专题01 点的位置与坐标系（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题01 点的位置与坐标系 1、理解平面直角坐标系的定义及相关概念，如：x轴、y轴、原点及正方向、象限等； 2、会根据点的位置写出坐标，或根据坐标画出点的位置；熟练掌握点的坐标特征； 3、理解坐标与点的唯一对应关系，即“数形结合”思想； 4、能利用坐标系描述地理位置（如参照物、方向距离）或解决实际问题。 1. 平面直角坐标系概念：平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。 2. x轴：平面直角坐标系中，水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向。 3. y轴：平面直角坐标系中，竖直方向的数轴称为y轴或纵轴。向上为正方向。 4. 原点：在平面直角坐标系中，x轴与y轴的交点是原点，原点是两条坐标轴的唯一的公共点。 5. 坐标：在平面直角坐标系中，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上表示的数分别为a、b，则有序实数对（a，b）称为点P的坐标。其中a称为点的横坐标，b成为点的纵坐标。 注意：建立平面直角坐标系后，平面内的点与有序实数对是一一对应的。 6. 象限：在平面直角坐标系中，两条坐标轴将平面分成四个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限。坐标轴不属于任何象限。 7.点的坐标的特征 点的位置 坐标特征 象限内的点 第一象限 （+，+） 第二象限 （-，+） 第三象限 （-，-） 第四象限 （+，-） 坐标轴上的点 x轴 （a，0） y轴 （0，b） 象限角平分线上的点 第一、三象限角平分线 （m，m） 第二、四象限角平分线 （m，-m） 8.确定点的坐标的方法： （1）建立合适的平面直角坐标系； （2）过该点向横轴作垂线，垂足在横轴上对应的实数a就是点的横坐标； （3）过该点向纵轴作垂线，垂足在纵轴上对应的实数b就是点的纵坐标； （3）把横坐标写在前面，纵坐标写在后边，中间用逗号隔开，并用小括号将它们括起来，就是该点的坐标（a，b）。 9.由点的坐标（a，b）确定点的位置的方法： （1）过横轴上表示实数a的点作横轴的垂线； （2）过纵轴上表示实数b点作纵轴的垂线； （3）两条垂线的交点即为点（a，b）的位置。 ( ● ) 10.极坐标系（拓展） 如图，在平面上取一点O，由点O出发画一条射线，则平面上任意一点M可以用M来确定； 其中表示OM的长度，表示以为始边，逆时针旋转后∠xOM的大小。 这里的点O称为极点，射线称为极轴，称为点M的极坐标。 题型01 点所在的象限 【典例】（26-27八年级上·江苏淮安·阶段检测）下列各点中，位于第二象限的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项，在轴上，不符合题意；选项，在轴上，不符合题意； 选项，横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限，符合题意； 选项，横坐标为正，纵坐标为负，位于第四象限，不符合题意． 【变式1】（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，点在第（     ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【详解】解：点的横坐标，纵坐标，点在第四象限，故选：D． 【变式2】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）点所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，∴点在第二象限． 【变式3】（26-27八年级上·安徽·阶段检测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：根据平方的性质，任意实数的平方都大于等于0，即， 因此：，即点P的横坐标为正数；点P的纵坐标为，是负数； 因此，点P的坐标符号为（正，负），符合第四象限内点的坐标符号特征，所以，点P在第四象限． 【变式4】（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在轴上方，且，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点在轴上方，∴点在第一象限或第二象限， ∵，∴，异号，∴点在第二象限，故选：． 题型02 写出平面直角坐标系中点的坐标 【典例】（26-27七年级上·四川南充·阶段检测）如图是一个城市的街道图，五个人分别住在坐标为、、、、的地方，他们准备到街道的某处会面，要求只能沿着街道走．若要五人所行路程之和最短，试求出这个会面地点的坐标． 【答案】 【详解】解：设会面地点的坐标为，∵五个人分别住在坐标为、、、、的地方，∴横向走的距离为， 根据绝对值的几何意义可知：当时，横向走的距离最小， 同理当时，纵向走的距离最小，∴会面地点的坐标为. 【变式1】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，试写出坐标平面内各点的坐标． 解：A： ； B： ；C： ；D： ；E： ；F： 。 【答案】见解析 【详解】解：由图可知：，，，，，． 【变式2】（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图是某学校在平面直角坐标系中的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．(1)写出图中食堂、图书馆和宿舍楼的位置； (2)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置． 【答案】(1)食堂、图书馆，宿舍楼 (2)见解析 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系得：食堂、图书馆，宿舍楼． （2）解：如图所示． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题：(1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________； (2)坐标为的是点________，在第________象限；(3)横、纵坐标互为相反数的是点________． 【答案】(1)，，3；(2)C，三；(3)D． 【详解】（1）由图可知，点A的坐标为，点B的横坐标为，纵坐标为3；故答案：，，3； （2）解：由图可知，坐标为的是点C，在第三象限；故答案为：C，三； （3）解：由图可知，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为， 只有点D的横、纵坐标互为相反数，故答案为：D． 【变式4】（25-26八年级上·江苏·课后作业）完成下列各题： (1)写出图中各点的坐标．(2)描出点． (3)顺次连接各点，围成的封闭图形是什么图形，并计算它的面积． 【答案】(1)(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：由题意得；（2）解：如图所示； （3）解：如图所示，四边形是正方形，它的面积是． 题型03 点到坐标轴的距离 【典例】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则的值为（     ） A．2 B． C． D．6 【答案】C 【详解】解：∵点在第四象限，∴，， ,∵点到轴的距离为，到轴的距离为，∴，， ∴，，解得，，∴． 【变式1】（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）点到x轴的距离是（     ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点的纵坐标为，∴点到轴的距离为． 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）点到轴的距离为 ． 【答案】 【详解】解：点到轴的距离为，故答案为：． 【变式3】（26-27八年级上·安徽六安·阶段检测）已知点在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，则a的值为（     ） A．4 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：∵点在第二象限，∴，， ∵点到两坐标轴的距离相等，∴，∴，解得． 【变式4】（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是到轴距离的2倍，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为，且点到轴的距离是到轴距离的2倍，∴，解得，即． 题型04 根据点在坐标轴上求参数值 【典例】（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）点在y轴上，则点P的坐标是________． 【答案】 【详解】解：∵点在y轴上，∴解得， ∴，∴点P的坐标为． 【变式1】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）若点在轴上，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵点在轴上，∴点的纵坐标为，即，解得． 【变式2】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点在第二、四象限的角平分线上，则的值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：∵第二、四象限的点横纵坐标异号，第二、四象限的角平分线上的点到坐标轴的距离相等， ∴第二、四象限的角平分线上的点横纵坐标互为相反数， ∵点在第二、四象限的角平分线上，∴，解得． 【变式3】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标；(2)若点在一、三象限的角平分线上，求点的坐标； (3)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为(2)点的坐标为(3)点的坐标为 【详解】（1）解：若点在轴上时，则点的纵坐标为0， ∴，∴，∴，∴点的坐标为； （2）解：若点在一、三象限的角平分线上，则点的横纵坐标相等， ∴，解得，∴，∴点的坐标为； （3）解：若点在过点且与轴平行的直线上时，则两点的横坐标相等， ∴，解得，∴，∴点的坐标为． 【变式4】（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）若点在坐标轴上，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵点在坐标轴上，∴或，解得或． 题型05 根据点所在的象限求参数的范围 【典例】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点在第四象限，∴， 解不等式，得，解不等式，得，∴的取值范围是． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江伊春·期末）若点在第二象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在第二象限，∴，解得． 【变式2】（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：点在第一象限， ，解得，故答案为： 【变式3】（25-26八年级下·湖南郴州·期末）在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标；(2)若点在第三象限，求的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为(2)的取值范围是 【详解】（1）解：∵点在轴上，∴，∴， 当时，，∴点的坐标为． （2）解：∵点在第三象限，∴，∴，∴． 【变式4】（2025·广东韶关·三模）在平面直角坐标系中，点在第二象限或第四象限，则、的关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点在第二象限或第四象限，则异号，∴，故选：D． 题型06 建立坐标系确定物体的位置 【典例】（26-27八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）“徽园”位于我省合肥市经开区，始建于1999年，占地面积20公顷，是国家级旅游景区，园区内各景点的位置如图所示，若景点“梅公桥”的坐标是． (1)请在网格中画出符合题意的平面直角坐标系；(2)请写出北门及其他景点的坐标． 【答案】(1)画出平面直角坐标系如图所示： (2)北门的坐标是，振风塔的坐标是，桃花潭的坐标是，颍亭的坐标是，六安园的坐标是 【详解】（1）解：∵景点“梅公桥”的坐标是，∴建立平面直角坐标系如图图略． （2）解：由图可得，北门的坐标是，振风塔的坐标是，桃花潭的坐标是，颍亭的坐标是，六安园的坐标是． 【变式1】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）天文学家以流星雨辐射的区域的星座给流星雨命名，如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是______． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标是，点的坐标是，∴建立平面直角坐标系如图，∴点的坐标是． 【变式2】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼位置，表示校门位置，则实验楼的位置可表示为________． 【答案】 【详解】解：由校门的位置坐标为可知，校门在轴上，且原点在校门的右侧个单位长度处． 观察教学楼的位置是，根据教学楼的位置确定原点的位置．观察图形可知， 实验楼位于校门右侧个单位长度，下方个单位长度处． 实验楼的横坐标为，纵坐标为，∴实验楼的位置可表示为． 【变式3】（24-25七年级下·河北沧州·期中）七年级（3）班的同学组织到兴华公园游玩，李静、王明、赵凯三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个在不同的景点对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，赵凯说他的坐标是，李静说她的坐标是，王明说他的坐标是．（图中小正方形的边长代表100米，每个小正方形的对角线约长141米，牡丹园在中心广场的东北方向） (1)三位同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？在图上画出来；(2)写出这三位同学所在位置的景点名称； (3)分别写出牡丹园、西门的坐标以及游乐园相对中心广场的位置． 【答案】(1)见解析(2)赵凯在游乐园，李静在望春亭，王明在湖心亭； (3)牡丹园的坐标为，西门的坐标，游乐园在中心广场东南方向，相距米 【详解】（1）解：根据题意，他们是以中心广场为原点，100米为单位长度，建立直角坐标系，如图： （2）解：根据（1）中的平面直角坐标系，可知： 赵凯在游乐园，李静在望春亭，王明在湖心亭； （3）解：根据题意，得牡丹园的坐标为，西门的坐标，游乐园相对中心广场的位置为游乐园在中心广场东南方向，相距米． 【变式4】（25-26八年级上·广东·期中）如图所示的网格处于某个平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，如果点A的坐标为，点E的坐标为． (1)在图中画出这个平面直角坐标系；(2)求点B，C，D的坐标； (3)如果该平面直角坐标系中另有一点，请你在图中描出点F． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【详解】（1）解：平面直角坐标系如下图所示： （2）解：由图可得； （3）解：如图，点即为所求． 题型07 描述物体的位置 【典例】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）根据下列表述，能确定准确位置的是（     ） A．西安市高新区 B．北偏东 C．科技路沿线 D．东经，北纬 【答案】D 【详解】解：A、西安市高新区是区域范围，无法确定准确位置，该选项不符合题意； B、仅给出方向，缺少距离，无法确定准确位置，该选项不符合题意； C、科技路沿线为直线，包含无数个点，无法确定准确位置，该选项不符合题意； D、东经与北纬可确定唯一准确位置，该选项符合题意． 【变式1】（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）七中有主校区和南部校区，下列表达最准确的是（    ） A．南部校区在主校区的南面 B．南部校区距主校区 C．南部校区在翠湖园小区东侧米 D．南部校区在南塔街道办事处附近 【答案】C 【详解】解：A、只有方向，没有距离，不能精准定位； B、只有距离，没有方向，不知道在哪个方位； C、有参照物，有方向，也有距离，可以准确确定位置； D、“附近”是模糊描述，没有精确距离，无法准确定位． 【变式2】（26-27八年级上·山东济南·期中）在电影院中，如果将“12排8号”用有序数对表示为，那么“7排9号”可以用有序数对表示为________，有序数对表示的含义是____________． 【答案】 “16排28号” 【详解】解：∵“12排8号”用有序数对表示为，∴“7排9号”应表示为； 表示的含义是“16排28号”． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·专项训练）如图，已知字母W对应的有序数对为，有一个英文单词的字母依次对应的有序数对分别为，请你把这个英文单词写出来： ． 【答案】 【详解】解：根据题意，得对应的字母分别是，故答案为：． 【变式4】（24-25八年级上·江苏·专题练习）在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城——特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度向外延伸出八条主街，如图，是以八卦文化广场为点O绘制的简易地图，若点A的位置用表示，点B的位置用表示，则点C的位置可以表示为 ． 【答案】 【详解】解：如图，点A，B的位置分别表示为，， ∴点C的位置可以表示为，故答案为：． 题型08 有关点的坐标与性质的计算 【典例】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知点． (1)若点N的坐标为， 且直线轴， 求点M的坐标； (2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵直线轴，∴两点的纵坐标相等， ∴，解得，∴，； （2）解：∵点M在第二象限，∴， 又点到x轴、y轴的距离相等，∴，解得， ∴，∴． 【变式1】（24-25七年级下·云南大理·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当直线平行于轴，且，求出点的坐标．(2)若点到轴，轴距离相等，求的值； 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：平行于轴，且，，解得：， ，点的坐标为． （2）∵点到x轴，y轴距离相等，∴， ∴或，解得：或． 【变式2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标；(2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：根据题意得：∵点在轴上，，解得：， 则，点的坐标为：； （2）解：直线轴，直线上所有点的纵坐标都相等， ，解得：，则，即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，，，即，解得： 【变式3】（25-26八年级上·江苏·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在轴上，求点A的坐标；(2)若点，直线轴，求的值； (3)若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求的值； (4)点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) (4)当的值为2时，点的坐标为；当的值为时，点的坐标为 【详解】（1）解：根据题意得，，解得，代入，∴； （2）解：∵直线轴，∴两点的纵坐标相等，∴，解得； （3）解：因为点A在第四象限，所以，所以， 所以点A到轴的距离为，点A到轴的距离为． 因为点A到两坐标轴距离之和为9，所以，解得； （4）解：因为直线轴，所以两点的横坐标相等，即，解得， 所以，所以点A的坐标为． 因为线段的长为5，所以当点在点A上方时，， 解得，此时点的坐标为； 当点在点A下方时，，解得，此时点的坐标为． 综上所述，当的值为2时，点的坐标为；当的值为时，点的坐标为． 题型09 点的坐标与几何性质 【典例】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：如图①，在平面内选一定点，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点的位置可由的度数与的长度确定，有序数对称为点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”． 应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的边长为，有一边在射线上，则正六边形顶点的极坐标应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过作于， 六边形是正六边形，，， ，， 在中，，， 在中，．正六边形的顶点的极坐标应记为．故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·天津·阶段练习）如图,的顶点分别为，且与全等，则点D坐标可以是 ． 【答案】或或 【详解】如图所示，与全等，点D的坐标可以是或或． 故答案为： 或或 【变式2】（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，，且的面积为，点、的坐标分别是、，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，轴于点， 点、的坐标分别是、，，， ∵的面积为，，∴， 点的横坐标为，纵坐标为，点坐标为，故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点C在x轴上，点A在第一象限，且，连接，若，则点C的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点A作，交于点D， 在中，，且，∴.∵点，∴，∴. ∵，∴，∴，即点.故答案为：. 【变式4】（24-25八年级上·成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，以，为顶点作等腰直角（其中，且点落在第一象限内），则点的坐标为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：过点作轴，垂足为点，则， ∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴， ∵轴，∴，， 在和中，，∴，∴,， ∵的坐标为，∴，∴， ∵点的坐标为，且点在轴正半轴上，∴，∴，∴，∴， ∵点在第一象限，∴点的坐标为，故答案为:． 题型10 点的坐标与变化规律 【典例】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与x轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可得，第一个正方形中，， 各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0； 第二个正方形中，， 各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为； 根据纵坐标的变化规律可知，每 8 个点一次循环，， ∴点在第 254个循环中的第1个点的位置，∴故点的纵坐标为0 ， 又 ∵的横坐标为的横坐标为的横坐标为， ∴点的横坐标为，∴点的坐标为，故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…；则根据图示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可得，，，，，，，，……其中，，，结合图象可得，的横坐标等于，纵坐标等于， ，点的坐标为，故选C． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按，，，，，，，，，，…，根据这个规律探索可得，第2021个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，，，，，，，，，…， ∴除第一个横坐标外，后面横坐标每3个坐标依次增加1，纵坐标每6个一循环， ∵，， ∴第2021个点的坐标为即．故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，∴四边形的周长为：， ∵，，∴细线的另一端所在位置是点C，点C的坐标是．故选：C． 【变式4】（25-26八年级上·全国·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示． 由题意得，点P第1次反弹的点为，第2次反弹的点为，第3次反弹的点为， 第4次反弹的点为，第5次反弹的点为，第6次反弹的点为， 故6次一个循环，， 故点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点相同为．故选：B． 题型11 点的坐标与新定义问题 【典例】（24-25八年级上·广东·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为________；(2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________；(3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：点的“2属派生点”的坐标为， 即，故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意知，解得：，即点的坐标为，故答案为：； （3）解：∵点在轴的正半轴上，∴，，∴点的坐标为，点的坐标为， ∴线段的长为到轴距离为， ∵在轴正半轴，线段的长为，∴，即，∴． 【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上，；若，，不在一条直线上，（且）．已知点坐标为点坐标为，回答下列问题：        (1)_____；(2)若，，则点坐标为_____；(3)若，且点的纵坐标为2，求点的坐标；(4)若点和点的关联值满足，请在平面直角坐标系中画出满足条件的所有的点形成的路径图形． 【答案】(1)8(2)或，(3)或．(4)见详解 【详解】（1）解：∵点A坐标为点B坐标为，∴，故答案为：8， （2）解：∵，∴点P在x轴上， ∵∴，设，∴，解得：， ∴或，故答案为：或， （3）解：设点P的坐标为：， ，， ∵∴，∴，∴，∴或． （4）解：解：设点P坐标为，则：， ∴．∴或，即为一三象限和二四象限的角平分线．画图如下： 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点，则点是点的“关联点”． (1)若点，则点的坐标为______； (2)若点则点的坐标为（______）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：______． (3)若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标． 【答案】(1)(2)，，(3)点的坐标为 【详解】（1）解：因为点是点的“关联点”，且点的坐标为，且，， 所以点的坐标为．故答案为：． （2）解：令点的坐标为，根据题意可得，解得，所以点的坐标为． 由点坐标为可知，点的坐标为． 因为点在轴上，所以，即，的关系式为．故答案为：，，． （3）解：令点的坐标为，则点的坐标为， 将点向右平移个单位后，所得点的坐标为， 因为此点与重合，所以，解得，所以点的坐标为． 题型12 坐标与几何综合问题 【典例】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，的面积等于18．(1)求点的坐标；(2)点是线段上一动点，设点的横坐标为，的面积为，求与的数量关系；(3)如图2，在(2)的条件下，延长至点使，在第一象限内是否存在点，使是等腰直角三角形且，连接，的面积等于6，如果存在，请求出的值和点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在，，点的坐标为． 【详解】（1）解：，的面积等于，，， ，，，； （2）过点作于点，如图， ，，，，． 点的横坐标为，，，， ．与的数量关系为． （3）第一象限内存在点，使是等腰直角三角形，且，的面积等于，理由： 过点作于点，轴于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点，如图， 由（2）知：，，，，轴，， ，，， 的面积等于，，．． ，，，，． ，，，，． 是等腰直角三角形且，． ，．，． 在和中，，， ，．，， ，，，，． 综上，存在点，使是等腰直角三角形，且，的面积等于，此时，点的坐标为． 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）平面直角坐标系中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，． 已知． (1)求，的坐标；(2)求点的坐标；(3)已知是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点，求证：． 【答案】(1)，(2)(3)见解析 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：，∴，． （2）解：过点C作轴于F，如图所示：∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，∴，∴，， ∵点C在第二象限，∴． （3）解：过点E作轴于G，∵，∴， ∵， ∴， 在和中，∴，∴， ∵，∴，∵轴，轴，∴． 在和中，∴．∴． 【变式2】（24-25八年级上·广东·培优）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设，且．(1)直接写出的度数；(2)如图，点为的中点，点为轴负半轴上一点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵点在轴负半轴上，，， ，或， ，，，， 在轴的正半轴上取点，使，连接，如图所示： 点在轴正半轴上，，， 又，，，是等边三角形，； （2）连接，如图所示：是等边三角形，，， ，，， 为的中点，，，，， 在和中，，，， 即，，为等边三角形，，． 【变式3】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点，点．点D是y轴正半轴上A点上方一点（不与A点重合），以为腰作等腰过点C作轴于点E．(1)若a，b满足：．①求的度数；②求证：； (2)如图2，过点B作，且，连接，若，求点F的坐标． 【答案】(1)①；②见解析(2) 【详解】（1）解：①∵，∴，∴，， 解得：，，∴，，∴，，∴， ∵，∴； ②∵为等腰直角三角形，∴，， ∵轴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，即； （2）解：过点F作轴于点H，如图所示：则， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，，∴，， ∴，，∴，∴． 【巩固训练】 1．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点的横坐标为负，纵坐标为正，∴点在第二象限． 2．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“士”的位置用坐标表示，那么“相”的位置用坐标表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：已知“帅”的位置用坐标表示，“士”的位置用坐标表示， 所以“相”的位置用坐标表示为．故选：D． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期末）下列选项中不能确定物体位置的是（     ） A．电影院5排8号 B．南偏西 C．无终东街1586号 D．东经，北纬 【答案】B 【详解】解：选项A、电影院5排8号，有排数和号数两个信息，可以确定位置； 选项B、只有方向“南偏西”，没有距离信息，缺少确定位置的必要条件，不能确定物体位置； 选项C、无终东街1586号，有街道名称和门牌号两个信息，可以确定位置； 选项D、东经，北纬，有经度和纬度两个信息，可以确定位置． 4.（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，某轿车行驶在该位置时，前方有四个路口分别为：开拓路、复兴路、振兴路、建设路，若导航提示“向右前方行驶”，此时司机应驶向（    ） A．开拓路 B．建设路 C．复兴路 D．振兴路 【答案】D 【详解】解：由图知，若导航提示“向右前方行驶”，此时司机应驶向振兴路，故选：D． 5．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．点一定在第三象限 B．点到轴的距离为 C．若中、满足，则点在坐标轴上 D．若，则点一定在第一、第三象限角平分线上 【答案】C 【详解】解：选项A： ，， 点横坐标为负，纵坐标为正，点在第二象限，故选项A错误； 选项B：平面直角坐标系中点到轴的距离是这个点的横坐标的绝对值， 点到轴的距离为，故选项B错误； 选项C：，或，点在轴或轴上，即点在坐标轴上，故选项C正确； 选项D：，，点在第二、第四象限角平分线上，故选项D错误． 6．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知点，点，直线轴，则点的坐标为_______． 【答案】 【详解】解：直线轴，点，点， 点与点横坐标相等，纵坐标不相等，，且解方程得， 将代入纵坐标，得，满足，点的坐标为． 7．（26-27八年级上·江苏淮安·阶段检测）已知点P的坐标为，则点P到x轴的距离为________． 【答案】 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，∴点到轴的距离为． 8．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在的正方形网格（每小格边长为1）内有一只甲壳虫，它爬行的规律总是沿网格线先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．甲壳虫从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线记为：，其中第一个数表示左右爬行，第二个数表示上下爬行． (1)图中（_______，_______），（_______，_______）． (2)若甲壳虫的爬行路线为，计算甲壳虫爬行的路程． (3)若甲壳虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)，，，(2)10 (3)点的位置如图所示： 【详解】（1）解：由题意得：图中，． （2）解：，，，甲壳虫爬行的路程为； （3）略 9．（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）人们在野外时，会用“点钟方向”来描述方位．如图中，点O所在地为营地，巨石堆点A的位置在营地的北偏东方向，也可以描述为在营地的“2点钟方向”． (1)点B的位置有一个鸟巢，在营地的（     ）点钟方向．(2)在营地的北偏西方向150米处有一条小溪，用点C表示出小溪的位置．我们也可以说在营地的（     ）点钟方向有一条小溪． 【答案】(1)7 (2)，11 【详解】（1）解：如图，∴点B的位置有一个鸟巢，在营地的7点钟方向； （2）解：小溪的位置略，先从正北向西偏画射线，再按比例尺（1段）量出3段的长度，标出点C即可．营地的11点钟方向有一条小溪． 10．（26-27八年级上·成都·期中）已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上；(2)点P到x轴、y轴的距离相等． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）解：根据题意，得，解得，所以，此时点的坐标为． （2）解：根据题意，得或，解得或． 当时，；当时，，． 综上，点的坐标为或． 【强化训练】 1.（24-25八年级上·宁夏·期中）若点在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：，解得：； 当时，，∴点P的坐标为，故选：A． 2.（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知点在第四象限，当m为何值时，点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在第四象限，∴，， ∴点到x轴的距离是，到y轴距离是， ∵点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍，∴，解得. 故选：B． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：，，例如，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，得：， A．，与相等，符合题意； B．，与不相等，不符合题意； C．，与不相等，不符合题意； D．，与不相等，不符合题意；故选：A． 4．（24-25八年级上·江苏·专题练习）中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一角，横着走竖着走都可以），如图中“马”从点出发，可到达，中任意一点，若“马”从点出发连续走了次“日”字后到达点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】法1：解：如图所示： 当点 往右上角方向走“日”字时， 有最小值，由图象可得，的最小值为9，故选：D． 法2：要想次数最少，则棋子每次都应只能向上或向右移动（切不可向下或向向左移动）。 能同时满足向上和向右的走法只有两种：即PB型；或PA型。 不妨设PB型需要x次，PA型需要y次。由题意得： 由题意知，解得：，故=9，故选：D． 5.（24-25七年级下·浙江·期末）已知点在第四象限，若的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：点在第四象限，，， 的所有整数解的和是，，或，，，，， 或．故答案为：或． 6.（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵点在轴上，∴，解得，故答案为：． 7.（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）若点的坐标为，且在原点上，则点在第 象限，其坐标为 ． 【答案】 一 【详解】解：∵点的坐标为，且在原点， ∴，且，∴，，∴，， ∴点为，在第一象限，故答案为：一；． 8．（24-25八年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为．若是以为顶角的等腰三角形，点C在x轴上，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：∵点A、点B的坐标分别为，∴， ∵，∴C或，故答案为：或． 9．（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 【答案】 【详解】解：第一行的最后一个数是1，第二行最后一个数是， 第三行最后一个数是，第四行最后一个数是， 第五行最后一个数是．第行最后一个数是． ，第63行的最后一个数是2016． 2025在第64行从左到右第9个数的位置．正整数2025可以用有序数对来表示．故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏·期中）我们知道，如果已知一点相对于定点的距离和方向，那么这个点就被唯一确定了．这就是说，我们可用角度和距离来确定平面上点的相对位置． 在平面内取一个定点，叫做极点，引一条射线，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）．对于平面内任一点，用表示线段的长度，表示从到的角度，叫做点的极径，叫做点的极角，有序数对就叫做点的极坐标，这样就在平面上建立了极坐标系．极坐标为的点，可表示为．建立极坐标系后，给定和就可以在平面内唯一确定一点． 如图，如果点的位置为，点的位置为． (1)请表示点与点的位置；(2)若以为极点，为极轴，写出点、点和点的极坐标． 【答案】(1)，；(2)；；． 【详解】（1）解：根据点的位置为，点的位置为， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：连接，则有，，∴，， ∵，，∴点的极坐标为，点的极坐标为，点的极坐标为． 11.（25-26八年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上的一点，且． (1)求的长；(2)如图①，若点在轴上，且是等边三角形，则点的坐标是____________； (3)如图②，点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①当是直角三角形时，求的值；②当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)①或；②或 【详解】（1）解：∵点，∴， ∵，，∴，∴； （2）解：设点的坐标为，∵是等边三角形，∴，即， ∴，∴点的坐标是，故答案为：； （3）解：①由题意可得，，，∵，∴， 当时，∵，∴，∴，即，解得； 当时，则，∴，即，解得； 综上，当是直角三角形时，的值为或； ②当点在线段上时，∵是等腰三角形时，， ∴是等边三角形，∴，即，解得， ∴，∴，∴； 当点在线段的延长线上时，， ∵是等腰三角形，∴，即，解得，∴，∴； 综上，点的坐标为或． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 点的位置与坐标系 1、理解平面直角坐标系的定义及相关概念，如：x轴、y轴、原点及正方向、象限等； 2、会根据点的位置写出坐标，或根据坐标画出点的位置；熟练掌握点的坐标特征； 3、理解坐标与点的唯一对应关系，即“数形结合”思想； 4、能利用坐标系描述地理位置（如参照物、方向距离）或解决实际问题。 1. 平面直角坐标系概念：平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。 2. x轴：平面直角坐标系中，水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向。 3. y轴：平面直角坐标系中，竖直方向的数轴称为y轴或纵轴。向上为正方向。 4. 原点：在平面直角坐标系中，x轴与y轴的交点是原点，原点是两条坐标轴的唯一的公共点。 5. 坐标：在平面直角坐标系中，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上表示的数分别为a、b，则有序实数对（a，b）称为点P的坐标。其中a称为点的横坐标，b成为点的纵坐标。 注意：建立平面直角坐标系后，平面内的点与有序实数对是一一对应的。 6. 象限：在平面直角坐标系中，两条坐标轴将平面分成四个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限。坐标轴不属于任何象限。 7.点的坐标的特征 点的位置 坐标特征 象限内的点 第一象限 （+，+） 第二象限 （-，+） 第三象限 （-，-） 第四象限 （+，-） 坐标轴上的点 x轴 （a，0） y轴 （0，b） 象限角平分线上的点 第一、三象限角平分线 （m，m） 第二、四象限角平分线 （m，-m） 8.确定点的坐标的方法： （1）建立合适的平面直角坐标系； （2）过该点向横轴作垂线，垂足在横轴上对应的实数a就是点的横坐标； （3）过该点向纵轴作垂线，垂足在纵轴上对应的实数b就是点的纵坐标； （3）把横坐标写在前面，纵坐标写在后边，中间用逗号隔开，并用小括号将它们括起来，就是该点的坐标（a，b）。 9.由点的坐标（a，b）确定点的位置的方法： （1）过横轴上表示实数a的点作横轴的垂线； （2）过纵轴上表示实数b点作纵轴的垂线； （3）两条垂线的交点即为点（a，b）的位置。 ( ● ) 10.极坐标系（拓展） 如图，在平面上取一点O，由点O出发画一条射线，则平面上任意一点M可以用M来确定； 其中表示OM的长度，表示以为始边，逆时针旋转后∠xOM的大小。 这里的点O称为极点，射线称为极轴，称为点M的极坐标。 题型01 点所在的象限 【典例】（26-27八年级上·江苏淮安·阶段检测）下列各点中，位于第二象限的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，点在第（     ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式2】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）点所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】（26-27八年级上·安徽·阶段检测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4】（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在轴上方，且，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型02 写出平面直角坐标系中点的坐标 【典例】（26-27七年级上·四川南充·阶段检测）如图是一个城市的街道图，五个人分别住在坐标为、、、、的地方，他们准备到街道的某处会面，要求只能沿着街道走．若要五人所行路程之和最短，试求出这个会面地点的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，试写出坐标平面内各点的坐标． 解：A： ； B： ；C： ；D： ；E： ；F： 。 【变式2】（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图是某学校在平面直角坐标系中的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．(1)写出图中食堂、图书馆和宿舍楼的位置； (2)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题：(1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________； (2)坐标为的是点________，在第________象限；(3)横、纵坐标互为相反数的是点________． 【变式4】（25-26八年级上·江苏·课后作业）完成下列各题： (1)写出图中各点的坐标．(2)描出点． (3)顺次连接各点，围成的封闭图形是什么图形，并计算它的面积． 题型03 点到坐标轴的距离 【典例】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则的值为（     ） A．2 B． C． D．6 【变式1】（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）点到x轴的距离是（     ） A．5 B．3 C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）点到轴的距离为 ． 【变式3】（26-27八年级上·安徽六安·阶段检测）已知点在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，则a的值为（     ） A．4 B． C．1 D． 【变式4】（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是到轴距离的2倍，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型04 根据点在坐标轴上求参数值 【典例】（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）点在y轴上，则点P的坐标是________． 【变式1】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）若点在轴上，则的值为________． 【变式2】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点在第二、四象限的角平分线上，则的值为（     ） A． B． C． D．2 【变式3】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标；(2)若点在一、三象限的角平分线上，求点的坐标； (3)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 【变式4】（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）若点在坐标轴上，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 题型05 根据点所在的象限求参数的范围 【典例】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江伊春·期末）若点在第二象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是 ． 【变式3】（25-26八年级下·湖南郴州·期末）在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标；(2)若点在第三象限，求的取值范围． 【变式4】（2025·广东韶关·三模）在平面直角坐标系中，点在第二象限或第四象限，则、的关系是(    ) A． B． C． D． 题型06 建立坐标系确定物体的位置 【典例】（26-27八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）“徽园”位于我省合肥市经开区，始建于1999年，占地面积20公顷，是国家级旅游景区，园区内各景点的位置如图所示，若景点“梅公桥”的坐标是． (1)请在网格中画出符合题意的平面直角坐标系；(2)请写出北门及其他景点的坐标． 【变式1】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）天文学家以流星雨辐射的区域的星座给流星雨命名，如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是______． 【变式2】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼位置，表示校门位置，则实验楼的位置可表示为________． 【变式3】（24-25七年级下·河北沧州·期中）七年级（3）班的同学组织到兴华公园游玩，李静、王明、赵凯三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个在不同的景点对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，赵凯说他的坐标是，李静说她的坐标是，王明说他的坐标是．（图中小正方形的边长代表100米，每个小正方形的对角线约长141米，牡丹园在中心广场的东北方向）(1)三位同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？在图上画出来；(2)写出这三位同学所在位置的景点名称；(3)分别写出牡丹园、西门的坐标以及游乐园相对中心广场的位置． 【变式4】（25-26八年级上·广东·期中）如图所示的网格处于某个平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，如果点A的坐标为，点E的坐标为．(1)在图中画出这个平面直角坐标系；(2)求点B，C，D的坐标；(3)如果该平面直角坐标系中另有一点，请你在图中描出点F． 题型07 描述物体的位置 【典例】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）根据下列表述，能确定准确位置的是（     ） A．西安市高新区 B．北偏东 C．科技路沿线 D．东经，北纬 【变式1】（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）七中有主校区和南部校区，下列表达最准确的是（    ） A．南部校区在主校区的南面 B．南部校区距主校区 C．南部校区在翠湖园小区东侧米 D．南部校区在南塔街道办事处附近 【变式2】（26-27八年级上·山东济南·期中）在电影院中，如果将“12排8号”用有序数对表示为，那么“7排9号”可以用有序数对表示为________，有序数对表示的含义是____________． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·专项训练）如图，已知字母W对应的有序数对为，有一个英文单词的字母依次对应的有序数对分别为，请你把这个英文单词写出来： ． 【变式4】（24-25八年级上·江苏·专题练习）在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城——特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度向外延伸出八条主街，如图，是以八卦文化广场为点O绘制的简易地图，若点A的位置用表示，点B的位置用表示，则点C的位置可以表示为 ． 题型08 有关点的坐标与性质的计算 【典例】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知点． (1)若点N的坐标为， 且直线轴， 求点M的坐标； (2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标． 【变式1】（24-25七年级下·云南大理·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当直线平行于轴，且，求出点的坐标．(2)若点到轴，轴距离相等，求的值； 【变式2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标；(2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在轴上，求点A的坐标；(2)若点，直线轴，求的值； (3)若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求的值； (4)点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及点的坐标． 题型09 点的坐标与几何性质 【典例】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：如图①，在平面内选一定点，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点的位置可由的度数与的长度确定，有序数对称为点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”． 应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的边长为，有一边在射线上，则正六边形顶点的极坐标应记为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·天津·阶段练习）如图,的顶点分别为，且与全等，则点D坐标可以是 ． 【变式2】（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，，且的面积为，点、的坐标分别是、，则点的坐标是 ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点C在x轴上，点A在第一象限，且，连接，若，则点C的坐标为 ． 【变式4】（24-25八年级上·成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，以，为顶点作等腰直角（其中，且点落在第一象限内），则点的坐标为 （用含的代数式表示）． 题型10 点的坐标与变化规律 【典例】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与x轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…；则根据图示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按，，，，，，，，，，…，根据这个规律探索可得，第2021个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级上·全国·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型11 点的坐标与新定义问题 【典例】（24-25八年级上·广东·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为________；(2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________；(3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上，；若，，不在一条直线上，（且）．已知点坐标为点坐标为，回答下列问题：        (1)_____；(2)若，，则点坐标为_____；(3)若，且点的纵坐标为2，求点的坐标；(4)若点和点的关联值满足，请在平面直角坐标系中画出满足条件的所有的点形成的路径图形． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点，则点是点的“关联点”． (1)若点，则点的坐标为______； (2)若点则点的坐标为（______）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：______． (3)若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标． 题型12 坐标与几何综合问题 【典例】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，的面积等于18．(1)求点的坐标；(2)点是线段上一动点，设点的横坐标为，的面积为，求与的数量关系；(3)如图2，在(2)的条件下，延长至点使，在第一象限内是否存在点，使是等腰直角三角形且，连接，的面积等于6，如果存在，请求出的值和点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）平面直角坐标系中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，． 已知． (1)求，的坐标；(2)求点的坐标；(3)已知是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点，求证：． 【变式2】（24-25八年级上·广东·培优）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设，且．(1)直接写出的度数；(2)如图，点为的中点，点为轴负半轴上一点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，若，求点的坐标． 【变式3】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点，点．点D是y轴正半轴上A点上方一点（不与A点重合），以为腰作等腰过点C作轴于点E．(1)若a，b满足：．①求的度数；②求证：； (2)如图2，过点B作，且，连接，若，求点F的坐标． 【巩固训练】 1．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“士”的位置用坐标表示，那么“相”的位置用坐标表示为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期末）下列选项中不能确定物体位置的是（     ） A．电影院5排8号 B．南偏西 C．无终东街1586号 D．东经，北纬 4.（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，某轿车行驶在该位置时，前方有四个路口分别为：开拓路、复兴路、振兴路、建设路，若导航提示“向右前方行驶”，此时司机应驶向（    ） A．开拓路 B．建设路 C．复兴路 D．振兴路 5．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．点一定在第三象限 B．点到轴的距离为 C．若中、满足，则点在坐标轴上 D．若，则点一定在第一、第三象限角平分线上 6．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知点，点，直线轴，则点的坐标为_______． 7．（26-27八年级上·江苏淮安·阶段检测）已知点P的坐标为，则点P到x轴的距离为________． 8．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在的正方形网格（每小格边长为1）内有一只甲壳虫，它爬行的规律总是沿网格线先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．甲壳虫从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线记为：，其中第一个数表示左右爬行，第二个数表示上下爬行． (1)图中（_______，_______），（_______，_______）． (2)若甲壳虫的爬行路线为，计算甲壳虫爬行的路程． (3)若甲壳虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 9．（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）人们在野外时，会用“点钟方向”来描述方位．如图中，点O所在地为营地，巨石堆点A的位置在营地的北偏东方向，也可以描述为在营地的“2点钟方向”． (1)点B的位置有一个鸟巢，在营地的（     ）点钟方向．(2)在营地的北偏西方向150米处有一条小溪，用点C表示出小溪的位置．我们也可以说在营地的（     ）点钟方向有一条小溪． 10．（26-27八年级上·成都·期中）已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上；(2)点P到x轴、y轴的距离相等． 【强化训练】 1.（24-25八年级上·宁夏·期中）若点在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 2.（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知点在第四象限，当m为何值时，点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：，，例如，，那么（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏·专题练习）中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一角，横着走竖着走都可以），如图中“马”从点出发，可到达，中任意一点，若“马”从点出发连续走了次“日”字后到达点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5.（24-25七年级下·浙江·期末）已知点在第四象限，若的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 6.（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为 ． 7.（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）若点的坐标为，且在原点上，则点在第 象限，其坐标为 ． 8．（24-25八年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为．若是以为顶角的等腰三角形，点C在x轴上，则点C的坐标为 ． 9．（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 10．（25-26八年级上·江苏·期中）我们知道，如果已知一点相对于定点的距离和方向，那么这个点就被唯一确定了．这就是说，我们可用角度和距离来确定平面上点的相对位置． 在平面内取一个定点，叫做极点，引一条射线，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）．对于平面内任一点，用表示线段的长度，表示从到的角度，叫做点的极径，叫做点的极角，有序数对就叫做点的极坐标，这样就在平面上建立了极坐标系．极坐标为的点，可表示为．建立极坐标系后，给定和就可以在平面内唯一确定一点． 如图，如果点的位置为，点的位置为． (1)请表示点与点的位置；(2)若以为极点，为极轴，写出点、点和点的极坐标． 11.（25-26八年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上的一点，且． (1)求的长；(2)如图①，若点在轴上，且是等边三角形，则点的坐标是____________； (3)如图②，点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①当是直角三角形时，求的值；②当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $