精品解析：湖南汨罗市第一中学2025-2026学年八年级上学期第一次数学学情自测

汨罗市一中2025-2026学年第一次月考试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各组数中为勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是（ ） A. B. C. D. 或 3. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中， 平分交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处，已知，则点到点的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，垂直平分，分别交于点D，E，且，则＝（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，点O是正六边形的中心，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 9. 第二十四届国际数学家大会会微的设计基础是1700多年周中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，点是的中点．连结，若，且在同一直线，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 5 10. 如图，在中，，点E是的中点，点F是内一点，且是，连接并延长，交于点G．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 在中，若，则的度数为______度． 12. 若一个直角三角形的两直角边长分别为4、5，则其斜边长为______． 13. 如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是________. 14. 如图，，若，则的长为______． 15. 一组对边相等，一组对角相等的四边形______（填“一定”或“不一定”）是平行四边形． 16. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2． 17. 如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，．若，，则的面积是 __． 18. 如图，在中，，，，动点P从点A出发在边上沿方向匀速运动，速度为，动点Q从点B出发在边上沿方向匀速运动，速度为．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，则当点P运动______秒时，为直角三角形． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题8分，第24、25题每题10分，第26题12分，共66分） 19. 如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，，． （1）求的度数； （2）求的长． 20. 如图， 是的中位线，延长 至点 ，使 ，连接 ， ． （1）求证：四边形 是平行四边形． （2）若，试判断的形状，并说明理由． 21. 如图，这是一个棱长为1cm的正方体空盒子（盒子表面厚度忽略不计）． （1）盒子外有一只蚂蚁从点A沿表面爬到相对的点B，求蚂蚁爬行的最短路程． （2）盒子内有一只飞虫从点A飞到相对的点B，求飞虫飞行的最短路程． 22. 小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，过点C作于点E，测得，（图中的点A，B，O，C在同一平面内）． （1）猜想此时与的位置关系，并说明理由； （2）连接，求的长． 23. 在四边形中，，，点、分别在边、上，且平分． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 24. 在中，，点是的中点，是延长线上一点，且． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，点是的中点，求证：． 25. 如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． （1）若，，求的度数； （2）求证：四边形为平行四边形； （3）连接，交于点O，若，，直接写出的长度． 26. 中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． （1）当点E在线段上，时，如图①，求证：； （2）当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系； （3）在（1）、（2）的条件下，若，，则_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汨罗市一中2025-2026学年第一次月考试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各组数中为勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是掌握：“满足的三个正整数、、称为勾股数，勾股数即三角形的三边长是满足勾股定理的逆定理，且三边长都是正整数的一组数”．根据勾股数的定义求解即可． 【详解】解：A、，，，不是勾股数，不符合题意； B、，，，不是勾股数，不符合题意； C、、、，不是正整数，，，不是勾股数，不符合题意； D、，，，是勾股数，符合题意． 故选：D． 2. 直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，掌握该定理即可解题． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是， 它的另一个锐角是， 故选：A． 3. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，掌握轴对称图形，中心对称图形的定义是关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意； B．选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C．选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项不符合题意； D．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，中， 平分交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形和角平分线的性质，通过等量代换得到，从而得到，从而解出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴ ． 5. 如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处，已知，则点到点的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得；本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，准确理解是解题的关键． 【详解】解：由题可得是直角三角形，是斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：， ∵， ∴， ∴点到点的距离是， 故选：D． 6. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解本题的关键．利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可． 【详解】解：，，， ， 少走的路长为， 故选：D． 7. 如图，在中，，垂直平分，分别交于点D，E，且，则＝（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，利用角平分线的性质求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：连接 ∵ 垂直平分， ∴平分， ， 故选：C． 8. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，点O是正六边形的中心，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据正多边形性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得，作于点，利用等腰三角形性质得到，根据30度所对直角边等于斜边一半求得，再利用勾股定理求得，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， 作于点， ，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形性质、等腰三角形性质、30度所对直角边等于斜边一半、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 9. 第二十四届国际数学家大会会微的设计基础是1700多年周中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，点是的中点．连结，若，且在同一直线，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，根据题意得推出是解题关键． 首先由点是的中点得到，求出，然后利用勾股定理求出． 【详解】解：如图所示， 由题意得：， ∵点是的中点 ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：B． 10. 如图，在中，，点E是的中点，点F是内一点，且是，连接并延长，交于点G．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】延长交的延长线于H，可证是的中位线，由中垂线的性质可得，可求，由“”可证，可得，根据线段的和差可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于H， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴是的中垂线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 在中，若，则的度数为______度． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形邻角互补求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 若一个直角三角形的两直角边长分别为4、5，则其斜边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方”是解题的关键，根据两直角边的长度，利用勾股定理可求出斜边的长度． 【详解】解：已知一个直角三角形的两直角边长分别为4、5，根据勾股定理可得， 其斜边长为． 故答案为：． 13. 如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据“”所需要的条件即可得到答案． 【详解】解：和有一条公共直角边， 根据“”证明，应添加的直接条件是． 故答案为：． 14. 如图，，若，则的长为______． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、三角形外角的定义及性质、含角的直角三角形的性质，作交于，由角平分线的性质可得，由平行线的性质可得，由三角形外角的定义及性质可得，最后由含角的直角三角形的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交于， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 一组对边相等，一组对角相等的四边形______（填“一定”或“不一定”）是平行四边形． 【答案】不一定 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 在平行四边形的边上取一点，连接，使，将绕点顺时针旋转至与重合，则四边形中，，，但四边形不是平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，，，但不是平行四边形． 故答案为：不一定． 16. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2． 【答案】49 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练运用勾股定理进行面积的转换是解题关键． 根据正方形的面积公式以及勾股定理，发现四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积即可解答． 【详解】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积， 故正方形A，B，C，D的面积之和． 故答案为：49． 17. 如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，．若，，则的面积是 __． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得，进而可得，再在中，利用勾股定理可得，从而求出的面积，进而可求出的面积，然后再根据已知易得，从而可求出的面积，最后根据等量代换可得，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接， ， ， 点是的中点， ， ， ， 的面积， 是边上的中线， 的面积的面积， ，， ， 的面积的面积， ， ， ， ， 的面积的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18. 如图，在中，，，，动点P从点A出发在边上沿方向匀速运动，速度为，动点Q从点B出发在边上沿方向匀速运动，速度为．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，则当点P运动______秒时，为直角三角形． 【答案】10或16 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再根据题意可得：从而可得，然后分两种情况：当时；当时；从而进行计算即可解答． 【详解】∵，，， ∴， 由题意得：， 分两种情况： 当时，如图： ∴， ∴， ∴ 解得：； 当时，如图： ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当点P运动10或16秒时，为直角三角形， 故答案为：10或16． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题8分，第24、25题每题10分，第26题12分，共66分） 19. 如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，，． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形． （1）根据，，，利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形； （2）利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴是直角三角形，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴在中，， ∴ 20. 如图， 是的中位线，延长 至点 ，使 ，连接 ， ． （1）求证：四边形 是平行四边形． （2）若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：是的中位线， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 解：为直角三角形； 理由：四边形是平行四边形， ， ， ， 是的中位线， ． ， ∴，， ∵， ∴，即， 为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，求出，根据平行四边形的判定可得结论； （2）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出，可得，，然后利用三角形内角和定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 21. 如图，这是一个棱长为1cm的正方体空盒子（盒子表面厚度忽略不计）． （1）盒子外有一只蚂蚁从点A沿表面爬到相对的点B，求蚂蚁爬行的最短路程． （2）盒子内有一只飞虫从点A飞到相对的点B，求飞虫飞行的最短路程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）画出正方体的侧面展开图，即可确定最短路径； （2）先确定的长度，即可根据勾股定理求解． 【小问1详解】 解：如图1，，，， ． 答：蚂蚁爬行的最短路程为． 【小问2详解】 解：如图2， ． 答：飞虫飞行的最短路程为． 【点睛】本题考查勾股定理与最短路径问题．注意“沿表面爬行”和“沿内部飞行”的区别． 22. 小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，过点C作于点E，测得，（图中的点A，B，O，C在同一平面内）． （1）猜想此时与的位置关系，并说明理由； （2）连接，求的长． 【答案】（1） ，理由如下： ∵于D，于E， ∴， 又∵根据题意得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）易证，再证，得出，即可得出； （2）先由已知得，则，再由勾股定理求出，再由勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 在中， 答：的长为． 23. 在四边形中，，，点、分别在边、上，且平分． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质， （1）如图，过点作于，由角平分线的性质可得，证明，得，可得结论； （2）由直角三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，即可求解； 掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 24. 在中，，点是的中点，是延长线上一点，且． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，点是的中点，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：延长到点N，使得，则， 连接， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形的特征量，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质． （1）取的中点M，连接，利用三角形中位线定理，勾股定理计算即可． （2）延长到点N，使得，则，连接，，证明四边形是平行四边形，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明即可． 【小问1详解】 取的中点M，连接， ∵点是的中点，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略． 25. 如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． （1）若，，求的度数； （2）求证：四边形为平行四边形； （3）连接，交于点O，若，，直接写出的长度． 【答案】（1） （2） 证明：四边形为平行四边形， ，，， ，， 是的中位线， ，， 为的中点， ， ，， ，， 四边形为平行四边形； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可； （2）由平行四边形的性质得，，，再证是的中位线，得，，证出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （3）连接，，，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接，，， ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ． 26. 中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． （1）当点E在线段上，时，如图①，求证：； （2）当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系； （3）在（1）、（2）的条件下，若，，则_______． 【答案】（1）证明：， ． ， ∴ ∴ ． ， ． ． ， ． ． 四边形是平行四边形， ． ； （2）图②：，图③： （3）1或7 【解析】 【分析】（1）求证，，得，所以，进而，所以； （2）如图②，当点E在线段延长线上，时，同（1），，得，结合平行四边形性质，得，所以；如图③，当点E在线段延长线上，时，求证，得，同（1）可证，，结合平行四边形性质，得，所以； （3）如图①，中，勾股定理，得 ，求得；如图②，，则,中，，可得图②中，不存在，的情况；如图③，中，勾股定理，得 ，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图②，当点E在线段延长线上，时， 同（1），， ∴ 四边形是平行四边形， ． ∴ 即； 如图③，当点E在线段延长线上，时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 同（1）可证， ∴ 四边形是平行四边形， ． ∴ 即 【小问3详解】 如图①，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ 中，,， 由，得； 如图②，，则,中，， ∴,与矛盾，故图②中，不存在，的情况； 如图③， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 中，， ∴ 由知，． 综上，或7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $