精品解析：安徽省怀宁县高河中学2026-2027学年高二上学期第一次学情检测数学试题

2026年秋高河中学高二第一次学情检测数学试题 一、单选题（每小题5分） 1. 过点且与直线垂直的直线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设与直线垂直的直线方程为，把点代入可得，所以所求的直线方程为，故选A. 考点：两直线的垂直关系. 2. 如图，已知平行六面体，E，F分别是棱，的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 . 故选：C 3. 若点到直线：的距离为，则（ ） A. 1 B. C. 或9 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式列式计算即可. 【详解】由点到直线：的距离为，得， 所以或. 故选：D 4. 圆和圆的交点为A，B，则有（ ） A. 公共弦AB所在直线的方程为 B. 公共弦AB所在直线的方程为 C. 公共弦AB的长为 D. P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值不是 【答案】A 【解析】 【分析】AB选项，两圆方程相减得到公共弦AB所在直线的方程；C选项，求出圆心到的距离，进而由垂径定理求出公共弦AB的长；D选项，P到直线AB距离的最大值为圆心到AB距离加上圆的半径，求出答案. 【详解】AB选项，两圆方程相减得到，即， 故公共弦AB所在直线的方程为，A正确，B错误； C选项，的圆心为，半径为1， 则圆心到的距离为， 故有垂径定理得公共弦AB的长为，C错误； D选项，P为圆上一动点， 则P到直线AB距离的最大值为圆心到AB距离加上圆的半径， 即，故D错误. 故选：A 5. 已知F为椭圆的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且垂直于x轴．若直线AB的斜率为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意表示出点的坐标，再由直线AB的斜率为，列方程可求出椭圆的离心率 【详解】由题意得，， 当时，，得， 由题意可得点在第一象限，所以， 因为直线AB的斜率为， 所以，化简得， 所以，， 得（舍去），或， 所以离心率， 故选：D 6. 已知二面角的平面角为，，若，则长为（  ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将分解为已知向量的和，通过计算向量模长的平方，结合向量数量积的性质与二面角的平面角条件，最终求出的长度. 【详解】由题意，可得，向量、所成角为，如图所示， 则， 所以 ， 所以，即长为2. 7. 已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】过圆心作，由已知求得，再求出圆心到直线的距离，求得的最小值，再由求解. 【详解】由圆，圆心，半径为2， 如图，过圆心作，垂足为，连接，由， 可得， 由，当共线时取等号， 又是的中点，所以此时， 所以， 则此时，即的最小值为2. 故选：C. 8. 已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，记，利用二倍角公式求得，根据构造齐次式即可求解. 【详解】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值， 要使椭圆上总存在点，使得， 只需满足，且， 记，则有，且， 所以，解得（舍去）或， 所以，即， 整理得，所以，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据椭圆上的动点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，从而得解. 二、多选题（每小题6分） 9. 在两坐标轴上截距相等，且与点的距离为的直线方程可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据截距相等设直线方程，利用点到直线的距离为列式可求得结果. 【详解】①当直线在两坐标轴上的截距相等且为时，即直线过原点， 由题意可设直线的方程为，即， 又点到直线的距离为，即， 整理得，解得或， 所以所求直线方程为或； ②当直线在两坐标轴上的截距相等且不为时，即直线的斜率为， 由题意可设直线的方程为， 又点到直线的距离为，即， 整理得，解得或， 所以所求直线方程为或； 综上所述，所求直线方程为或或或， 所以ABC正确. 10. 已知左、右焦点分别为，的椭圆上有一动点（异于长轴端点，），则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 射线与椭圆交于点，则的最小值为 C. 椭圆上存在4个不同的点，使得为直角三角形 D. 直线，的斜率之积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆的性质计算判断AB，根据直角顶点的位置分类讨论可判断C，结合直线的斜率公式计算可判断D. 【详解】对于A，椭圆，， 根据椭圆的性质，的取值范围为， 点异于长轴端点，，所以的取值范围为，A正确. 对于B，根据焦点弦中通径最短可得，的最小值为，B错误. 对于C，当轴时，，此时为直角. 当轴时，，此时为直角. 当，即时，设，由， ，， 因为，无解， 综上可知，椭圆上存在4个不同的点，使得为直角三角形，C正确. 对于D，设，，D错误. 故选：AC. 11. 如图1，《卢卡•帕乔利肖像》是意大利画师的作品.图1中左上方悬着的是一个水晶多面体，其表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该水晶多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上，如图2.若，则（ ） A. B. 该水晶多面体外接球的表面积为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据该水晶多面体的对称性、正方体的性质，以及立体几何中的向量方法判断各选项. 【详解】该水晶多面体的俯视图如图1所示， 对于A，，故A错误； 对于B，建立如图2所示的空间直角坐标系，则. 记该水晶多面体外接球的半径为，球心，则，故该水晶多面体外接球的表面积为，故B正确. 对于C，因为，，平面， 所以平面平面. 根据正方体的对称性易得平面的一个法向量为，即为平面的一个法向量.， 故直线与平面所成角的正弦值为，故C正确. 对于D，点到平面的距离为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（每小题5分） 12. 一条沿直线传播的光线经过点和，然后被轴反射，则反射光线所在直线的方程是______________ 【答案】 【解析】 【详解】因为一条沿直线传播的光线经过点和， 所以入射光线所在的直线方程的斜率为， 所以入射光线所在的直线方程为，即， 由题意可知入射光线所在的直线与反射光线所在的直线关于轴对称， 所以反射光线所在的直线方程为 13. 设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于____________________ 【答案】或. 【解析】 【分析】分椭圆焦点在轴、轴两种情况，结合焦距得半焦距，利用椭圆中的关系列方程求解. 【详解】焦点在轴时：此时，椭圆中满足. 已知焦距为，即，得. 可得. 焦点在轴时：此时，椭圆中满足. 可得，解得. 综上，的值为或. 14. 在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则面积的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求得点到直线距离的最小值，进而得到面积的最小值． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由于正方体的棱长为2，故， 由为线段上的动点，可设， 又，得，所以点的坐标为， 的面积可表示为，其中为定值，为点到直线的距离， 因此的面积最小等价于最小， 因为， ，， 所以，， ， ， 所以， 因为，所以， 所以． 四、解答题 15. 已知圆C的圆心在直线x+y﹣2＝0上，且经过点A（4，0），B（2，2）． （1）求圆C的方程； （2）若直线l过点P（3，4）与圆交于M，N两点，且弦长，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）x﹣3＝0或15x﹣8y﹣13＝0 【解析】 【分析】（1）求得圆心和半径，由此求得圆的方程. （2）根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，结合弦长来求得直线的方程. 【小问1详解】 由题意可得：，AB中点坐标为M（3，1），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣1＝x﹣3， 与直线x+y﹣2＝0联立可得两直线的交点坐标为（2，0），即所求圆的圆心坐标为（2，0），圆的半径r＝4﹣2＝2， 圆的方程为：． 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为d，则，解得d＝1，很明显直线斜率不存在时，直线x﹣3＝0满足题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为：y﹣4＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+4＝0， 从而有：，解得，则直线方程为，即15x﹣8y﹣13＝0， 综上可得，直线方程为x﹣3＝0或15x﹣8y﹣13＝0． 16. 平面直角坐标系中，点，，，点的轨迹为． （1）求的方程 （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以此曲线是椭圆，有，即， 由题，，知椭圆的焦点在轴上，有， 设它的标准方程为，即. 所以， 因此曲线的方程为. 【小问2详解】 设，， 因为， 又因为，由勾股定理得， 将两边平方，得，代入，解得，即， 所以的面积. 17. 如图，直三棱柱的所有棱长都是2，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明：如图所示，取的中点，连接， 由直三棱柱的所有棱长都是2，是中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 由分别为的中点，可得，可得两两垂直. 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，， ，，，， 又，平面，平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得，证得，，即可求解； （2）利用空间向量的方法求线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得平面，则，即为平面的一个法向量，又由， 设直线与平面所成的角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 我们知道：当是圆O：上一点，则圆O的过点的切线方程为；当是圆O：外一点，过作圆O的两条切线，切点分别为，则方程表示直线AB的方程，即切点弦所在直线方程.请利用上述结论解决以下问题：已知圆C的圆心在x轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆C的两条切线，切点分别为. （1）求圆C的方程； （2）当时，求线段AB的长； （3）当点在直线上运动时，求线段AB长度的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）4. 【解析】 【分析】(1)根据圆的圆心和半径设圆的标准方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径即可求出a； (2)根据题意写出AB的方程，根据垂径定理即可求出弦长； (3)根据题意求出AB经过的定点Q，当CQ垂直于AB时，AB最短. 【小问1详解】 由题，设圆C的标准方程为， 则，解得. 故圆C方程为； 【小问2详解】 根据题意可知，直线的方程为，即， 圆心C到直线的距离为， 故弦长； 【小问3详解】 设，则，又直线方程为：， 故直线过定点Q， 设圆心C到直线的距离为，则， 故当最大时，最短，而，故与垂直时最大，此时，， ∴线段长度的最小值4. 19. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1）如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明； （2）利用等体积转化由体积比确定点的位置，通过勾股定理证线线垂直，推证线面垂直，进而证面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，设出动点坐标，求解平面法向量，得到二面角的余弦表达式，结合三角函数有界性求出二面角余弦的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋高河中学高二第一次学情检测数学试题 一、单选题（每小题5分） 1. 过点且与直线垂直的直线方程为 A. B. C. D. 2. 如图，已知平行六面体，E，F分别是棱，的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 3. 若点到直线：的距离为，则（ ） A. 1 B. C. 或9 D. 1或 4. 圆和圆的交点为A，B，则有（ ） A. 公共弦AB所在直线的方程为 B. 公共弦AB所在直线的方程为 C. 公共弦AB的长为 D. P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值不是 5. 已知F为椭圆的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且垂直于x轴．若直线AB的斜率为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二面角的平面角为，，若，则长为（  ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分） 9. 在两坐标轴上截距相等，且与点的距离为的直线方程可以是（   ） A. B. C. D. 10. 已知左、右焦点分别为，的椭圆上有一动点（异于长轴端点，），则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 射线与椭圆交于点，则的最小值为 C. 椭圆上存在4个不同的点，使得为直角三角形 D. 直线，的斜率之积为 11. 如图1，《卢卡•帕乔利肖像》是意大利画师的作品.图1中左上方悬着的是一个水晶多面体，其表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该水晶多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上，如图2.若，则（ ） A. B. 该水晶多面体外接球的表面积为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题（每小题5分） 12. 一条沿直线传播的光线经过点和，然后被轴反射，则反射光线所在直线的方程是______________ 13. 设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于____________________ 14. 在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则面积的最小值为________. 四、解答题 15. 已知圆C的圆心在直线x+y﹣2＝0上，且经过点A（4，0），B（2，2）． （1）求圆C的方程； （2）若直线l过点P（3，4）与圆交于M，N两点，且弦长，求直线l的方程． 16. 平面直角坐标系中，点，，，点的轨迹为． （1）求的方程 （2）若，求的面积． 17. 如图，直三棱柱的所有棱长都是2，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 18. 我们知道：当是圆O：上一点，则圆O的过点的切线方程为；当是圆O：外一点，过作圆O的两条切线，切点分别为，则方程表示直线AB的方程，即切点弦所在直线方程.请利用上述结论解决以下问题：已知圆C的圆心在x轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆C的两条切线，切点分别为. （1）求圆C的方程； （2）当时，求线段AB的长； （3）当点在直线上运动时，求线段AB长度的最小值. 19. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $