精品解析：湖南岳阳市湘一南湖学校2026-2027学年上学期八年级强基班第一次数学独立作业

湘一南湖学校2026年下学期八年级强基班第一次独立作业数学 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 多项式的公因式是（ ） A. x B. y C. xy D. 4. 如图，是的一个外角．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，点C与点D是对应点，那么下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 宇树科技公司对A，B两款四足机器人在相同的环境下开展行走速度的测试，B机器人每小时行走的路程比A机器人多，B机器人行走所用的时间与A机器人行所用的时间相等．设A机器人每小时行走，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 是不等式的一个解 C. 的平方根是 D. 同旁内角相等，两直线平行 9. 如图，，若和分别垂直平分和，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 对于正数x，规定，例如：，，则的值为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024.5 D. 2025.5 二、填空题（共8小题，每小题3分） 11. 计算________． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围为_____． 13. 因式分解：________． 14. 如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 15. 已知一个三角形的三边长分别为5、x、8，则化简的结果为______． 16. 如果等式成立，则x的值为________． 17. 若关于的分式方程无解，则的值为________． 18. 如图，在中，，，已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）． （1）若，则的度数为_______； （2）当是等腰三角形时，的度数为______． 三、解答题（共8小题） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解分式方程： （1）； （2）． 22. 因式分解： （1）． （2）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 23. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 24. 为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《经典常谈》和《昆虫记》两种书籍，分别花费了1500元和1000元，并且订购的两种书籍数量相同，已知《经典常谈》的订购单价比《昆虫记》的订购单价多5元． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元； （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且此次订购的两种书籍总费用不超过1200元，则最多可购买多少本《经典常谈》？ 25. 已知，求分式的值．该题没有给出x，y的值，可用下面的两种方法求解：方法1：，，， ∴原式． 方法2：将分式的分子、分母同时除以，得，， ∴原式…… （1）请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． （2）若（a，b都不为0），请计算出的值． （3）已知，，，求的值． 26. 如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． （1）如图1，过F点作交于G点，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； （3）如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘一南湖学校2026年下学期八年级强基班第一次独立作业数学 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义判断选项即可，需注意是常数，不是表示未知数的字母． 【详解】解：A、是整式，A不符合要求． B、的分母含有字母，符合分式定义，B符合要求． C、的分母是常数，属于整式，C不符合要求． D、中是常数，分母不含字母，属于整式，D不符合要求． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．等式的右边不是几个整式的积的形式(含有分式)，不是分解因式，故本选项不符合题意； C ．从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意； D．从左到右的变形是整式乘法运算，不是分解因式，故本选项不符合题意； 故选 C． 【点睛】本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式． 3. 多项式的公因式是（ ） A. x B. y C. xy D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，该多项式的公因式为． 4. 如图，是的一个外角．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得，代入解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ，， ． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、不是同类项，无法合并，故D不符合题意； 故选：A． 6. 如图，，点C与点D是对应点，那么下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，根据对顶角的性质得出，再逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 根据对顶角性质得， 无法判断， 故选项D错误. 7. 宇树科技公司对A，B两款四足机器人在相同的环境下开展行走速度的测试，B机器人每小时行走的路程比A机器人多，B机器人行走所用的时间与A机器人行所用的时间相等．设A机器人每小时行走，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据A机器人的行走速度，表示出B机器人的行走速度，再根据B机器人行走与A机器人行走的时间，用“时间路程速度”即可列出方程． 【详解】解：∵A机器人每小时行走，B机器人每小时比A多走， ∴B机器人每小时行走， ∵B机器人行走的时间与A机器人行走的时间相等， ∴． 8. 下列命题中，真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 是不等式的一个解 C. 的平方根是 D. 同旁内角相等，两直线平行 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，不是对顶角，故A是假命题； B、将代入不等式，得，满足不等式，则是该不等式的一个解，故B是真命题； C、的平方根是，故C是假命题； D、平行线的判定定理是同旁内角互补，两直线平行，不是同旁内角相等，故D是假命题； 故选：B． 9. 如图，，若和分别垂直平分和，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理求出的度数，中垂线的性质，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵和分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴， ∴. 10. 对于正数x，规定，例如：，，则的值为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024.5 D. 2025.5 【答案】D 【解析】 【分析】先推导得到的规律，将原式两两配对求和，再计算单独的，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 原式中，与为一对，与为一对，…，与为一对，共对，这部分的和为． 又， ∴原式． 二、填空题（共8小题，每小题3分） 11. 计算________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据零指数幂的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不能为零． 利用分式的分母不能为零即可解答此题． 【详解】解：根据代数式在实数范围内有意义得， 解得，， 故答案为：． 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 14. 如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行和角平分线得到，，可得出结论，由此即可求得的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 同理可证， ∴， ∵，， ∴． 15. 已知一个三角形的三边长分别为5、x、8，则化简的结果为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． 由三角形三边关系定理得到，推出，，据此化简，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ， ，， 故答案为：11． 16. 如果等式成立，则x的值为________． 【答案】 0或 【解析】 【分析】需分类讨论初中阶段幂值为1的三类常见成立情形，逐一验证排除无意义或结果不符的取值． 【详解】解：根据有理数乘方的性质，等式在初中范围内有三类成立情形，逐一计算验证． ∵ 当指数为0且底数不为0时，幂为1， ∴ 令， 解得， 此时底数，符合条件， ，成立； ∵ 当底数为1时，1的任意次幂为1， ∴ 令， 解得， 此时指数，，成立.； ∵ 当底数为时，仅当指数为偶数时，幂为1， ∴ 令， 解得， 此时指数，为奇数， ，不符合条件，舍去； 综上，符合条件的的值为0或． 17. 若关于的分式方程无解，则的值为________． 【答案】 或1 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，结合分式方程无解的两类情形（整式方程无实根、整式方程的解为原方程的增根）计算对应值． 【详解】解：∵ 原分式方程的分母不能为0， ∴ 原方程的隐含取值限制为． 将原方程两边同乘（满足）去分母，得 整理得． 分两种情况讨论方程无解的条件： 当，即时，整式方程变为，无实数解，此时原分式方程无解． 当，即时，解得整式方程的解为． ∵ 原分式方程无解． ∴ 该解为原方程的增根，即． 代入得． 解得． 经检验，时，会使原方程分母为0，是增根，原方程无解． 综上，满足条件的值为或1． 18. 如图，在中，，，已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）． （1）若，则的度数为_______； （2）当是等腰三角形时，的度数为______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理；能根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，由三角形的内角和定理即可求解． （2）分类讨论：当时， 当时，当时，即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， 故答案为：． （2）分类讨论： 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合， ，题干要求，故该情况不存在； 故答案为：或． 三、解答题（共8小题） 19. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、零次幂及负整数次幂的计算，熟知这些法则是解题的关键．依次进行化简，然后按照运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为；值为 【解析】 【分析】先化简括号内式子，分解分母完全平方式，变除为乘，提取负号约分，再把代入最简分式求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 21. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原分式方程无解 （2） 【解析】 【分析】（1）（2）先把原方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 检验，当时，， 所以原分式方程无解． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 22. 因式分解： （1）． （2）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将变形为，先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）根据看错的项确定原多项式的各项正确系数，得到原多项式后分解因式； 【小问1详解】 解：      ； 【小问2详解】 解：， ∵看错一次项系数时，二次项系数与常数项正确， ∴原多项式的二次项为，常数项为， ， ∵看错常数项时，二次项系数与一次项系数正确， ∴原多项式的一次项为， ∴原多项式为， 将原多项式分解因式：． 23. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，点D是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《经典常谈》和《昆虫记》两种书籍，分别花费了1500元和1000元，并且订购的两种书籍数量相同，已知《经典常谈》的订购单价比《昆虫记》的订购单价多5元． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元； （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且此次订购的两种书籍总费用不超过1200元，则最多可购买多少本《经典常谈》？ 【答案】（1） 《昆虫记》单价为10元，《经典常谈》单价为15元 （2） 最多可购买40本《经典常谈》 【解析】 【分析】（1）利用两种书籍订购数量相等的等量关系列分式方程求解即可； （2）利用总费用不超过1200元的不等关系列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设《昆虫记》的订购单价为元，则《经典常谈》的订购单价为元， ∵ 订购的两种书籍数量相同， ∴ ， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解，且符合题意， ∴ ， 答：《昆虫记》的单价为10元，《经典常谈》的单价为15元； 【小问2详解】 解：设购买本《经典常谈》，则购买本《昆虫记》， ∵ 两种书籍总费用不超过1200元， ∴ ， 解得， ∵ 为非负整数， ∴ 的最大值为40， 答：最多可购买40本《经典常谈》． 25. 已知，求分式的值．该题没有给出x，y的值，可用下面的两种方法求解：方法1：，，， ∴原式． 方法2：将分式的分子、分母同时除以，得，， ∴原式…… （1）请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． （2）若（a，b都不为0），请计算出的值． （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）剩余解题过程补充如下： ， ， 原式． （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据分子、分母同时除以可得，即，再将整体代入求值即可； （2）由已知条件可得，然后整体代入代数式化简即可解答； （3）由已知条件可得a、b、c均不为0，，即；给原式的分子分母同除可得，再将整体代入求值即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵（a，b都不为0）， ∴， ∴ ． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴a、b、c均不为0，， ∴，即， ∵a、b、c均不为0， ∴． 26. 如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． （1）如图1，过F点作交于G点，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； （3）如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ； （2） 证明：过点作交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质. （1）易证，即可证明，即可解题； （2）过点作交于点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据可证，根据，，即可解题； （3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过作的延长线交于点，如图， ，，， ， 由（1）（2）知：，， ，， ， ， ， ． 故答案为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $