26.1二次函数的概念 课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念 增长/降低率问题总结 增长(下降)率问题 增长率 问题 下降率问题 基数为 a, 平均增长/下降率为x. 第一次增长 第二次增长 第n次增长 第一次下降 第二次下降 第n次下降 a(1+x) a(1+x)2 a(1+x)n a(1－x) a(1－x)2 a(1－x)n a(1±x)n 学习目标 新知探究 　　问题 1　n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛．比赛的场次 数 m 与球队数 n 之间有什么关系？ 　　分析：每支球队与其他 ________ 支球队各比赛一场．由于甲队对乙 队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛， 所以比赛的场次数 _____________________， 即 　 ． …… n－1 m＝ n(n－1) 1 2 m＝ n2－ n 1 2 1 2 　　追问　关系式中有哪些变量？关系式 是函数吗？ m＝ n2－ n　　② 　　m 和 n 都是变量，而且对于 n 的每一个确定的值，m 都有唯一确定 的值与其对应，即 m 是 n 的函数． 　　解析式是用自变量的二次式表示的． 新知探究 1 2 1 2 m＝ n2－ n 1 2 1 2 问题情境 显然，矩形的一边长x和面积y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数． 问题1 用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y（单位：m²）会随矩形一边长（单位：m）的变化而变化，y与x之间有什么关系？ y=x（20－x） y=－x2+20x① 根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为______________,即________________. 问题情境 问题2 n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ 比赛的场次数______________,即________________. ②式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. m= n(n－1) m= n2－ n② 新知探究 　　问题 2　某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量．如 果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y（单 位：t）将由 x 的值确定，y 与 x 之间的关系应怎样表示？ 　　分析：这种产品的原产量为 20 t，一年后的产量是 ____________ t， 再经过一年后的产量是 _____________________ t，所以两年后的产量是 _________________， 20(1＋x) 20(1＋x)(1＋x) y＝20(1＋x)2 即 y＝20x2＋40x＋20． 　　追问　关系式中有哪些变量？y 与 x 之间的对应关系是函数关系吗？ y＝20x2＋40x＋20　　③ 　　y 和 x 都是变量，而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的 值与其对应，即 y 是 x 的函数． 　　解析式是用自变量的二次式表示的． 新知探究 问题情境 即两年后的产量为 ,即____________. 问题3某种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x的值确定,y与x之间的关系应怎样表示？ y=20（1+x）2 y=20x2+40x+20③ ③式表示了两年后的产量y与计划增产倍数x之间的关系,其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值, y都有唯一确定的值与其对应,即y是x的函数. 探索新知 思考：观察函数①②③，它们有什么共同点？ y=－x2+20x ① m= n2－ n ② y=20x2+40x+20 ③ （1）都有两个变量，两个变量的关系式是整式； （2）自变量的最高次数是2 与我们已学的正比例y=kx和一次函数y=kx+b有什么不同？ 正比例函数和一次函数的自变量最高次数是1； 　　思考　观察函数①②③，它们有什么共同点？ y＝－x2＋20x　　 ① m＝ n2－ n ② y＝20x2＋40x＋20 ③ 　　三个函数都是用自变量的二次式表示的． 新知探究 1 2 1 2 　　追问　类比一元一次方程的方法学习了一元二次方程的概念．观察 函数①②③，它们与一次函数有什么区别？这类函数叫作什么函数？ 　　y＝－x2＋20x　①　　m＝ n2－ n　②　　y＝20x2＋40x＋20　③ 　　一般地，形如 y＝kx＋b（k，b 是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数． 　　二次函数的概念　 　　一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c（a，b，c 是常数，a≠0）的函数，叫 作二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系 数、一次项系数和常数项． 新知探究 1 2 1 2 探索新知 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫作二次函数. 二次项系数 自变量 一次项系数 常数项 二次项系数a能否为0吗？为什么？b，c可以为0吗？ a=0,则函数不含二次项；b、c可以为0 针对训练 1. 下列函数中，一定是二次函数的是 . ② ④⑤ ⑥+c ②③ （含二次项，即二次项系数a≠0） 思考：你认为判断一个函数是二次函数的关键是什么？ 例题精讲 　　例　（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式． 　　（2）一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后 两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x．写出两年后产品的年销售 量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式． 例题精讲 　　例　（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式． 　　分析：本题是圆柱表面积与底面半径关系的几何问题，圆柱表面积 是其底面积与侧面积的和，其中圆柱的侧面是一个一边长为圆柱底面周 长，另一边长为圆柱的高的矩形． 　　解：（1）圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以 S＝2πr2＋ 2πr • r，即 S＝4πr2． 例题精讲 例1 完成表格. 二次函数 二次项系数a 一次项系数b 常数项c 3 -6 1 -1 0 3 0 0 1 -7 9 例题精讲 例2 (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x.写出两年后产品的年销售量y(单位：万件)关于x的函数解析式.  解：(1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以 S＝2πr2＋2πr·r，即S＝4πr2. (2)一年后产品的年销售量为8(1－x)万件，两年后的年销售量为8(1－x)(1－x)万件，所以         y＝8(1－x)2，即y＝8x2－16x＋8. 例题精讲 　　例　（2）一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现， 后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x．写出两年后产品的年销 售量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式． 　　分析：本题是销售量与平均变化率关系的生活问题，后一年的销售 量即是在前一年的基础上乘以（1－x），以此类推． 　　解：（2）一年后产品的年销售量为 8(1－x)万件，两年后的年销售 量为 8(1－x)(1－x)万件，所以 y＝8(1－x)2，即 y＝8x2－16x＋8． 　　追问 1　这两个函数都是二次函数吗？ 　　 S＝4πr2　　　　y＝8x2－16x＋8 　　两个函数都是用自变量的二次式表示的，满足二次函数的概念，因 此两个函数都是二次函数． 新知探究 巩固练习 1.（甘肃兰州中考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2-2t+1 D. C 21 巩固练习 2.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) y＝8x2－16x＋8；    (2) y＝x2； (3) y＝x2＋5x；     (4) y＝2(x－1)2－5.      二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 y＝8x2－16x＋8 y＝x2 y＝x2＋5x y＝2(x－1)2－5 8 -16 8 1 0 0 1 5 0 2 -4 -3 22 课堂练习 　　3. 提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来 表示． 　　解：答案不唯一．例如，一个直角三角形的两条直角边长之和为 10 cm，如果其中一条直角边的长为 x cm，求这个直角三角形的面积 y 关于 x 的函数解析式． 课堂小结 　　回顾本节课所学内容，请思考并回答下面的问题： 　　（1）本节课学习了二次函数的哪些知识？二次函数的特征是什么？ 　　（2）二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，b 和 c 可以为 0 吗？ 　　（3）本节课在探究的过程中如何通过类比一次函数得到二次函数的 概念？ 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 一级标题：黑体， 25 课堂小结 问题导入，列解析式 探索二次解析式共同点 总结二次函数概念 二次函数y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，a≠0） 二次函数的特征: ①函数解析式是整式； ②整理后自变量的最高次数为2； ③二次项系数不等于0. 26 谢谢大家聆听 $