；对于x的每个定值，y都有唯一的值与之对应，即y是x的函数. 2 问题探究 引言问题 一根长为40 m的绳子恰好围出一个矩形，若矩形面积记为y(单位:m2)随一边长x(单位:m)而变化，y与x之间有怎样的关系? y x 依据矩形的面积公式，两者的关系可表示 示为 ， 即 . ① y=x(20−x) y=−x2+20x 20−x 它与我们学过的一次函数都不一样，是一类新的函数. 2 问题探究 问题1 n支队伍参赛，赛制为每两支队伍之间打1场.总共的比赛场次m与队伍数n之间有何关系? 分析：每支队伍要和其余(n−1)支各赛1场；而甲与乙交手、乙与甲交手算的是同一场，因此总场次 m= ， 即 . ② n(n−1) ②给出了场次数m随队伍数n变化的关系；m和n都是变量；对于n的每个定值，m都有唯一的值与之对应，故m是n的函数. m=n2− n 2 问题探究 问题2 某产品的现年产量为20 t，打算在两年内扩产.若每年都比前一年增产x倍，则两年后的产量y(单位：t)由x的取值决定，y与x之间应怎样表示? 分析：眼下的产量是20 t；一年后变为20(1+x) t；再过一年便是20(1+x)(1+x) t，于是两年后的产量y= ， 即 . ③ 20(1+x)2 y=20x2+40x+20 ③反映了两年后的产量y与年增产倍数x之间的关系；x和y均为变量；对于x的每个定值，y便随之唯一确定，所以y是x的函数. 2 问题探究 思考 函数①②③有哪些共同之处? 我们称下面这样的函数为二次函数：它的表达式能写成y=ax2+bx+c，并且a，b，c都是常数、a≠0.式中的x是自变量；a、b、c依次对应二次项系数、一次项系数与常数项. y=−x2+20x m=n2− n y=20x2+40x+20 三个函数的解析式都是关于自变量的二次式. 2 问题探究 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 y=−x2+20x m=n2− n y=20x2+40x+20 −1 20 0 0 20 40 20 填表 2 问题探究 二次函数y=ax2+bx+c 注意：(1)等号左侧是变量y，右侧是关于x的整式； （2）a，b，c是常数，并且a≠ 0； (3)右边最高次数必须是 2，一次项与常数项可以缺席， 唯独二次项不能缺席. 概念辨析 下面各函数中，哪些属于二次函数？说明理由（x是自变量） ① y=x2 ② y=3−x² ③ y= ④ y=ax2+bx+c ⑤y=x²+x³+25 ⑥ y=(x−3)²−x² y为x的二次函数 y是x的二次函数 y并不是x的二次函数 右边含分式 a有可能取0 y未必是x的二次函数 y并非x的二次函数 x的次数最高为3 y不是x的二次函数 化简后是y=−6x+9 2 问题探究 2 问题探究 方法归纳 1.要判断某函数是否属于二次函数，先把原式 之后的形式再作判断. 2.除上面的一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)以外，还存在着几种特殊形态： ， ， . 化简后 y=ax2 y=ax2+bx y=ax2+c 想一想 二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）之间是什么关系？ 2 问题探究 答：(1)等号一侧都是ax2＋bx＋c，且a ≠0； (2)当函数y= ax2＋bx＋c的值取0时，就得到方程ax2＋bx＋c=0. 3 例题选讲 例 (1)设圆柱的高与底面半径相等，请写出表面积S关于底面半径r的函数解析式. 解：(1)圆柱的表面积等于上下底面与侧面之和， 所以S=2πr2+2πr·r，即 S=4πr2. 3 例题选讲 例 (2)某产品当年销量为8万件，受同类新品冲击，随后两年销量逐年下滑，年均下降率为x.求两年后的年销量y(单位:万件)与x之间的函数解析式. 解：(2)一年后销量为8(1−x)万件；两年后为8(1−x)(1−x)万件，故y=8(1−x)2，也就是 y=8x2−16x+8. 3 例题选讲 中考演练（2025江苏淮安改编）某玩具店销售一款玩具，市场调查显示，日销量y（件）与单件售价x（元）成一次函数关系，几组对应值见下表： (1)求y关于x的函数表达式； 3 例题选讲 解：(1)∵日销量y（件）与售价x（元）成一次函数， ∴可设其表达式为y=kx+b(k≠0)， ∵x=25时，有y=15；而当x=28时，有y=12； ∴，解得， ∴y关于x的函数表达式是y=−x+40； 3 例题选讲 中考演练（2025江苏淮安改编）还是这款玩具的销售背景：日销量y（件）随售价x（元）按一次函数变化，表中给了部分对应值： (2)又设日销售额为w元，试求w与x的函数表达式． 解：(2)利用(1)的结论y=−x+40， ∴每天销售额w=xy=x(−x+40)=−x2+40x. 4 基础巩固 1. 把二次函数y=x(x−1)+3x化成一般形式，结果应为（    ） A．y=x2−x+3 B．y=x2−2x+3 C．y=x2−2x D．y=x2+2x D 4 基础巩固 2. 分别指出下列各二次函数中二次项、一次项与常数项各自的系数. 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 y=8x2−16x+8 y=x2 y=− x2+5x y=2(x−1)2−5 8 −16 8 0 1 5 0 2 −4 −3 0 y=2x2−4x−3 4 基础巩固 3. 下面各对变量之间，属于二次函数关系的是（    ） A．圆的周长C与半径r B．用一根10 m长的绳子围成矩形，其中一边长y与 相邻一边x的关系 C．正三角形中，面积S与边长a D．汽车匀速行驶时，路程s与时间t C 4 基础巩固 4. 如图，把矩形绿地的两条边都加长x m，扩建后的面积是y m2.请写出y与x的函数解析式. 解：按题意 y=(30+x)(20+x)， 化为一般形式得 y=x2+50x+600. 4 基础巩固 5. 请你自己设计一个问题，使两个变量之间恰好构成二次函数关系. 答：如图，正方体的棱长为x cm，表面积为y cm2， 此时y与x满足y=6x2， y为x的二次函数. （答案不唯一） 5 随堂小测 1. 分别写出下列函数关系式，并指出各是什么函数： (1)直角三角形两条直角边的和为20，设其中一条直角边长为x，面积为S，求S和x的函数关系式； (2)求圆的面积S关于半径x满足的关系式； (3)求正方形的面积y随边长x变化的关系式； (4)求圆的周长C随半径r变化的关系式． 5 随堂小测 解：(1)S=− x2+10x，S为x的二次函数； (2)S=πx2，S为x的二次函数； (3)y=x2，y是关于x的二次函数； (4)C=2πr，C为r的一次函数． 4 基础巩固 2. 某商品每件进价为a元，售价x元，日均可售(100−10x)件，则日利润y（元）与售价x（元）的函数关系式为（    ） A． y=(x−a)(100−10x) B． y=(x+a)(100−10x) C． y=(x−a)(10x−100) D． y=(x+a)(10x−100) A 4 基础巩固 3. 骑车出行要落实“一盔一带”的要求，这也是交管部门的反复提醒． 某品牌头盔的经销商统计：7月共售出1 500个，此后每个月的销量都比前一个月增长相同的百分率x，则9月的销量y关于x的函数解析式为（    ） A．y=1 500(1+x)2 B．y=1 500+(1−x)2 C．y=(1+x)2+1 500 D．y=x2+1 500 A 5 随堂小测 4. 二次函数y=x2−2x+3中，一次项系数为（        ） A．1 B．2 C．−2 D．5 C 5. 将y=(3−3x)(6+x)化为一般式，其常数项是_____． 18 6. 请写出一个二次项系数等于3的二次函数：________． y=3x2 （答案不唯一） 6 回顾反思 二次函数 概念 相关要素 图象 与性质 若一个函数的表达式可以整理成y=ax2+bx+c的形状（a，b，c为常数，a≠0），那么它就属于二次函数，这里的x是自变量. a，b，c依次是解析式中二次项、一次项与常数项各自的系数. 和方程的联系 生活应用 7 课后任务 A B 习题26.1：第1，2，3题. 习题26.1：第4题. $