26.2 二次函数的图象和性质（第2课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第26章　二次函数 26.2 二次函数的图象和性质（第2课时） 二次函数的图象和性质 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 同一个平方加不同常数 观察与分析 比较与，同一个横坐标下，后者纵坐标始终比前者大。 结论与应用 每一点都向上移动相同距离，整条曲线随之竖直平移。形状与开口方向没有改变，但最低点的位置发生变化。 -3 -2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O 情境引入 列表发现固定差值 观察与分析 取，的值为；加后为。 结论与应用 每一列的差都是，不是乘以。常数加在平方项外面，对所有点产生相同的纵向位移。 新知讲授 向上平移 观察与分析 把的图象向上平移个单位长度（），得到。 结论与应用 对应点变为，横坐标不变。平移描述中的正负方向，与坐标的增加或减少直接一致。 新知讲授 向下平移 观察与分析 当时，是将原抛物线向下平移个单位长度。例如，下移距离是。 结论与应用 距离本身为非负数。不要说“向下平移负三个单位”，应把方向与距离分别表达清楚。 新知讲授 对称轴保持为纵轴 观察与分析 中，与的平方相同，加同一个后仍相等，因此图象仍关于轴对称。 结论与应用 竖直平移没有改变左右对应的位置，对称轴仍为直线。顶点的横坐标也仍是。 新知讲授 顶点变为零与常数 观察与分析 当时，。由平方非负可知，时该点最低，时该点最高。 结论与应用 因此顶点是。不要把解析式末尾的常数写到横坐标位置；上下平移只改变顶点纵坐标。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O V 新知讲授 开口方向由首项系数决定 观察与分析 加减常数不会改变平方项系数，所以仍开口向上，仍开口向下。 结论与应用 例如虽然常数为正，开口仍向下。末尾常数的正负不能判断开口方向。 新知讲授 开口大小不随常数改变 观察与分析 与有相同的，图象形状完全相同，只相差竖直位置。 结论与应用 只有在首项系数相同的前提下，才能通过纯平移互相得到。若不同，单纯平移不能改变宽窄。 新知讲授 向上开口的最小值 观察与分析 当时，，所以。在时，最小值为。 结论与应用 这里最小值可以是负数，例如最小值为。“最小”表示相对所有函数值的比较，不等于非负。 新知讲授 向下开口的最大值 观察与分析 当时，，所以。在时，最大值为。 结论与应用 最大值也可以是负数。抛物线整体在横轴下方时，最高点仍是其顶点，只是纵坐标小于零。 -3 -2 -1 1 2 3 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 x y O 新知讲授 左右增减不受竖移影响 观察与分析 时仍是左侧减小、右侧增大；时则左侧增大、右侧减小。 结论与应用 给所有函数值加同一个数，不改变大小顺序，因此增减分界仍为零。这与对称轴位置不变相吻合。 新知讲授 从图象读出常数 观察与分析 已知函数形式为时，图象与纵轴的交点就是顶点，直接给出常数。 结论与应用 但只知道顶点还不能确定。还需另一个横坐标非零的点，才能确定图象的宽窄与开口。 新知讲授 由点确定竖直位置 观察与分析 若经过，代入，得，所以顶点是。 结论与应用 已知时，一个点就能确定。代入前明确点的横、纵坐标各对应哪个变量。 新知讲授 平移方向的逆向表达 观察与分析 向上平移个单位，得到。新常数是。 结论与应用 从一个已竖移的函数继续平移，只需把纵向位移相加，而不是每次都重新回到原点。 新知讲授 形状不同不能只作竖移 观察与分析 与虽有相同顶点，但不同，开口宽窄不同。 结论与应用 相同顶点、相同对称轴都不足以说明两图能平移重合。还应核对二次项系数完全一致。 新知讲授 解方程看横轴交点 观察与分析 对，当时。竖直下移可能使原来只有顶点接触横轴的图象出现两个交点。 结论与应用 本课可用已学方程计算交点，观察竖移如何改变位置；完整的函数与方程关系将在后面专门研究。 新知讲授 实际高度要看参考面 观察与分析 若某曲线写成，常数表示所选坐标系中中心点高度，不一定就是从任意地面起算的高度。 结论与应用 使用图象解决情境问题，应先说明横轴与纵轴的参考位置。数字的物理意义由建系方式确定。 新知讲授 用代数验证平移结论 观察与分析 若旧点满足，新点纵坐标记作，便有。 结论与应用 这说明竖移结论对曲线上每一个点都成立，而不只是列表里描出的几个点。图象观察与代数推导可以互相支持。 例题讲解 示例 在同一坐标系画出，指出开口、对称轴、顶点，并说明它们与的关系。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O 答：都开口向上，轴为；顶点，分别上移与下移。 分别在基础函数的每个纵坐标上加二或减二。 相同横坐标处两条曲线的纵坐标相差四。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 课堂练习 练习 在同一坐标系中画出下列函数图象，指出三条曲线的位置关系以及各自开口、对称轴、顶点和增减情况。 （1） （2） （3） -3 -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O （1） 答：开口向上；对称轴；顶点。 原曲线；递减，递增。 （2） 答：开口向上；对称轴；顶点。 原曲线上移；递减，递增。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 课堂练习 练习 在同一坐标系中画出下列函数图象，指出三条曲线的位置关系以及各自开口、对称轴、顶点和增减情况。 （1） （2） （3） -3 -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O （3） 答：开口向上；对称轴；顶点。 原曲线下移；递减，递增。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 例题讲解 示例 指出的开口方向、对称轴、顶点与增减情况。 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O 答：开口向上；对称轴，顶点；时随增大而减小，时随增大而增大。 把函数与比较，读出。 增减情况以对称轴为分界，按开口方向判断。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 例题讲解 示例 指出的开口方向、对称轴、顶点与增减情况。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y O 答：开口向下；对称轴，顶点；时随增大而增大，时随增大而减小。 把函数与比较，读出。 增减情况以对称轴为分界，按开口方向判断。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 例题讲解 示例 向上平移个单位后，求新解析式与顶点。 答：；顶点。 新常数。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 例题讲解 示例 经过，求及最大值。 答：，最大值。 ，得。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 例题讲解 示例 一个函数向下平移个单位后为，求原解析式。 答：。 原图在新图上方三单位，常数加三。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 例题讲解 示例 与怎样平移可重合？ 答：前者向下平移个单位。 同一横坐标下纵坐标差。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 例题讲解 示例 的最小值为，求以及时的值。 答：；。 正系数函数最小值就是。 。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 课堂总结 二次函数的图象和性质 平移 常数正上移，负下移 顶点 轴 仍是纵轴 极值 正系数取最小，负系数取最大 不变 形状、开口与增减分界 针对训练 训练 抛物线的顶点是（ ）。A.；B.；C.；D.。 答：选B。 图象由基础抛物线向上平移三单位，横坐标不变。 令得到，故顶点为。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 针对训练 训练 的顶点为，最大值为，在取得。 答：；；。 ，所以。 时等号成立，给出顶点与最大值。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明理由。 （1） 上下平移不改变抛物线的对称轴。 正确 横坐标不变，轴仍是原来的竖直直线。 （2） 的最小值为。 错误 开口向下，四是最大值。 （3） 的顶点为。 错误 顶点为，竖移改变纵坐标。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 针对训练 训练 下移单位，求解析式。 答：。 常数项由变成。 横坐标、首项系数均不变，顶点移至零、负四。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 针对训练 训练 经过，求。 答：。 代入，。 解得，顶点为。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 针对训练 训练 的最大值是什么？何时取得？ 答：最大值，在取得。 ，因此。 时等号成立，最大值七。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 针对训练 训练 ，比较时的函数值。 答：。 到轴的距离依次为，平方依次为。 正系数保持大小顺序，加同一常数负二不改变顺序。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 针对训练 训练 能仅靠上下平移得到吗？ 答：不能。 平移可以改变位置，但不会改变曲线宽窄。 二次项系数与不同，所以不能仅靠上下平移重合。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 针对训练 训练 展示板顶部为，曲线为，单位为米。把展示板整体提高，新曲线与最高点是什么？ 答：；最高点。 提高使所有纵坐标都增加零点五。 二次项系数与横坐标不变。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 针对训练 训练 水线模型，装置调高而水线形状不变，求新模型以及距中线处的高度。 答：；高度。 整体上移二单位，常数变为六。 时。 上下平移只改变常数项，横坐标与对称轴保持不变。 方法归纳 解题方法总结 用纵坐标变化理解平移 ① 上下移动只改变常数项。 ② 连续平移时把纵向位移相加。 从顶点读取性质 ① 顶点横坐标为零、纵坐标为常数。 ② 先看开口，再判断极值和左右增减。 $