专题06勾股定理及其逆定理专题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题06勾股定理及其逆定理专题通关讲义 知识点01:勾股定理标准定义 文字定义：如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方和等于斜边的平方。 几何定义：在Rt △ABC中，∠ C=90，直角边为a、b，斜边为c，则 a2+b2=c2 名词释义：较短直角边称为勾，较长直角边称为股，斜边称为弦。 知识点02:定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。 面积推导逻辑 知识点03:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点04:勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，最长边c所对的角为直角。 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 知识点05:三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+b2=c2→ 直角三角形 a2+b2>c2→ 锐角三角形 a2+b2<c2 → 钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方→对比大小→下结论。 知识点06:勾股数 定义：满足 a2+b2=c2 的正整数组 (a,b,c) 称为勾股数 常见勾股数 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 拓展规律：若 (a,b,c) 是勾股数，则其正整数倍 (ka,kb,kc)（k>0 且为整数）也是勾股数，如 (6,8,10)、(9,12,15) 知识点07:基础应用 1. 解直角三角形 已知条件：直角三角形中任意两边（两直角边 / 一直角边 + 斜边）。 求解目标：求第三边长度。 步骤：先确定斜边 → 代入对应公式计算。 2. 网格中的勾股定理 方法：将斜线段放入网格直角三角形中，数格子得到直角边长度，再用勾股定理求斜边。 应用：计算网格中线段长度、不规则图形面积。 3. 两点间距离（坐标推导） 公式：若两点坐标A(x1​,y1​)、B(x2​,y2​)， 则AB=​ 本质：构造水平、竖直直角边，用勾股定理推导斜边（两点距离）。 知识点08:几何与实际应用(拓展) 1. 勾股树（面积规律） 核心结论：以直角三角形三边向外作正方形，斜边上正方形面积 = 两直角边上正方形面积之和。 拓展：若向外作半圆、正三角形，面积关系依然成立。 2. 折叠问题（高频考点） 核心逻辑：折叠前后对应线段相等、对应角相等，构造直角三角形列方程求解。 解题步骤： (1)设未知线段长度为 x； (2)用 x 表示折叠后相关线段； (3)在直角三角形中代入勾股定理列方程并求解。 1、勾股定理与其逆定理适用场景混淆 易错提醒：勾股定理的前提是已知三角形为直角三角形，用来推导三边之间的数量关系；勾股定理逆定理是已知三边长，用来判定三角形是否是直角三角形；分清因果逻辑，不可颠倒两个定理的使用条件。 2、直角三角形中斜边识别错误 易错提醒：直角三角形的斜边为直角所对的最长边；公式\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}里面的c只能代表斜边；不能默认字母顺序确定斜边，解题前先确认哪一条边是最长边。 3、已知两边求直角三角形第三边未分类讨论导致漏解 易错提醒：题干没有说明已知两条边属于直角边还是斜边时，要分两种情况分析：两边均为直角边、较长边作为斜边；不进行分类讨论会丢失一组答案。 4、运用逆定理判定直角三角形选错最长边 易错提醒：使用勾股定理逆定理时，应当选取三边当中的最长边作为c；验证两条较短边的平方之和是否等于最长边的平方；最长边选择错误，直角三角形的判定结果就会出错。 5、错误去掉平方符号推导边长关系 易错提醒：由a2+b2=c2只能得到三边平方的等量关系，不能直接去掉平方写成a+b=c；平方等式和普通线段相加等式不能互相等价转换。 6、直角三角形判定验证不完整 易错提醒：判定三角形是否为直角三角形，需要完整验算三边平方的数量关系；不能仅凭单条边的平方特征直接下结论，必须核对两条短边平方和与最长边平方是否相等。 7、勾股数判定条件把握不准 易错提醒：勾股数必须同时满足两个条件：全部是正整数；较小两数平方和等于最大数的平方；分数、小数即使满足平方等式，也不属于勾股数。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★ 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★ 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★ 题型五 勾股定理的证明方法 ★★ 题型六 以弦图为背景的计算题 ★★★ 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★ 题型八 勾股定理与无理数 ★★ 题型九 勾股树（数）问题 ★★ 题型十 判断三边能否构成直角三角形 ★ 题型十一 在网格中判断直角三角形 ★★ 题型十二 利用勾股定理的逆定理求解 ★★ 题型十三 勾股定理逆定理的拓展问题 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 用勾股定理解三角形 1．在中，分别表示的对边，则下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直角的对边为斜边，结合勾股定理判断． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 为斜边，，为直角边， ∴ ． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 【答案】34 【分析】在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴ ． 3．如图，在中，，且分别是上的高，F，G分别是的中点．，则的长为() A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】连接，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出及的长，最后利用勾股定理求解即可 【详解】解：如图，连接， 分别是上的高， ， 是的中点， 在中，， 在中，， ， 是的中点， ，， 在中，． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 4．如图，在中，，以，为边向外作正方形，正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．150 B．200 C．225 D．256 【答案】D 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 5．如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． 【答案】 25 【分析】先根据勾股定理求出，同理可得正方形H的面积是9，则此题可解． 【详解】解：如图所示，令正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为c， 根据勾股定理，得， 即， ∴正方形G的面积是16，同理可得正方形H的面积是9， 所以正方形E的面积是． 6．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，交于点，连接，若，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D．点为中点 【答案】C 【分析】过点作，交延长线于点，延长交于点，点是延长线上的以点，证明，，进而依据“”判定和全等得，证明，进而依据“”判定和全等得，，则，证明和全等得点为中点． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理可得，即，故A正确； 过点作，交延长线于点，延长交于点，点是延长线上的点，如图所示： ， 四边形是正方形， ，，， 在中，， ，， 点，，共线， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，故B正确； ， 在中，， ， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， ，， 点为中点，故D正确； ， ，故C错误． 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 8．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 9．如图，在中，边上的中线交于点O，则的面积为（    ） A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，即可求出的面积，根据三角形中线的性质即可求出的面积. 【详解】解：， ， 在中，， 是边上的中线， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 10．如图，中，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为______．（平方单位） 【答案】14 【分析】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积． 【详解】解：S阴影=直径为AC的半圆面积+直径为BC的半圆面积+S△ABC-直径为AB的半圆面积 = = = = = =14 故答案为：14． 【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差． 11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 12．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 题型五 勾股定理的证明方法 13．到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为_____． 【答案】53 【分析】根据全等三角形的性质可得，，再根据四边形的面积等于的面积与的面积的和，列出算式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出，，以及由图形得到四边形的面积等于的面积与的面积的和． 14．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：______； 【答案】 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 15．中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 题型六 以弦图为背景的计算题 16．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得，进而可得，根据题意即可得出这个风车的外围周长． 【详解】解：如图， 由题意可知，． ， ． ∴这个风车的外围周长是． 故选：B． 17．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是，整个图形（连同空白部分）的面积是，则大正方形的边长是_______． 【答案】 【分析】设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，根据题意“图中空白部分的面积是，整个图形（连同空白部分）的面积是”列方程求解即可． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为， 根据题意得， 两式相加可得， 解得或（舍去）， 大正方形的边长是． 18．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”． 两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边长为c，由此可得，，根据勾股定理以及正方形的面积公式可判断①；小正方形的边长为，则，由此可求出，，可判断②；由得到，，即，根据正方形的面积公式可判断③；当点是的中点时，，即，推出，根据正方形面积公式可判断④，即可得出结论． 【详解】解：设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，斜边长为，则小正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∴，故②正确； 当时，则有， ∴，即， ∴，故③正确； 当点是的中点时，，即， ∴，即， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确结论的个数是3个． 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 19．如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为______． 【答案】130 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， ， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， 即这个纸箱能容纳的木棒最长为， 故答案为：． 20．以下有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺．则的长度为__________尺． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， ∴，即，解得：， ∴的长度为尺． 故答案为：． 21．《算法统宗》是由我国明代数学家程大位编写的数学名著，书中记载到：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐；五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”大概意思是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 设秋千绳索的长为尺，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：根据题意，设秋千绳索的长为尺， 则； 故选：C 题型八 勾股定理与无理数 22．如图，在数轴上点表示的数为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出的长度，根据弧的半径相等得到的长度，从而求出． 本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出的长度是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ， 故选：D． 23．如图，在数轴上画一个直角边分别为2和1的直角三角形，以其中一个锐角的顶点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点P，则点P对应的数为_______． 【答案】 【分析】本题考查数轴上点的运算及勾股定理，根据勾股定理求出，再根据点P在数轴上的位置，确定点P表示的数即可． 【详解】解：如图， 根据勾股定理，得， 由作图知：， ∵点A表示的数为1， ∴点P表示的数为， 故答案为：． 24．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先运用勾股定理求得线段的长，再计算出此题结果即可． 【详解】解：由题意得，， ， 点表示的数为． 题型九 勾股树（数）问题 25．以下列各组数为勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．15，20，25 D．1，， 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，不是勾股数； B、选项中的数不全是正整数，不是勾股数； C、∵，， ∴，且均为正整数，是勾股数； D、选项中的数不全是正整数，不是勾股数． 我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数a，b，c称为勾股数． 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … 10 17 26 37 50 … （1）若5，13，k是一组勾股数，则__26__； （2）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在表格中．则当时，的值为__27__． 【答案】(1)12 (2)200 【分析】（1）由题意可分为当k为最大边时，当13是最大边时，然后分类进行求解即可； （2）由表格得规律：，根据勾股定理可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：当k最大时，，不是正整数，舍去； 当13是最大边时，由勾股定理得， 解得或（舍去），符合题意； （2）解：由表格得规律：，根据勾股定理得：， 将代入得，， 解得， ∴， ∴． 题型十 判断三边能否构成直角三角形 28．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形的面积是（    ） A．9 B．10 C．47 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是理解勾股树的结构特征：每个直角三角形的三条边分别对应三个正方形的边长，且以斜边为边的正方形面积等于以两条直角边为边的正方形面积之和．先利用勾股定理求出中间两个正方形的面积，再求出最大正方形E的面积． 【详解】解：设正方形的面积和为的面积和为，由勾股定理得， ， ， 最大正方形的面积为． 故选：C． 29．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（     ） A．，， B．0.3，0.4，0.5 C．9，40，41 D．2，2，3 【答案】C 【详解】解：A中含、，B中含小数，均不全为正整数，不是勾股数； C中9，40，41均为正整数，且，是勾股数； D中，不是勾股数． 故答案为C． 30．如图，在中，，，则的度数为______________． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理求出，再根据三角形内角和得到． 【详解】解：， ， ， 又在中，， ． 题型十一 在网格中判断直角三角形 31．如图，在中，，，，为边延长线上一点，．若，则的长为（     ） A．4.8 B．9.6 C．10 D．19.2 【答案】B 【分析】判定 为直角三角形，利用等面积法求解． 【详解】解：， ， ， ， 在 中，， ， 且 ， ， ． 32．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，三点均在格点上，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理以及其逆定理即可得到问题答案． 【详解】解：， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．熟记勾股定理的内容是解题得关键． 33．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是____． 【答案】 【分析】根据所给出的图形求出的长以及的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可． 【详解】解：根据图形可得：，， ∴， ∴是直角三角形，且， 设中的高是x， 则， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于x的方程． 题型十二 利用勾股定理的逆定理求解 34．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均落在格点（网格线的交点）上，是与网格线的交点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，斜边上的中线，根据勾股定理求出的长，勾股定理逆定理，得到，斜边上的中线得到，即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理，得， ∴， ∴， 由图可知，为的中点， ∴； 故选C． 35．如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 36．在中，的对边分别是a，b，c，且 则（   ） A． B． C． D．不是直角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的逆定理的计算是关键． 将给定等式变形后，应用勾股定理的逆定理判断直角． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 由勾股定理的逆定理， 表示边所对的角为直角，即 ， 故选：A． 37．如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理的逆定理，即，判断出是直角三角形，设折叠后点与上的点重合．在中，根据勾股定理即可得到一个关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形． 设折叠后点与上的点重合，如图， 设，则，，，， ， 在中，， 解得， ． 题型十三 勾股定理逆定理的拓展问题 38．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】已变形 【分析】利用勾股定理的逆定理，验证三角形是否为直角三角形，从而判断木门的角是否保持垂直，以此确定是否变形． 【详解】解：∵木门正常时，应为直角，根据勾股定理，应有： ∵，， ∴ 又测得， ∴ ∵，即， ∴不再是直角，木门已变形． 39．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 40．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是______． 【答案】14 【分析】根据勾股定理的几何意义，可得的面积为A、B的面积和，的面积为C、D的面积和，E的面积为F、G的面积之和． 【详解】由题意可知，的面积为2，的面积为3，的面积为5，的面积为4， ∴的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为5， 故的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为9， 同理可得：的面积为：． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 解答题 1．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 2．求下列各图形着色部分的面积： (1)如图①，着色部分是正方形； (2)如图②，着色部分是长方形； (3)如图③，着色部分是半圆（保留）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：正方形的边长为， 正方形的面积为； （2）解：长方形的长为， 长方形的面积为； （3）解：半圆的直径为， 半圆的面积为． 3．综合与实践． 【项目主题】特殊三角形的再探究 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中． 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方． 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想． ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”． 例如：三边长分别为3，4，时，，是5倍平方和三角形，方和倍等于5． 又的正整数倍，的正整数倍，仅仅是5倍平方和三角形． 【项目实施】 (1)已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形； (2)在平方和中，，，的对边分别为a，b，c，，，，求方和倍的值； (3)在4倍平方和中，，设，，的对边分别为a，b，c，且，求的值． 【答案】(1)说明见解析 (2)平方和的方和倍的值是1或7 (3) 【分析】（1）根据k倍“平方和”三角形的定义说明即可； （2）先求出，再分情况讨论即可； （3）根据勾股定理可知，进而分当时，当时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴该三角形是1倍平方和三角形； （2）解：根据勾股定理，得，即， ①， 方和倍； ②， 方和倍； ③，不等于60的正整数倍； ∴平方和的方和倍的值是1或7； （3）解：在中，， ； 根据“是4倍平方和三角形”，再分两种情况考虑： ①当时， 将代入，得， ； 又， 不合题意，舍去； ②当时， 将代入，得， ， ， ， ． 4．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2) 若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）略． 5．综合与实践 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (3)【应用拓展】借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)证明：∵直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴一个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：， ∵大正方形的面积也可以表示为： ∴， ∴， ∴． (2) (3)20 【分析】（1）用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明． （2）设，则，利用勾股定理以及即可得出，解方程即可求出． （3）变形后的式子可表示在长为16的线段上找一点，使其到两端点垂线（长度分别为3和9）顶点的距离之和最小，根据几何模型，最小值为以16和为直角边的直角三角形的斜边长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得：， 即． （3）解：原式可变形成， 变形后的式子可表示在长为16的线段上找一点，使其到两端点垂线（长度分别为3和9）顶点的距离之和最小， 根据几何模型，最小值为以16和为直角边的直角三角形的斜边长， 即最小值为：． 6．综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 【答案】(1)2，； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】（1）两个边长为1的小正方形面积和等于大正方形面积；由勾股定理求小正方形对角线； （2）圆半径为，原点右侧A为正数、左侧B为负数； （3）是圆的半径；用计算； （4）折叠后是、中点，利用中点公式求对应的数． 【详解】（1）解：小正方形面积：，两个小正方形总面积，因此拼成的大正方形面积为． 小正方形边长为，由勾股定理，对角线长． （2）解：圆半径等于小正方形对角线长． 点在原点右侧，故表示的数为； 点在原点左侧，故表示的数为． （3）解：是圆的半径，因此； 表示数字，即， ． （4）解：纸条沿对折，说明是线段的中点． ， 则点表示的数为． 7．阅读以下材料并解决问题． 绿道驿站建设工程 背景 为完善绿道的配套服务，某社区计划修建一座休闲驿站，驿站的平面轮廓为四边形，其中B，C两点紧邻江边步道，A为驿站的主建筑点，D为观景平台．    测量数据 为确保施工安全，工程队对驿站地基进行了实地勘测，得到以下关键数据：主建筑点A到步道的垂直距离米，其中E恰好是的中点，米，米，米． (1)求步道段的长； (2)本次驿站建设需要对整个四边形地基铺设防滑地砖，若地砖的采购单价为每平方米50元，求四边形地基的总面积，及购买地砖的总费用． 【答案】(1)步道段的长为18米 (2)四边形地基的总面积为168平方米，购买地砖的总费用为元 【分析】（1）利用勾股定理可得，再进一步求解即可； （2）连接，求解，再结合勾股定理求解即可. 【详解】（1）解：因为，所以． 因为米，米， 所以（米）． 因为E是的中点， 所以（米）． 答：步道段的长为18米． （2）解：如图，连接． 因为，E恰好是的中点，即垂直平分， 所以米． 因为米，米，米， 所以． 所以是直角三角形，且． 所以（平方米）． 因为（平方米）， 所以（平方米）， 即四边形地基的总面积为168平方米， 因为地砖的采购单价为每平方米50元，所以购买地砖的总费用为（元）． 8．若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 【答案】(1)两组数为：   (2) 解：用两个正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组， 设， 证明：， ， ， . . 即：“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组”． 【分析】（1）根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，取适当的值代入即可； （2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可. 【详解】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，通过选择合适的使用均大于； 第一组：取，即. 第二组：取，即. （2）略 【点睛】本题考查了新定义问题中的规律问题，实质上是勾股数的规律问题，找出数列规律是解题的关键. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06勾股定理及其逆定理专题通关讲义 知识点01:勾股定理标准定义 文字定义：如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方和等于斜边的平方。 几何定义：在Rt △ABC中，∠ C=90，直角边为a、b，斜边为c，则 a2+b2=c2 名词释义：较短直角边称为勾，较长直角边称为股，斜边称为弦。 知识点02:定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。 面积推导逻辑 知识点03:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点04:勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，最长边c所对的角为直角。 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 知识点05:三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+b2=c2→ 直角三角形 a2+b2>c2→ 锐角三角形 a2+b2<c2 → 钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方→对比大小→下结论。 知识点06:勾股数 定义：满足 a2+b2=c2 的正整数组 (a,b,c) 称为勾股数 常见勾股数 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 拓展规律：若 (a,b,c) 是勾股数，则其正整数倍 (ka,kb,kc)（k>0 且为整数）也是勾股数，如 (6,8,10)、(9,12,15) 知识点07:基础应用 1. 解直角三角形 已知条件：直角三角形中任意两边（两直角边 / 一直角边 + 斜边）。 求解目标：求第三边长度。 步骤：先确定斜边 → 代入对应公式计算。 2. 网格中的勾股定理 方法：将斜线段放入网格直角三角形中，数格子得到直角边长度，再用勾股定理求斜边。 应用：计算网格中线段长度、不规则图形面积。 3. 两点间距离（坐标推导） 公式：若两点坐标A(x1​,y1​)、B(x2​,y2​)， 则AB=​ 本质：构造水平、竖直直角边，用勾股定理推导斜边（两点距离）。 知识点08:几何与实际应用(拓展) 1. 勾股树（面积规律） 核心结论：以直角三角形三边向外作正方形，斜边上正方形面积 = 两直角边上正方形面积之和。 拓展：若向外作半圆、正三角形，面积关系依然成立。 2. 折叠问题（高频考点） 核心逻辑：折叠前后对应线段相等、对应角相等，构造直角三角形列方程求解。 解题步骤： (1)设未知线段长度为 x； (2)用 x 表示折叠后相关线段； (3)在直角三角形中代入勾股定理列方程并求解。 1、勾股定理与其逆定理适用场景混淆 易错提醒：勾股定理的前提是已知三角形为直角三角形，用来推导三边之间的数量关系；勾股定理逆定理是已知三边长，用来判定三角形是否是直角三角形；分清因果逻辑，不可颠倒两个定理的使用条件。 2、直角三角形中斜边识别错误 易错提醒：直角三角形的斜边为直角所对的最长边；公式\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}里面的c只能代表斜边；不能默认字母顺序确定斜边，解题前先确认哪一条边是最长边。 3、已知两边求直角三角形第三边未分类讨论导致漏解 易错提醒：题干没有说明已知两条边属于直角边还是斜边时，要分两种情况分析：两边均为直角边、较长边作为斜边；不进行分类讨论会丢失一组答案。 4、运用逆定理判定直角三角形选错最长边 易错提醒：使用勾股定理逆定理时，应当选取三边当中的最长边作为c；验证两条较短边的平方之和是否等于最长边的平方；最长边选择错误，直角三角形的判定结果就会出错。 5、错误去掉平方符号推导边长关系 易错提醒：由a2+b2=c2只能得到三边平方的等量关系，不能直接去掉平方写成a+b=c；平方等式和普通线段相加等式不能互相等价转换。 6、直角三角形判定验证不完整 易错提醒：判定三角形是否为直角三角形，需要完整验算三边平方的数量关系；不能仅凭单条边的平方特征直接下结论，必须核对两条短边平方和与最长边平方是否相等。 7、勾股数判定条件把握不准 易错提醒：勾股数必须同时满足两个条件：全部是正整数；较小两数平方和等于最大数的平方；分数、小数即使满足平方等式，也不属于勾股数。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★ 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★ 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★ 题型五 勾股定理的证明方法 ★★ 题型六 以弦图为背景的计算题 ★★★ 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★ 题型八 勾股定理与无理数 ★★ 题型九 勾股树（数）问题 ★★ 题型十 判断三边能否构成直角三角形 ★ 题型十一 在网格中判断直角三角形 ★★ 题型十二 利用勾股定理的逆定理求解 ★★ 题型十三 勾股定理逆定理的拓展问题 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 用勾股定理解三角形 1．在中，分别表示的对边，则下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 3．如图，在中，，且分别是上的高，F，G分别是的中点．，则的长为() A．5 B．6 C．8 D．12 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 4．如图，在中，，以，为边向外作正方形，正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．150 B．200 C．225 D．256 5．如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． 6．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，交于点，连接，若，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D．点为中点 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 9．如图，在中，边上的中线交于点O，则的面积为（    ） A．20 B．22 C．24 D．25 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 10．如图，中，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为______．（平方单位） 11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．    12．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五 勾股定理的证明方法 13．到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为_____． 14．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：______； 15．中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   题型六 以弦图为背景的计算题 16．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 17．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是，整个图形（连同空白部分）的面积是，则大正方形的边长是_______． 18．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”． 两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 19．如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为______． 20．以下有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺．则的长度为__________尺． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 21．《算法统宗》是由我国明代数学家程大位编写的数学名著，书中记载到：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐；五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”大概意思是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 题型八 勾股定理与无理数 22．如图，在数轴上点表示的数为，则的值为（ ） A． B． C． D． 23．如图，在数轴上画一个直角边分别为2和1的直角三角形，以其中一个锐角的顶点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点P，则点P对应的数为_______． 24．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 题型九 勾股树（数）问题 25．以下列各组数为勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．15，20，25 D．1，， 我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数a，b，c称为勾股数． 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … 10 17 26 37 50 … （1）若5，13，k是一组勾股数，则__26__； （2）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在表格中．则当时，的值为__27__． 题型十 判断三边能否构成直角三角形 28．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形的面积是（    ） A．9 B．10 C．47 D．14 29．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（     ） A．，， B．0.3，0.4，0.5 C．9，40，41 D．2，2，3 30．如图，在中，，，则的度数为______________． 题型十一 在网格中判断直角三角形 31．如图，在中，，，，为边延长线上一点，．若，则的长为（     ） A．4.8 B．9.6 C．10 D．19.2 32．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，三点均在格点上，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 33．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是____． 题型十二 利用勾股定理的逆定理求解 34．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均落在格点（网格线的交点）上，是与网格线的交点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 35．如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 36．在中，的对边分别是a，b，c，且 则（   ） A． B． C． D．不是直角三角形 37．如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 题型十三 勾股定理逆定理的拓展问题 38．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 39．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A．B． C．D． 40．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是______． 解答题 1．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 2．求下列各图形着色部分的面积： (1)如图①，着色部分是正方形； (2)如图②，着色部分是长方形； (3)如图③，着色部分是半圆（保留）． 3．综合与实践． 【项目主题】特殊三角形的再探究 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中． 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方． 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想． ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”． 例如：三边长分别为3，4，时，，是5倍平方和三角形，方和倍等于5． 又的正整数倍，的正整数倍，仅仅是5倍平方和三角形． 【项目实施】 (1)已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形； (2)在平方和中，，，的对边分别为a，b，c，，，，求方和倍的值； (3)在4倍平方和中，，设，，的对边分别为a，b，c，且，求的值． 4．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 5．综合与实践 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (3)【应用拓展】借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值． 6．综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 7．阅读以下材料并解决问题． 绿道驿站建设工程 背景 为完善绿道的配套服务，某社区计划修建一座休闲驿站，驿站的平面轮廓为四边形，其中B，C两点紧邻江边步道，A为驿站的主建筑点，D为观景平台．    测量数据 为确保施工安全，工程队对驿站地基进行了实地勘测，得到以下关键数据：主建筑点A到步道的垂直距离米，其中E恰好是的中点，米，米，米． (1)求步道段的长； (2)本次驿站建设需要对整个四边形地基铺设防滑地砖，若地砖的采购单价为每平方米50元，求四边形地基的总面积，及购买地砖的总费用． 8．若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $