28.4 垂径定理-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

课题

垂径定理

授课类型

新授课

授课人

教学内容

课本P188-191

教学目标

1.了解圆的轴对称性.

2.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其推论.

3.会用垂径定理进行简单的证明和计算.

4.了解直径、弦、弧之间的特殊关系.

教学重难点

重点：垂径定理及其应用.

难点：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.

教学准备

多媒体课件

教与学互动设计（教学过程）

设计意图

1.创设情境，导入新课

教师活动：

1.什么是轴对称图形?

2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?

3.你是用什么方法解决上述问题的？

(教师引导折叠课前准备的圆形纸片)

4.直径是圆的对称轴正确吗?

师生活动：学生思考后回答，教师点评，指出“直径是圆的对称轴”这个结论的错误原因.

师生归纳：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴.

通过问题引入和创设动手操作活动，激发学生学习兴趣，探索圆的轴对称性，引出本节内容，为本节课的学习做好铺垫.  

2.实践探究，学习新知

我们知道了圆是轴对称图形，利用圆的轴对称性，我们还可以发现圆的其他一些性质.

【探究一】 垂径定理

如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E.

教师活动：1.动手操作：将图画在课前准备的圆形纸片上，将☉O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合？哪些弧重合？

2.由此你能得出什么结论？尝试说出你的猜想.

通过探究，我们发现：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.

3.你能证明你得到的结论吗?

师生活动：学生在教师的引导下完成画图、折叠、观察、归纳、猜想，学生独立思考证明思路后，小组合作交流，小组代表板书证明过程，教师点评，规范书写格式，师生共同回忆归纳结论.

下面我们对这个结论进行证明.

已知：如图所示，在☉O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E.

通过学生动手操作、观察、分析、交流，教师引导归纳出垂直于弦的直径的性质，经历知识的形成过程，培养学生观察能力和归纳概括能力，提高分析问题、解决问题的能力，同时感受圆的对称美.

证明：如图所示，连接OA，OB。

在△OAB中，

∵OA=OB，OE⊥AB，

∴AE=BE，∠AOE=∠BOE.

∴.

∵∠AOC=180°-∠AOE，∠BOC=180°-∠BOE，

∴∠AOC=∠BOC.

∴AE=BE，.

归纳总结：

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.

几何语言：

∵如上图所示，在☉O中，CD为直径，CD⊥AB，

∴AE=BE，.

【探究二】垂径定理的推论

如图所示，在☉O中，直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.

思考：

(1)若AE=BE，能判断CD与AB垂直吗？与(或与)相等吗？说明你的理由.

(2)若(或)，能判断CD与AB垂直吗?AE

通过教师提出的问题，学生合作交流，共同分析解答，提高学生合作意识，加深对垂径定理推论的理解和记忆.