河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册第二十六章第三节）

冀教版九年级数学上册　第二十六章　解直角三角形

26.3　解直角三角形　分层作业

一、作品基础信息

二、设计背景与意图

（一）课标依据

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形的性质”与“图形的变化”领域，要求学生理解直角三角形的边角关系，会用锐角三角函数、勾股定理等知识解直角三角形，并能用它们解决简单的实际问题，发展运算能力和推理能力。本作业以“明晰概念—选择关系—规范求解—转化应用”为主线，把课标要求转化为可操作的分层任务，在“已知什么、求什么、用什么”的判断中发展运算能力和几何直观。

（二）教材分析

本节是冀教版九年级上册第二十六章“解直角三角形”的第三节，紧接26.1“锐角三角函数”和26.2“特殊角的三角函数值”。在前两节中，学生已建立锐角三角函数的定义、记住了30°、45°、60°角的三角函数值，本节则把定义和特殊值“用起来”，研究与解决“由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素”的问题，即解直角三角形。

教材先给出解直角三角形的概念，再整理出直角三角形中的三类关系：三边关系（勾股定理）、两锐角关系（互余）与边角关系（锐角三角函数），然后按“已知两边”“已知一边一角”两种基本类型，通过例题示范如何选择合适的关系式求未知元素，最后通过作高把非直角三角形转化为直角三角形求解。本节上承三角函数定义，下启26.4及后续解直角三角形的实际应用，是全章的

核心方法与工具。本节的数学重点是用直角三角形中的三类关系解直角三角形；难点是能根据已知条件合理选择关系式，并会作高把斜三角形转化为直角三角形。

（三）学情分析

1．已有基础：学生已经理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，会指出直角三角形中某锐角的对边、邻边与斜边，掌握勾股定理，并能熟练说出30°、45°、60°角的三角函数值。

2．主要困难：一是“有边有角、不知用哪个关系式”，面对已知条件不会选择合适的关系，常出现“该用正弦却用了余弦”的错误；二是已知边角求边时“乘、除”分不清，把求对边与求邻边用错；三是不善于把非直角三角形（如已知两边夹角的斜三角形）通过作高转化为直角三角形；四是没有意识到“只知道一个锐角（或两个锐角）不能确定三角形的大小”，对解直角三角形的条件缺乏整体认识。

3．分层依据：基于上述差异，把作业设计为A（基础巩固）、B（能力提升）、C（拓展探究）三个层次。A层面向全体学生，重在“懂概念、会选关系、能按基本类型求解”；B层面向大多数学生，重在“能处理含已知三角函数值、含非直角三角形的情形”；C层面向学有余力的学生，重在“把握解直角三角形的条件，体会化归思想，解决综合问题”。

（四）设计意图

1．控量提质，落实“双减”。全卷共9题，A层4题必做、B层3题选做、C层2题挑战，总量控制在22分钟以内，避免机械重复训练。

2．明晰概念，纠正误解。第1题从“解直角三角形的条件”入手，专门纠正“只知道两个锐角也能解直角三角形”的误解，为后续求解打下概念基础。

3．夯实关系，形成结构。第2题以填空形式集中复习三边关系、边角关系，帮助学生把勾股定理、互余关系与锐角三角函数三者联系起来，形成完整的工具结构。

4．按类求解，规范书写。第3、4题分别给出“已知一边一角”中求对边、求邻边的两种典型情形，训练“看已知、选关系、写步骤”的规范求解习惯。

5．由值求边，沟通数形。第5题由已知三角函数值出发解直角三角形，体现“由比定形、由边定大小”的过程。

6．作高转化，体会化归。第6、7、9题都需要先构造直角三角形再求解，让学生在“作高—转化—求解”中体会化归思想。

7．反思条件，把握本质。第8题以探究的方式引导学生说明“解直角三角形除直角外至少需要两个元素，且至少有一条边”，把解题经验上升为理性认识。

三、作业目标

（一）基础性目标（知识与技能）

1．理解解直角三角形的概念：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形，并知道解直角三角形至少需要已知两个元素（除直角外），且其中至少有一条边；

2．掌握直角三角形中的三类关系——三边关系（勾股定理）、两锐角关系（互余）和边角关系（锐角三角函数），并能根据已知条件解直角三角形（已知两边、已知一边一角）。

（二）发展性目标（过程与方法）

3．经历“分析已知—选择关系—规范求解”的过程，会依据已知条件选择合适的三角函数、勾股定理或互余关系求未知元素；

4．会通过作高（作垂线）把非直角三角形转化为直角三角形求解，体会化归思想，提高分析问题和解决问题的能力。

（三）素养性目标（核心素养）

5．在解直角三角形的过程中发展运算能力、推理能力和几何直观，养成有序、规范、严谨的计算习惯；

6．在等腰三角形、斜三角形等情境中发展模型观念和应用意识，感受解直角三角形作为解决几何问题工具的价值。

四、作业内容与目标对应表

说明：A层为必做题；B层为选做题（至少完成2题）；C层为挑战题（自主选择）。

五、作业评价

（一）评价方式