26.2 锐角三角函数的计算教学设计 2026-2027学年数学冀教版九年级上册

第2节 《锐角三角函数的计算》教学设计 文本解读 《锐角三角函数的计算》是冀教版九年级数学上册第26章"解直角三角形"的第2节，属于"图形与几何"领域中三角学的基础工具课。在26.1节中，学生已经建立了锐角三角函数的概念，并掌握了30°、45°、60°这几个特殊角的三角函数值。本节在此基础上，引导学生借助科学计算器解决两类基本问题：一是由已知锐角求它的三角函数值，二是根据已知的锐角三角函数值求锐角，并在操作探究中发现锐角三角函数的增减变化规律。锐角与它的三角函数值之间的一一对应关系，是本章后续学习的重要基础；规范使用计算器，也是学生必备的一项数学基本技能。本节起着承上启下的作用，既是特殊角三角函数知识的自然延伸，又为利用三角函数解决测量、航行等实际问题提供运算工具。 教学目标 1.【数学运算】会使用科学计算器由已知锐角求它的三角函数值，会根据已知的三角函数值求锐角，掌握"度"与"度、分、秒"之间的相互转换。 2.【逻辑推理】经历"计算—填表—观察—归纳"的探究过程，发现并归纳正弦值、余弦值、正切值随锐角变化的增减规律。 3.【数学建模】能运用计算器解决与锐角三角函数有关的简单实际问题，体会锐角与三角函数值之间的一一对应关系。 4.【应用意识】体会计算器等现代工具在数学学习与解决实际问题中的价值，感受数学与生活的紧密联系。 重点难点 教学重点：会用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求锐角。 教学难点：熟练运用计算器解决含三角函数值的实际问题，理解锐角与三角函数值之间的一一对应关系。 课时安排 1课时 教学过程 新课导入 （一）情境创设 2026年，我国自主研发的新型应急测绘无人机投入实战化训练。无人机从地面A点起飞后，沿与水平面成18°角的航线匀速爬升。工程人员想知道：无人机每沿航线前进1米，高度大约升高多少米？这需要求出18°角的正弦值。18°不是特殊角，它的三角函数值怎样得到呢？ （二）问题激趣 师：同学们，30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值我们已经烂熟于心，那么18°、37°、52°呢？总不能每个都去推导吧？ 生：可以用计算器！ 师：没错！计算器是数学学习和解决实际问题的重要工具。今天我们就一起学习——26.2 锐角三角函数的计算。（板书课题） 探究新知 任务一：温故知新，由角求值 1. 回顾旧知 请同学们说出30°、45°、60°角的各三角函数值，同桌互相检查。 2. 例1 求下列三角函数值（结果保留两位小数）： (1) sin18°； (2) tan30°36′。 解：(1)在计算器开机状态下，依次按键 sin、1、8、=，屏幕显示0.309 016 994，所以sin18°≈0.31。 (2)因为30°36′=30.6°，依次按键 tan、3、0、.、6、=，屏幕显示0.591 398 351，所以tan30°36′≈0.59。 【要点点拨】不同型号计算器的按键方式可能不同，使用前请查阅使用说明书；当角用度、分、秒表示时，可以先化成度再输入，也可以用°′″键直接输入。 3. 做一做 用计算器计算，并完成下表（结果保留两位小数）： 角α 15° 32° 47° 62° 80° sin α 0.26 0.53 0.73 0.88 0.98 cos α 0.97 0.85 0.68 0.47 0.17 tan α 0.27 0.62 1.07 1.88 5.67 观察上表，与同伴交流你发现的规律。 【要点点拨】sin α、tan α的值随锐角α的增大而增大；cos α的值随锐角α的增大而减小。当锐角接近90°时，正切值增大得越来越快。 文本探究 任务二：合作探究，由值求角 1. 认识第二功能键 已知锐角三角函数值求锐角的度数时，要用到正弦、余弦、正切键的第二功能 （有的计算器需先按SHIFT键或2ndF键），显示的结果以"度"为单位；再按°′″键（或DEG键），即可转换为度、分、秒的形式。 2. 例2 根据下列条件求锐角的大小（结果精确到1″）： (1)已知sin A=0.501 8，求锐角A； (2)已知cos α=0.523 7，求锐角α； (3)已知tan β=1.648 0，求锐角β。 解：(1)依次按键 SHIFT、sin、0.501 8、=，显示30.119 158 67，再按°′″键，显示30°7′9″，所以∠A≈30°7′9″。 (2)依次按键 SHIFT、cos、0.523 7、=，显示58.419 230 95，再按°′″键，显示58°25′9″，所以α≈58°25′9″。 (3)依次按键 SHIFT、tan、1.648 0、=，显示58.750 786 43，再按°′″键，显示58°45′3″，所以β≈58°45′3″。 【要点点拨】由值求角必须保证按键顺序正确；求角的结果如没有特别说明，一般精确到1″。 3. 练一练 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，用科学计算器求∠A的度数（结果精确到1′）。 解： 依次按键 SHIFT、sin、0.384 6、=，显示22.619 864，再按°′″键，得∠A≈22°37′。 【要点点拨】先依据三角函数定义把∠A的三角函数值表示出来，再由值求角；分数建议先化成小数输入。 文本探究 任务三：学以致用，服务生活 1. 例3 2026年春，某市推进老旧小区改造，在一处小区出入口修建了供轮椅通行的斜坡。该斜坡的铅直高度BC为0.9 m，水平宽度AC为2.7 m。按照相关建设标准，轮椅通行坡道的坡角一般不超过20°。请通过计算判断该斜坡是否符合建设标准（坡角结果精确到1′）。 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，由正切定义得 依次按键 SHIFT、tan、0.333 3、=，显示18.434 948，再按°′″键，得∠A≈18°26′。 因为18°26′＜20°，所以该斜坡符合建设标准。 【要点点拨】解决实际问题的一般步骤：构建直角三角形模型→依据已知边求三角函数值→由值求角→结合实际标准作出判断。 设计意图：以2026年城市更新中的无障碍设施改造为背景，让学生在真实情境中经历"建模—计算—判断"的全过程，发展数学建模素养与应用意识。 文本探究 任务四：拓展提升，深化理解 1. 例4 已知α、β均为锐角，cos α是方程2x²+5x−3=0的一个根，且cos β≥cos α，求α的度数及β的取值范围。 解：解方程 ，得 ，。因为0＜cos α＜1，所以 。又，所以α=60°。因为cos β≥cos α，且锐角的余弦值随角度的增大而减小，所以0°＜β≤60°。 【要点点拨】锐角与它的三角函数值是一一对应的：一个锐角确定时，三种三角函数值都唯一确定；比较三角函数值的大小时，要抓住增减规律——正弦值、正切值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小。 课堂小结 本节课我们借助科学计算器解决了锐角三角函数计算中的两类基本问题：由角求值与由值求角。由角求值时，开机后直接输入角度即可；由值求角时，要用好正弦、余弦、正切键的第二功能，并用°′″键完成"度"与"度、分、秒"的转换。通过"做一做"的填表探究，我们发现了锐角三角函数的增减规律：正弦值、正切值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小。锐角与三角函数值的一一对应关系，为我们后续利用三角函数解决测量、航行等实际问题铺平了道路。 作业布置 1. 基础作业：用计算器求下列各式的值（结果保留两位小数）：sin28°，cos65°，tan42°48′。（参考答案：0.47，0.42，0.93） 2. 提升作业：已知锐角α满足cos α=0.618，用计算器求锐角α（结果精确到1′）。（参考答案：α≈51°50′） 3. 拓展作业：查阅计算器使用说明书，探究如何用°′″键直接输入角度50°26′37″并求它的正切值，把你的按键顺序记录下来，与同伴交流。（参考答案：tan50°26′37″≈1.21） 板书设计 教学反思 本节课以学生动手操作为主线，计算器的使用放手让学生自主探究、小组互助，课堂参与度高。教学中发现，部分学生按键顺序易错，特别是"由值求角"后度、分、秒的转换，需要在后续学习中继续强化；由值求角与增减规律的综合运用，个别学生仍有困难，可在习题课上增设变式训练。总体来看，本节工具性课时较好地落实了数学运算与应用意识的核心素养要求。 $