勾股定理与逆定理的应用专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册

勾股定理与逆定理的应用 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 复习导航 本专题复习勾股定理与逆定理的基本应用。先认清直角和边的角色，再选择求边、分类或判定；遇到多个直角三角形，注意公共边与点的位置关系。 已知条件 主要知识路径 已知直角和边长 找斜边 → 列平方关系 → 取正值 边的角色或点的位置未确定 分类讨论 → 分别求解 → 检查原条件 已知比例、周长或边长和差 用同一未知数表示 → 勾股关系 → 回验 已知三边或三边关系 找最长边 → 逆定理 → 确定直角顶点 图中有多个三角形 先判直角或找公共边 → 联用等式 内容目录 一、利用勾股定理求边长 2 二、求边长中的分类讨论 3 三、结合比例、周长与边长关系求边 4 四、利用逆定理判断直角三角形 5 五、勾股定理与逆定理的联合应用 6 六、多个直角三角形中的公共边 7 A组 基础巩固 9 B组 方法运用 10 C组 综合提升 12 D组 中考真题 14 一、利用勾股定理求边长 勾股定理的使用前提是直角三角形。若两条直角边长为斜边长为则斜边是直角的对边，它比任意一条直角边都长。斜边不是图中画得最斜的边，也不一定用字母表示。 求斜边，先求两条直角边的平方和；求直角边，先用斜边的平方减去另一条直角边的平方。得到边长的平方后，根据边长为正取算术平方根。 若题目只求一条边的平方，或已经给出两条直角边的平方和，不必把每条边都先求出来。图形看起来像直角，不能代替题目给出的条件或证明。 如：则若已知则 例1、如图，在中，求的长。 变式1.1、在中，则________。 变式1.2、如图，在中，求的长。 变式1.3、一个直角三角形两条直角边长的平方和为它的斜边长为（ ）。 A．10 B．11 C．12 D．121 二、求边长中的分类讨论 已知直角三角形的两边长而没有说明它们的角色时，要分别考虑：两个已知边都是直角边，或较长的已知边是斜边。较短的已知边不可能作斜边。 若题目已经给出三边长，则先找最长边检查，不需要再假设每条边都能作斜边。 等腰三角形中，未说明是哪一边的已知长度，可能是腰长，也可能是底边长。只有明确是等腰直角三角形时，两条相等的腰才是直角边。每种情况求完后，都要按原条件检查；边长为或不满足题目限制的结果不能保留。 如：直角三角形的两边长为和第三边长可以为也可以为两种结果对应不同的斜边，不能只写熟悉的 例2、一个直角三角形的两边长分别为和求第三边的长。 变式2.1、在直角三角形中，求的长，并写出对应的直角顶点。 变式2.2、一个等腰直角三角形的一条边长为求这个三角形的三边长。 变式2.3、一个直角三角形的两边长分别为和且周长大于则第三边长为________。 三、结合比例、周长与边长关系求边 给出两边的比时，可用同一个正数倍数表示这两边，但必须先看清比例对应的是两条直角边，还是直角边与斜边。例如比为可设对应边长为其中 给出周长时，应把三条边都列入等式。若已知一条直角边，可先用周长减去这条边，得到另一条直角边与斜边的和。给出两边的和或差时，也可用同一个未知数表示。 代入勾股关系后，两边相同的平方项常能相消。例如另一条直角边为斜边为已知直角边为则可化成 当已知两条直角边的差以及它们的平方和时，还可利用求两边的和。因为所以这个关系成立。反过来，已知两条直角边的和与它们的平方和时，可用求两边的差。求得和与差后，再分别求两边。 如：两条直角边为时，斜边长的平方为 因为所以斜边长为周长为 例3、一个直角三角形两条直角边的长之比为周长为求三边的长。 变式3.1、一个直角三角形的斜边与一条直角边的长之比为另一条直角边长为求三边的长。 变式3.2、一个直角三角形两条直角边的长之比为斜边长为 则两条直角边长分别为________。 变式3.3、一个直角三角形的一条直角边长为斜边比另一条直角边长 求另外两边的长。 四、利用逆定理判断直角三角形 勾股定理由“直角”推出“三边的平方关系”；逆定理由“三边的平方关系”推出“直角”。如果三角形的三边长为且那么这个三角形是直角三角形，边所对的角是直角。 判断时先找最长边，再比较它的平方与另两边的平方和。题目要求判断直角位置时，还要指出对应顶点。若给出的关系不是平方和形式，可以先整理等式。 题目说“某三角形的三边”时，已经保证能组成三角形；若只给几根木条或一组数，应先检查能否组成三角形。勾股数必须是满足勾股关系的三个正整数。满足关系的小数、分数或无理数可以作直角三角形的三边长，但不是勾股数。 如：因为所以而虽满足平方关系，却不是勾股数。 例4、给出下列三组数：① ② ③ （1）能作为直角三角形三边长的是________；是勾股数的是________。（填序号，若没有符合条件的数，填“无”） （2）若的三边依次取第②组中的三个数，则________。 变式4.1、的三边满足判断是否为直角三角形；若是，指出直角顶点。 变式4.2、在中，的对边长分别为若则直角是（ ）。 A． B． C． D．无法确定 变式4.3、有四根长度分别为的木条，从中任选三根作为三边组成三角形。求能组成直角三角形的三根木条的长度。 五、勾股定理与逆定理的联合应用 一个图中没有直接给出所需的直角时，可以先检查某个三角形的三边是否满足逆定理。得到直角后，再结合共线等已知关系，确认另一个三角形也有直角，才能继续列勾股关系。 也有题目需要先在已知的直角三角形中求出一条公共线段，再用这条线段与另一三角形的两边验证直角。每一步应写明使用的是哪个三角形，以及它的直角依据。 求出直角的位置后，要回到题目的所求：求长度就继续计算，证明垂直就明确写出两条线，证明中点还须得到相等的两段。 如：在线段内部，若则又因为共线，所以也为直角。 例5、如图，是线段内部一点，求的长。 变式5.1、如图，在四边形中，求证： 变式5.2、如图，点在的延长线上，求的长。 变式5.3、如图，在中，是线段内部一点， 求证：且是的中点。 六、多个直角三角形中的公共边 在已有的多个直角三角形中，先分别找出直角和斜边，再列等式。同一条公共边，在一个三角形中可能是斜边，在另一个三角形中可能是直角边，必须重新判断。 能先求公共边时，可连续使用勾股定理；公共边未知时，若两个式子都含有它的平方，可以相减或代入消去。有时只需求两边的平方差，并不需要求出公共边。 题目给出边上的点或延长线上的点时，还要按实际点序写出线段的和差。不能仅因题图相似，就照搬上题的加减关系。 如：在线段内部，则两式相减，得 例6、如图，是线段内部一点，求的长。 变式6.1、如图，是线段内部一点， 则________。 变式6.2、如图，在四边形中，求的长。 变式6.3、如图，求的长。 A组 基础巩固 1、在中，下列等式正确的是（ ）。 A． B． C． D． 2、在中，则________。 3、一个直角三角形两条直角边的长分别为和则斜边长为________。 4、下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）。 A．1.5，2，2.5 B．9，12，15 C．3，4，6 D． 5、一个直角三角形的两边长分别为和则第三边长为________。 6、一个直角三角形两条直角边的长之比为斜边长为求两条直角边的长。 7、在中，的对边长分别为若 则________。 8、如图，是线段内部一点，求的长。 B组 方法运用 1、一个直角三角形两条直角边的长之比为面积为求三边的长。 2、一个直角三角形的周长为一条直角边长为求另外两边的长。 3、在直角三角形中，且求的长。 4、一个直角三角形的一边长为另外两边长之比为 则这个三角形斜边长的平方为（ ）。 A．16 B．25 C．16或25 D．16或34 5、一个直角三角形两条直角边长的和为斜边长为 则较长的直角边比较短的直角边长（ ）。 A．2 B．4 C．6 D．8 6、如图，在四边形中， 则________。 7、如图，的三边满足点在线段内部，求和的长。 8、有五根长度分别为的木条，用它们拼成两个共用一根木条的直角三角形。两个三角形位于公共木条两侧且不重叠，五根木条都要用到。求公共木条的长度及拼成图形的周长。 C组 综合提升 1、一个等腰三角形的一边长为三边长的平方和为求这个三角形的三边长，并判断它是否为直角三角形。 2、如图，四边形的对角线相交于点点在线段内部，且已知 （1）求的长； （2）求证： 3、如图，和都是直角三角形，点在直线的两侧，求的长，并分别指出两个三角形的直角顶点。 4、如图，是线段内部一点，比长求和的长。 5、如图，在中，是线段内部一点，点在直线上，且求的长。 6、一个直角三角形的一边长为另外两边的长度相差求这个三角形的三边长。 D组 中考真题 1、（2025年江苏连云港中考第12题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为则梯子顶端的高度为________ 2、（2026年河南中考第5题）如图，与关于直线对称，则的长为（ ）。 A．6 B．8 C．10 D．12 3、（2025年湖南中考第24题（1）节选）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点分米，在点之间的晾衣绳上有固定挂钩分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线 当该连衣裙下端点刚好接触地面水平线时，点到直线的距离等于分米，其中在线段内部，求该连衣裙的长度。 4、（2026年四川达州中考第22题任务一节选）某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地如图，小路（忽略小路宽度）把空地分为两个区域：Ⅰ区域（和Ⅱ区域（ 用测量工具测得：米，米，米，米，求四边形空地的面积。 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理与逆定理的应用 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 教师详解版 复习导航 本专题复习勾股定理与逆定理的基本应用。先认清直角和边的角色，再选择求边、分类或判定；遇到多个直角三角形，注意公共边与点的位置关系。 已知条件 主要知识路径 已知直角和边长 找斜边 → 列平方关系 → 取正值 边的角色或点的位置未确定 分类讨论 → 分别求解 → 检查原条件 已知比例、周长或边长和差 用同一未知数表示 → 勾股关系 → 回验 已知三边或三边关系 找最长边 → 逆定理 → 确定直角顶点 图中有多个三角形 先判直角或找公共边 → 联用等式 内容目录 一、利用勾股定理求边长 2 二、求边长中的分类讨论 3 三、结合比例、周长与边长关系求边 4 四、利用逆定理判断直角三角形 5 五、勾股定理与逆定理的联合应用 6 六、多个直角三角形中的公共边 8 A组 基础巩固 9 B组 方法运用 11 C组 综合提升 13 D组 中考真题 16 一、利用勾股定理求边长 勾股定理的使用前提是直角三角形。若两条直角边长为斜边长为则斜边是直角的对边，它比任意一条直角边都长。斜边不是图中画得最斜的边，也不一定用字母表示。 求斜边，先求两条直角边的平方和；求直角边，先用斜边的平方减去另一条直角边的平方。得到边长的平方后，根据边长为正取算术平方根。 若题目只求一条边的平方，或已经给出两条直角边的平方和，不必把每条边都先求出来。图形看起来像直角，不能代替题目给出的条件或证明。 如：则若已知则 例1、如图，在中，求的长。 【解析】是斜边，由勾股定理，得 因为所以 变式1.1、在中，则________。 【解析】是斜边，所以 变式1.2、如图，在中，求的长。 【解析】 因为所以 变式1.3、一个直角三角形两条直角边长的平方和为它的斜边长为（ ）。 A．10 B．11 C．12 D．121 【解析】由勾股定理，斜边长的平方为所以斜边长为选B。 二、求边长中的分类讨论 已知直角三角形的两边长而没有说明它们的角色时，要分别考虑：两个已知边都是直角边，或较长的已知边是斜边。较短的已知边不可能作斜边。 若题目已经给出三边长，则先找最长边检查，不需要再假设每条边都能作斜边。 等腰三角形中，未说明是哪一边的已知长度，可能是腰长，也可能是底边长。只有明确是等腰直角三角形时，两条相等的腰才是直角边。每种情况求完后，都要按原条件检查；边长为或不满足题目限制的结果不能保留。 如：直角三角形的两边长为和第三边长可以为也可以为两种结果对应不同的斜边，不能只写熟悉的 例2、一个直角三角形的两边长分别为和求第三边的长。 【解析】设第三边长为当和都是直角边长时，所以 当是斜边长时，所以 长为的边小于长为的边，不能作斜边。综上，第三边长为或 变式2.1、在直角三角形中，求的长，并写出对应的直角顶点。 【解析】因为所以不能是斜边。 若是斜边，则直角顶点是 若是斜边，则直角顶点是 所以时直角顶点为时直角顶点为 变式2.2、一个等腰直角三角形的一条边长为求这个三角形的三边长。 【解析】若长为的边是直角边，则两条直角边均为斜边长的平方为斜边长为 若长为的边是斜边，设直角边长为则由得 所以三边长为或 变式2.3、一个直角三角形的两边长分别为和且周长大于则第三边长为________。 【解析】若第三边长为周长为不符合题意。 若第三边长为因为周长大于符合题意。因此第三边长为 三、结合比例、周长与边长关系求边 给出两边的比时，可用同一个正数倍数表示这两边，但必须先看清比例对应的是两条直角边，还是直角边与斜边。例如比为可设对应边长为其中 给出周长时，应把三条边都列入等式。若已知一条直角边，可先用周长减去这条边，得到另一条直角边与斜边的和。给出两边的和或差时，也可用同一个未知数表示。 代入勾股关系后，两边相同的平方项常能相消。例如另一条直角边为斜边为已知直角边为则可化成 当已知两条直角边的差以及它们的平方和时，还可利用求两边的和。因为所以这个关系成立。反过来，已知两条直角边的和与它们的平方和时，可用求两边的差。求得和与差后，再分别求两边。 如：两条直角边为时，斜边长的平方为 因为所以斜边长为周长为 例3、一个直角三角形两条直角边的长之比为周长为求三边的长。 【解析】设两条直角边长分别为其中由勾股定理，斜边长的平方为所以斜边长为 由周长，得解得 所以三边长分别为 变式3.1、一个直角三角形的斜边与一条直角边的长之比为另一条直角边长为求三边的长。 【解析】设斜边长为所给比例中的直角边长为其中 由勾股定理，得化简得所以 三边长为 变式3.2、一个直角三角形两条直角边的长之比为斜边长为 则两条直角边长分别为________。 【解析】设两条直角边长为其中由得所以两条直角边长为 变式3.3、一个直角三角形的一条直角边长为斜边比另一条直角边长 求另外两边的长。 【解析】设另一条直角边长为则斜边长为 由勾股定理，得化简得所以 斜边长为回验：且符合题意。 四、利用逆定理判断直角三角形 勾股定理由“直角”推出“三边的平方关系”；逆定理由“三边的平方关系”推出“直角”。如果三角形的三边长为且那么这个三角形是直角三角形，边所对的角是直角。 判断时先找最长边，再比较它的平方与另两边的平方和。题目要求判断直角位置时，还要指出对应顶点。若给出的关系不是平方和形式，可以先整理等式。 题目说“某三角形的三边”时，已经保证能组成三角形；若只给几根木条或一组数，应先检查能否组成三角形。勾股数必须是满足勾股关系的三个正整数。满足关系的小数、分数或无理数可以作直角三角形的三边长，但不是勾股数。 如：因为所以而虽满足平方关系，却不是勾股数。 例4、给出下列三组数：① ② ③ （1）能作为直角三角形三边长的是________；是勾股数的是________。（填序号，若没有符合条件的数，填“无”） （2）若的三边依次取第②组中的三个数，则________。 【解析】①中，能作为直角三角形三边长，但不是三个正整数，因此不是勾股数。 ②中，能作为直角三角形三边长，也不是勾股数。 ③中，不能作为直角三角形三边长。故（1）依次填①②、无。 第②组中，所以 变式4.1、的三边满足判断是否为直角三角形；若是，指出直角顶点。 【解析】设其中 因为所以是直角三角形，直角顶点为 变式4.2、在中，的对边长分别为若则直角是（ ）。 A． B． C． D．无法确定 【解析】由得所以边所对的为直角，选A。 变式4.3、有四根长度分别为的木条，从中任选三根作为三边组成三角形。求能组成直角三角形的三根木条的长度。 【解析】选或时，两根较短木条长度之和小于第三根长度，不能组成三角形。 选时，虽然能组成三角形，但不是直角三角形。 选时，能组成直角三角形。所以应选长度为的木条。 五、勾股定理与逆定理的联合应用 一个图中没有直接给出所需的直角时，可以先检查某个三角形的三边是否满足逆定理。得到直角后，再结合共线等已知关系，确认另一个三角形也有直角，才能继续列勾股关系。 也有题目需要先在已知的直角三角形中求出一条公共线段，再用这条线段与另一三角形的两边验证直角。每一步应写明使用的是哪个三角形，以及它的直角依据。 求出直角的位置后，要回到题目的所求：求长度就继续计算，证明垂直就明确写出两条线，证明中点还须得到相等的两段。 如：在线段内部，若则又因为共线，所以也为直角。 例5、如图，是线段内部一点，求的长。 【解析】在中，由勾股定理的逆定理，得 因为共线，所以 在中，所以 变式5.1、如图，在四边形中，求证： 【解析】连接在中，所以 在中，所以即 变式5.2、如图，点在的延长线上，求的长。 【解析】在中，所以 因为依次在同一直线上，所以且 所以 变式5.3、如图，在中，是线段内部一点， 求证：且是的中点。 【解析】因为所以又共线，所以 在中，所以 于是所以是的中点。 六、多个直角三角形中的公共边 在已有的多个直角三角形中，先分别找出直角和斜边，再列等式。同一条公共边，在一个三角形中可能是斜边，在另一个三角形中可能是直角边，必须重新判断。 能先求公共边时，可连续使用勾股定理；公共边未知时，若两个式子都含有它的平方，可以相减或代入消去。有时只需求两边的平方差，并不需要求出公共边。 题目给出边上的点或延长线上的点时，还要按实际点序写出线段的和差。不能仅因题图相似，就照搬上题的加减关系。 如：在线段内部，则两式相减，得 例6、如图，是线段内部一点，求的长。 【解析】在中， 在中，所以 因此 变式6.1、如图，是线段内部一点， 则________。 【解析】由勾股定理，得 两式相减，得 变式6.2、如图，在四边形中，求的长。 【解析】连接在中， 在中，所以 变式6.3、如图，求的长。 【解析】在中， 在中，所以 A组 基础巩固 1、在中，下列等式正确的是（ ）。 A． B． C． D． 【解析】是斜边，所以选C。 2、在中，则________。 【解析】所以 3、一个直角三角形两条直角边的长分别为和则斜边长为________。 【解析】斜边长的平方为所以斜边长为 4、下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）。 A．1.5，2，2.5 B．9，12，15 C．3，4，6 D． 【解析】B中三个数都是正整数，且A、D不全是正整数，C不满足勾股关系，选B。 5、一个直角三角形的两边长分别为和则第三边长为________。 【解析】若为斜边，则第三边长的平方为第三边长为 若和为两条直角边，则第三边长的平方为第三边长为 故填或 6、一个直角三角形两条直角边的长之比为斜边长为求两条直角边的长。 【解析】设两条直角边长为其中则即得 所以两条直角边长为 7、在中，的对边长分别为若 则________。 【解析】展开并整理，得即所以 8、如图，是线段内部一点，求的长。 【解析】 所以 B组 方法运用 1、一个直角三角形两条直角边的长之比为面积为求三边的长。 【解析】设两条直角边长为其中由面积，得所以 两条直角边长为斜边长的平方为所以斜边长为 2、一个直角三角形的周长为一条直角边长为求另外两边的长。 【解析】设另一条直角边长为则斜边长为 由勾股定理，得化简得所以斜边长为 回验：且符合题意。 3、在直角三角形中，且求的长。 【解析】因为所以不可能是斜边，即不是直角。题目又给出所以 因此所以 4、一个直角三角形的一边长为另外两边长之比为 则这个三角形斜边长的平方为（ ）。 A．16 B．25 C．16或25 D．16或34 【解析】若长为的边是斜边，则斜边长的平方为此时可设两直角边长为由可得正的这一情况成立。 若长为的边是直角边，另两边中较长的边是斜边。设另一直角边长为斜边长为则得所以斜边长的平方为 综上，斜边长的平方为或选C。 5、一个直角三角形两条直角边长的和为斜边长为 则较长的直角边比较短的直角边长（ ）。 A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】设两条直角边长分别为其中由题意，由勾股定理，得 所以因为所以选A。 6、如图，在四边形中， 则________。 【解析】连接由勾股定理，得 所以 7、如图，的三边满足点在线段内部，求和的长。 【解析】设其中因为所以 又在线段上，所以由得 于是所以 8、有五根长度分别为的木条，用它们拼成两个共用一根木条的直角三角形。两个三角形位于公共木条两侧且不重叠，五根木条都要用到。求公共木条的长度及拼成图形的周长。 【解析】这些木条中，因此可以组成三边长分别为和的两个直角三角形，公共木条长为 检验其他以或为最长边的组合，均不满足勾股关系；以为最长边时，也没有两根较短木条的平方和为所以公共木条只能为 公共木条不在拼成图形的外边界上，周长为 C组 综合提升 1、一个等腰三角形的一边长为三边长的平方和为求这个三角形的三边长，并判断它是否为直角三角形。 【解析】若长为的边是腰，则两腰的平方和为底边长的平方为这与边长为正矛盾，因此这种情况不成立。 所以长为的边是底边。设腰长为则由得 三边长为又由逆定理，这个三角形是直角三角形，直角是两腰的夹角。 2、如图，四边形的对角线相交于点点在线段内部，且已知 （1）求的长； （2）求证： 【解析】由得 所以 于是所以 （2）在中，又所以 3、如图，和都是直角三角形，点在直线的两侧，求的长，并分别指出两个三角形的直角顶点。 【解析】在中，所以斜边只能为或若是斜边，则若是斜边，则 在中，所以斜边只能为或若是斜边，则若是斜边，则 同一条线段必须同时满足两组条件，所以此时的直角顶点是的直角顶点是 4、如图，是线段内部一点，比长求和的长。 【解析】设则由勾股定理，得 因此化简得所以 于是又所以 回验：且各长度均为正，符合题设。 5、如图，在中，是线段内部一点，点在直线上，且求的长。 【解析】由勾股定理，因为所以又得 所以因为在直线上，且所以得 当与在点同侧时，由知在线段内部，故 当与在点两侧时，所以的所有可能值为或 6、一个直角三角形的一边长为另外两边的长度相差求这个三角形的三边长。 【解析】若长为的边是直角边，设另一条直角边长为则斜边长为由得斜边长为 若长为的边是斜边，设两条直角边长为其中则 由得因为所以结合得 两组长度均符合原条件，所以三边长为或 D组 中考真题 1、（2025年江苏连云港中考第12题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为则梯子顶端的高度为________ 【解析】墙面与地面构成直角，梯子是斜边。由勾股定理，得所以 2、（2026年河南中考第5题）如图，与关于直线对称，则的长为（ ）。 A．6 B．8 C．10 D．12 【解析】在中，所以 轴对称图形的对应边相等，所以选C。 3、（2025年湖南中考第24题（1）节选）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点分米，在点之间的晾衣绳上有固定挂钩分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线 当该连衣裙下端点刚好接触地面水平线时，点到直线的距离等于分米，其中在线段内部，求该连衣裙的长度。 【解析】在中， 所以分米。 由图中点的位置，分米。点与点位于同一水平线上，因此点到地面的高度等于 又与重合，在地面上，且竖直，所以分米。 4、（2026年四川达州中考第22题任务一节选）某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地如图，小路（忽略小路宽度）把空地分为两个区域：Ⅰ区域（和Ⅱ区域（ 用测量工具测得：米，米，米，米，求四边形空地的面积。 【解析】在中，所以米。 因为所以 四边形空地的面积为（平方米）。 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $