第三十章 直线与圆的位置关系（单元分层测试·能力提升卷）数学新教材人教版九年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三十章直线与圆的位置关系·能力提升（参考答案) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D A B A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.相交 12.90 13.2 14.（-2,23) 15.3-1 16.54 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.(1)解：当r=4时，直线与圆相离；理由如下： ∠ACB=90°，AC=8,BC=6,, :.AB=V62+82=10 1 ECDL4B,则)ABCD=)ACBC,即6x8=1OC0 2 .CD=4.8,即点C到直线AB的距离d为4.8： .4<4.8,即r<d, .直线AB与圆相离：2分 (2)解：当r=4.8时，直线与圆相切：理由如下： 由(1)可知，点C到直线AB的距离d为4.8； ..r=d .直线AB与圆相切；…4分 (3)解：当r=5时，直线与圆相交：理由如下： 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)可知，点C到直线AB的距离d为4.8， .5>4.8,即r>d, .直线AB与圆相交6分 18, 【详解】(1)解：正五边形ABCDE内接于⊙O, 10c-w*号-14 ∠ADC=5∠A0C=72,3分 2 (2)由(1)得∠A0C=144°， ⊙0的半径为1， S=mrr_144元x122z 扇形A0C(阴影部分)的面积为：0一360一360°5.6分 19.(1)证明：如图，连接OM, B M D AB为⊙O的直径， .∠ACB=90° :CM平分∠ACB, 、1 ∠ACM=∠ACB=45° 2 由圆周角定理得∠AOM=2∠ACM=90°，即OM⊥AB, ,MN是⊙O的切线， ∴.OM⊥MN .MN∥AB.3分 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：，∠ABC=30°， .由圆周角定理得：∠AOC=2∠B=60°， MN∥AB .∠N=∠AOC=60°， 在RtAOMN中，MN=25 .OM =MN.tan N=23x3=6 ∴.AB=2OM=12」 在Rt△ABC中，∠B=30°， BC=AB-cos30°=12x 2 =6v ..6分 20. 【详解】(1)证明：连接OA并延长，交BC于点E,连接OC, D :AD切⊙0于A, .OA⊥AD、 ,四边形ABCD是平行四边形， .ADI BC.ABII CD .AE⊥BC, .A-AC AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB, .∠ACD=∠ABC, .∠ACD=∠ACB. .AD I BC. 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAC=∠ACB, .∠DAC=∠ACD. .OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA, .∠OCA+∠ACD=∠OAC+∠DAC=90°，即OC⊥CD, .0C是⊙0半径， .CD是⊙0的切线.3分 (2)解：连接OB,设⊙0半径为r, OA⊥BC, :BE=IBC=2 在R△ABE中，AE=VAB2-BE2=25-2=4, 设OE=x,则r=4-x, 在Rt△OEB中，r2=x2+22, :(4-x=2+4 解得x3 ’ r=435 22、6分 21.)0W=v20c 证明：过O作OE⊥CN,交CN于点E,如图所示： 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B W 图1 .∠OEC=∠OEN=90°， .ON⊥AB. .∠ONA=90°， ∠AWC=60°， .∠CN0=30°， .ON =20E. ∠COD=90°，OC=OD ∴△COD是等腰直角三角形，即∠ODE=45°， .∠OEN=90° .0E=0 Dxsin∠0DE=Y5oD 2 ,0N=20E=-2x50D=20D=N20C 2 :…4分 (2)解：延长DC交CD于点F, D M F 图2 NC是⊙O的切线， ∴.∠0CN=90. 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠COD=90°， ..OD//NC. ∠CNB=45°，ON⊥AB,即∠ONB=90°， ∴.∠OWC=45° ∴.△OCN是等腰直角三角形， ..OC=CN, .OC=OD, ..OD=NC, .四边形CDON是平行四边形， .ON∥CD .∠CFN=180°-∠OWB=90°， ,摩天轮直径为100， ∴.CW=OC=0D=50. CD=VOD2+OC2=502 CF=CNxsin /CNF=252 DF =CD+CF=752 D 即此时小亮所在处到地面的距离 75V2m8分 22.(1) 证明：连接OC, B D E :BD是⊙O的直径， ∴.∠BAD=90° ,点I是△ABD的内心， .AI平分∠BAD, .∠BAC=45°， 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B0C=2∠BAC=90°， .CE∥BD .∠OCE+∠B0C=180°， .∠0CE=90°， .OC⊥CE. .OC是⊙0的半径， .CE是⊙O的切线；4分 (2)解：过B作BF⊥CE于点F,则∠BFE=∠BFC=90°， ∴.∠BFC=∠OCF=∠BOC=90° ∴四边形BOCF是矩形， .OC=OB, ∴四边形BOCF是正方形， .BF=CF=OB. 由CE-号0B,设OB=3x,则BF=CF=3x,CB=4x 3 .'.EF =CE-CF=x, 在RtABEF中，由勾股定理得：BE2=BF2+EF2, :(21o=3x)}2+x2 .x=2(负值已舍去)， .EF=2,BF=6 :8=SAs+SE方形一S形X =x2x6+6_90rx6d 2 360 =42-9π.8分 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23. 【详解】(I)解：如图，过点D作DE⊥AB,连接CD, ID E B.:∠C0D=60°0C=OD .△COD为等边三角形， ∴.∠OCD=60°，CD=OC=OD=18, :优弧COD与直线AB相切于点C, ∴∠OCB=90° .∠DCE=30°」 1 DE=CD)×18=9 2 故点D到直线AB的距离为9 答：9.2分 (2)①解：据题可知，若直线I与优弧COD相切时，可分两种情况讨论， 如图，当直线I位于OC左侧时， 与优弧 相切， D B.:1 COD .直线l⊥OM, 直线0C, .OC⊥OM, ∠M0C=90°， 则转动时间为 90-1.5秒： 如图，当直线1位于OC右侧时， 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与优弧 相切， A B..I COD .直线l⊥OM, ~直线IOC, .OC⊥OM, .∠M0C=90°， ∴OM从OC出发，顺时针旋转的度数为270°， 270=22.5秒： 则转动时间为12 故当1=7.5秒或1=22.5秒时，直线l与优弧C0D相切. 答：7.5或22.5.5分 ②解：连接ON,过点O作OF⊥MN,MN与AB交于点K, 、.0 D AK B 当t=5,∠M0C=12°×5=60°」 :优弧COD与直线AB相切于点C, .OC⊥AB, 直线Il0C, 直线I⊥AB 直线1OF, 四边形OFKC为矩形， .∠F0C=90° .∠FOM=30°， 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FM=TOM-10C-9, 2 0F=V182-92=95 .OM=ON =18 .MN=2FM=18,∠MON=2×∠FOM=60°， .S.ow-jxOFxMN-1x9/3xI8-81/3 2 2 S扇形ON 60-元-182=54元， 360 S批=54π-81V5 54π-81V5 8分 24.(1) 证明：因为OO是∠BAC的一个内切圆， 不妨设⊙O与AB、AC分别相切于点D、E,如图②， 连接OA、OD、OE B 所以 C OD⊥ABOE⊥ACOD=OE 点O在∠BAC的平分线上；.4分 (2)解：如图，设⊙0与AB相切于点D, B 图③ 由(1)可得OA平分∠BAC ∴.∠DA0=60° 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :OD=0Asin60°=2 5 2 =5 3π 的周长为 8分 (3)解：如图，连接A0,OW 图④ 由(1)可得OA平分∠BAC .∠NA0=30° :ON⊥AO时，ON最小， 当ON1A0时，ON=AN-sin∠WA0=8×=4 2 ⊙N面积的最小值为π×4=16m12分 25. 【详解】(1)解：如图，内切圆圆心为O,过O分别作AB,AC BC的垂线段，垂足分别为D、E、F, 连接OA、OB、OC,则OD=OE=OF=R, A .∠A=30 设BC=x,则4B=2x,AC=V5x」 由内切圆可得，CE=CF=R, .AD=AE=AC-R,BD=BF=BC-R, 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AD+BD=AC+BC-2R. :.R=4C+BC-AB-3x-x=1 2 2 解得*V3+1 .AB=2x=2V3+2 V3+2 即斜边长为 2W3+2 故答案为： ;5分 (2)解：由题意可知大⊙O与△ABC相切，如图，过O作AB、ACBC的垂线段，垂足分别为MN P,连接OA、OB、OC, D 大 的直径为 N ⊙0 70mm ..OM =OP=ON =35mm, :∠B=60°， ∴∠0BN=∠0BM=30,∠A0C=90+)∠B=120, ∴.BM=BW=35√3mm AM=AP,CN=CP, ..C.ABC=AB+BC+AC =BM+AM+AC+BN+CN BM+BN+AP+CP+AC =70W3+2AC ∴要使△ABC的周长最小，则求AC最小值即可， 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，作△AOC的外接圆⊙Q,连接OQ,过Q作QH⊥AC于点H, .·∠A0C=120 ∴.∠AQC=120° 设04=0c=0=r·则AC-5,QH= :QH+OP≤OQ 1 35+2≤， r≥70， 4C=v3r≥705，即当4c=705 ，有最小值， 此时C4c=705+2AC=2103mm Se=4B+BC+4C)-R=xC度R=x2105x35=36753(mm.2分 2 13/13 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三十章 直线与圆的位置关系·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，的顶点在上，边经过圆心，且边与相切于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用圆的切线的性质得出直角，然后利用等边对等角以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 3．在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点B在内，那么的半径长r可以是（     ） A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】C 【分析】先根据切线性质得到的半径，再用勾股定理计算两圆圆心距，结合点B在内和两圆相交的条件得到r的取值范围，最终选出符合范围的选项． 【详解】解：∵ 四边形是矩形，，，与直线相切 ∴的半径， 由勾股定理得两圆圆心距 ∵ 点在内，半径为，点到圆心的距离为 ∴ ， 即 ∵ 与相交， ∴两圆相交满足 代入，得 解不等式得 结合 得的取值范围为 选项中只有符合该范围． 4．如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由、是的切线，得；由、和、分别是的切线，得、；将的周长转化为，再替换为，进一步转化为，结合的长度计算结果． 【详解】解：，分别相切于点， ， ，分别与相切于点， ， 分别与相切于点， ， ． 5．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形的内切圆半径求出正方形边长，再根据勾股定理以及外接圆半径和正方形对角线的关联，求出外接圆半径，最后根据求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的内切圆半径是3， ∴正方形边长为6， 根据勾股定理，正方形对角线长度为： ， ∴正方形的外接圆半径为：， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了正方形内切圆与外接圆的性质、勾股定理、圆环面积的计算方法，理清正方形边长与其内切圆半径、外接圆半径之间的数量关系是解题的关键． 6．不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘分别与相切于点A、B，若该圆半径是1，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质得，再说明，可得，，接下来根据勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得． ∴． 7．如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）分割四边形，利用面积和建立方程． 设内切圆圆心为，半径为，利用，即；代入，，，解得． 【详解】解：设内切圆圆心为，半径为，连接及四个切点（如图）； 根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形的各边垂直。 ∵， ， ∴， 即， ∴． 故选：B． 8．如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】过点分别作，，垂足为点，延长交于点F，则，那么平分，再由等腰三角形的性质得到，而由勾股定理可得，那么，再找到外切和内切时的临界位置，根据勾股定理建立方程求解即可得到的取值范围． 【详解】解：过点分别作，，垂足为点，延长交于点F， ∵在边、上截得的弦长相等， ∴， ∴平分 ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 当与外切时，连接，设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； 当与内切时，连接， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； ∴与相交时，， ∴B符合题意． 9．如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形的中心O重合，且与边，分别相交于点G，H．图中阴影部分的面积记为S，三条线段，，的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，S和l的值分别是（     ） A．4， B．，4 C．，6 D．S和l的值不能确定 【答案】B 【分析】连接，，．证明，，，即可得到，． 【详解】解：如图，连接，，，过作于， 根据正六边形的性质得， ，，， ∴，和是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 同理可得 ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ． ∴S和l的值分别是，4． 10．如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为，此时切线长最小，求出相关点的坐标，利用全等三角形得出相等的边，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为， ∵的坐标为， 设直线与轴，轴分别交于， 当时，；当时，， 解得； ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵恒成立，且根据垂线段最短， ∴此时，值最小，则的值也最小， ∴切线长的最小值为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 【答案】相交 【分析】本题考查直线和圆的位置关系．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为5，圆心到直线的距离为2， ∴, ∴直线与圆相交， 故答案为：相交． 12．如图，点为正八边形的中心，连接、，则的度数为_________． 【答案】90 【详解】解：根据正多边形的性质，正n边形的每个中心角为， ． 13．如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 【答案】2 【分析】因为已知正方形面积，所以可先通过正方形面积公式求出正方形的边长．因为正方形内接于圆，所以正方形的对角线是圆的直径，结合勾股定理可求出正方形的对角线长度．因为圆的半径是直径的一半，所以用求得的对角线长度除以2即可得到圆的半径． 【详解】解：连接，设正方形边长为， ∵正方形面积为， ∴． ∵正方形内接于， ∴正方形的对角线为的直径． 设半径为r， ． 根据勾股定理，： ∴， 代入， 得， 化简得． ∵半径为正数， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，半径为4的正六边形的中心为点O，顶点F，C在x轴上，顶点E的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接，作轴于点，由正多边形的性质可得，，从而可得为等边三角形，由等边三角形的性质可得，再由勾股定理计算，然后根据点E所在象限即可写出坐标，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接，作轴于点， ∵在平面直角坐标系中，半径为4的正六边形的中心为点O， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴顶点E的坐标是， 故答案为：． 15．如图，中，，，以点为圆心的与相切于点，若，则的半径为____________． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得出，设的半径为，分别在和中利用锐角三角函数或特殊角性质表示出和的长，根据列出关于的方程求解即可． 【详解】解：连接，的半径为， 与相切于点， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 即， 解得：， 即的半径为． 16．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是______． 【答案】54 【分析】本题主要考查切线的性质、三角形的内切圆、勾股定理、全等三角形的判定与性质，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 由，，可得，如图：连接，根据切线的性质易证可得：，同理可得：，设，则，再根据勾股定理列方程求得的值，进而确定，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 如图：连接， ∵是的内切圆，三个切点分别为D，E，F， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得：或负值舍去， ∴． ∴． 故答案为：54． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，．以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)解：当时，直线与圆相离；理由如下： ∵， ∴， 作，则，即， ∴，即点到直线的距离为； ∵，即， ∴直线与圆相离； (2)解：当时，直线与圆相切；理由如下： 由（1）可知，点到直线的距离为； ∴， ∴直线与圆相切； (3)解：当时，直线与圆相交；理由如下： 由（1）可知，点到直线的距离为， ∵，即， ∴直线与圆相交. 【分析】勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据与的大小关系，判断位置即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 18．如图，已知正五边形内接于，连接，，． (1)求的度数； (2)若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，扇形面积的计算，解题关键是掌握正多边形的性质与扇形面积公式． （1）由正五边形的性质，可得，即可解答； （2）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：正五边形内接于， ； （2）由（1）得， 的半径为， 扇形（阴影部分）的面积为：． 19．如图，内接于，是的直径，平分，分别交、于点、，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴． ∵平分， ∴， 由圆周角定理得，即， ∵是的切线， ∴． ∴． (2) 【分析】（1）先利用直径所对圆周角为直角得到，结合角平分线算出，再依据圆周角定理推出圆心角，即，根据切线性质知，即可得出结论； （2）由圆周角定理求出，结合得到，在直角中通过正切运算求得圆半径，进而得到直径，最后在中借助角的余弦值计算出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴由圆周角定理得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 20．已知，过三点的与相切于点． (1)如图，若，求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长，交于点E，连接，由四边形是平行四边形可证明,，可得，再证明即可； （2）连接设半径为，在中，，设，则，在中由勾股定理得，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点E，连接， ∵切于， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （2）解：连接设半径为， ∵， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 21．如图1是大型摩天轮的图片，小明、小亮和小红去乘坐摩天轮，如图2，摩天轮中，钢架和支架支撑整个摩天轮，为水平地面，点在点的正下方水平地面上，点在上，当小明乘坐的座舱在点时，小亮乘坐的座舱恰好在点，且，小红在点处等待乘车，已知的直径为． (1)如图2，当，，恰好在一条直线上时，从点看点的仰角为，判断与的数量关系并证明； (2)由于人多，小红一直未登上摩天轮，如图3，当小红的视线恰好为的切线时，从点看点的仰角为，求此时小亮距地面的高度． 【答案】(1)； 证明：过作，交于点，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，即， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）过作，交于点，利用角的转化求出，得到，证明是等腰直角三角形，即，通过，即可求解； （2）延长交于点，证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，证明四边形是平行四边形，得到，用勾股定理求出的长，用三角函数的比值关系求出的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：延长交于点， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵，，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵摩天轮直径为， ∴， ∴， ∴， ∴即此时小亮所在处到地面的距离为 22．如图，点，，在上，是直径，点是的内心，连接，并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2)． 【分析】（）连接，由圆周角定理得，又点是的内心，即平分，所以，通过圆周角定理得， 然后通过平行线的性质可得，最后通过切线的判定方法即可求证； （）过作于点，则，证明四边形是正方形，所以，由，设，则，，，由勾股定理得，即，求得，所以，，再由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由，设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积公式，三角形内心，切线的判定，正方形的判定与性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 23．如图，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)点D到直线AB的距离为______； (2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______秒； ②当时，求阴影部分面积． 【答案】(1) (2)①或　② 【分析】本题考查圆的基本性质，图形面积计算，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）利用切线性质得到，结合为等边三角形，通过含角的直角三角形性质求出垂线段的长度即可； （2）①根据切线性质和平行线性质，分在左侧、右侧两种情况，分别计算转过的角度，再除以转速得到时间； ②先由求出，再利用矩形、直角三角形、等腰三角形的性质求出的高与底，用扇形面积减去三角形面积得到阴影面积． 【详解】（1）解：如图，过点作，连接， ，， 为等边三角形， ，， 优弧与直线相切于点， ， ， ． 故点D到直线AB的距离为． 答：． （2）①解：据题可知，若直线与优弧相切时，可分两种情况讨论， 如图，当直线位于左侧时， 与优弧相切， 直线， 直线， ， ， 则转动时间为秒； 如图，当直线位于右侧时， 与优弧相切， 直线， 直线， ， ， 从出发，顺时针旋转的度数为， 则转动时间为秒． 故当秒或秒时，直线与优弧相切． 答：或． ②解： 连接，过点作，与交于点， 当，， 优弧与直线相切于点， ， 直线， 直线， 直线， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 答：． 24．【定义】对于给定的一个大于且小于的角，我们这样定义它的内切圆：如果一个圆与这个角的两边都相切，那么我们称这个圆是这个角的内切圆．例如：如图①，都与的两边相切，所以都是的内切圆． (1)【探究】已知是的一个内切圆．求证：点在的平分线上．以下是小明的部分证明过程： 证明：因为是的一个内切圆， 不妨设与分别相切于点，如图②， 连接． …… 请你帮助小明完成上述证明过程． (2)【应用】如图③，是的一个内切圆，连接若，则的周长为_____． (3)【拓展】如图④，，点在边上，．若是的一个内切圆，以点为圆心，的长为半径作圆，则面积的最小值为_____． 【答案】(1) 证明：因为是的一个内切圆， 不妨设与分别相切于点，如图②， 连接． 所以，， 点在的平分线上； (2) (3) 【分析】（1）根据切线的性质可得，，根据圆的半径相等可得，结合角平分线的判定定理，即可得证； （2）根据题意求得，再根据圆的周长公式，即可求解； （3）根据（1）可得点在的平分线上，则时，最小，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设与相切于点， 由（1）可得平分 ∴ ∴ ∴的周长为； （3）解：如图，连接 由（1）可得平分 ∴ ∵时，最小， ∴当时， ∴面积的最小值为 25．提出问题以及解决问题： (1)问题提出 如图1，在直角中，，是的内切圆，若的半径是1，则的斜边长为 ． (2)问题解决 小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在附近区域，所以玉镯要尽可能贴着边和边，观察到和的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过边和边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的（点A在上，点C在上），应使得尽可能短，同时的周长和面积尽可能的小．经过测量，，，根据顾客的需求，手镯的内圈直径为，外圈直径为，即小圆的直径为，大圆的直径为 请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在和上的点A和点C使得覆盖大圆的周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出的周长及面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）利用直角三角形内切圆半径公式即可得解； （2）参照（1）中思路可得，所以要使的周长最小，则求最小值即可，由，识别定角定高模型，进而作的外接圆求解即可． 【详解】（1）解：如图，内切圆圆心为O，过O分别作的垂线段，垂足分别为D、E、F，连接，则， ， 设，则，， 由内切圆可得，， ，， ， ， 解得， ，即斜边长为， 故答案为：； （2）解：由题意可知大与相切，如图，过O作的垂线段，垂足分别为M、N、P，连接， 大的直径为， ， ， ，， ， ，， ， 要使的周长最小，则求最小值即可， 如图，作的外接圆，连接，过Q作于点H， ， ， 设，则，， ， ， ， ，即当时，有最小值， 此时， 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三十章 直线与圆的位置关系·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，的顶点在上，边经过圆心，且边与相切于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点B在内，那么的半径长r可以是（     ） A．6 B．10 C．14 D．18 4．如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 5．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）． A． B． C． D． 6．不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘分别与相切于点A、B，若该圆半径是1，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 7．如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形的中心O重合，且与边，分别相交于点G，H．图中阴影部分的面积记为S，三条线段，，的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，S和l的值分别是（     ） A．4， B．，4 C．，6 D．S和l的值不能确定 10．如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（   ） A． B．2 C． D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 12．如图，点为正八边形的中心，连接、，则的度数为_________． 13．如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 14．如图，在平面直角坐标系中，半径为4的正六边形的中心为点O，顶点F，C在x轴上，顶点E的坐标是_____． 15．如图，中，，，以点为圆心的与相切于点，若，则的半径为____________． 16．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，．以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由． (1)； (2)； (3)． 18．如图，已知正五边形内接于，连接，，． (1)求的度数； (2)若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积． 19．如图，内接于，是的直径，平分，分别交、于点、，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．已知，过三点的与相切于点． (1)如图，若，求证：是的切线； (2)若，求的半径． 21．如图1是大型摩天轮的图片，小明、小亮和小红去乘坐摩天轮，如图2，摩天轮中，钢架和支架支撑整个摩天轮，为水平地面，点在点的正下方水平地面上，点在上，当小明乘坐的座舱在点时，小亮乘坐的座舱恰好在点，且，小红在点处等待乘车，已知的直径为． (1)如图2，当，，恰好在一条直线上时，从点看点的仰角为，判断与的数量关系并证明； (2)由于人多，小红一直未登上摩天轮，如图3，当小红的视线恰好为的切线时，从点看点的仰角为，求此时小亮距地面的高度． 22．如图，点，，在上，是直径，点是的内心，连接，并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 23．如图，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)点D到直线AB的距离为______； (2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______秒； ②当时，求阴影部分面积． 24．【定义】对于给定的一个大于且小于的角，我们这样定义它的内切圆：如果一个圆与这个角的两边都相切，那么我们称这个圆是这个角的内切圆．例如：如图①，都与的两边相切，所以都是的内切圆． (1)【探究】已知是的一个内切圆．求证：点在的平分线上．以下是小明的部分证明过程： 证明：因为是的一个内切圆， 不妨设与分别相切于点，如图②， 连接． …… 请你帮助小明完成上述证明过程． (2)【应用】如图③，是的一个内切圆，连接若，则的周长为_____． (3)【拓展】如图④，，点在边上，．若是的一个内切圆，以点为圆心，的长为半径作圆，则面积的最小值为_____． 25．提出问题以及解决问题： (1)问题提出 如图1，在直角中，，是的内切圆，若的半径是1，则的斜边长为 ． (2)问题解决 小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在附近区域，所以玉镯要尽可能贴着边和边，观察到和的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过边和边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的（点A在上，点C在上），应使得尽可能短，同时的周长和面积尽可能的小．经过测量，，，根据顾客的需求，手镯的内圈直径为，外圈直径为，即小圆的直径为，大圆的直径为 请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在和上的点A和点C使得覆盖大圆的周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出的周长及面积；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三十章直线与圆的位置关系·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，△ABC的顶点B,C在⊙0上，边AC经过圆心0，且边AB与⊙0相切于点B.若∠C=20°，则 ∠BAC的度数为(） A.25 B.40° C.50° D.65 2.如图，⊙0是△ABC的内切圆，∠BOC=117°，则∠A的度数为() A B A.54° B.55° C.56° D.60 3.在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,OB与直线AD相切.如果OD与OB相交，且点B在OD内，那 么⊙D的半径长r可以是() A.6 B.10 C.14 D.18 4.如图，PA,PB分别与OO相切于点A,B,FG与⊙O相切于点E,交PA于点F,交PB于点G,若 PA=5cm,则aPFG的周长为() 119 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A G B A.5cm B.7cm C.9cm D.10cm 5.在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.下图是某玉璧 的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.己知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是 A.3π B.5π C.7π D.9π 6.不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图 ①)，图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O),已知帽子的边缘PA,PB分别与⊙0相 切于点A、B,若该圆半径是1，∠P=60°，则图中阴影部分的面积是() D 7777777777777 77777分777777 图① 图② A.3-π 3 B.45- 3 C.5 D.25-π 3 7.如图是一张四边形纸片ABCD,已知AB=BC=3dm,AD=CD=6dm,∠A=∠C=90°，要在该纸片中 剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是() 219 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.1dm B.2dm C.√3dm 8.如图，已知△1BC 中， ∠BAC=90°AB=AC=3V ,半径为1的0经过点4，且在边4B、1C上裁 ⊙0 得的弦长相等，点P在边BC上，如果以PB为半径的⊙P与⊙O相交，那么PB的长可能是() B A.1 B.2 C.3 D.4 9.如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与 边AB,CD分别相交于点G,H.图中阴影部分的面积记为S,三条线段GB,BC,CH的长度之和记为 1,在大正六边形绕点O旋转过程中，S和1的值分别是() 0. A G B A.4,3 B.25.4 c.33 ,6 D.S和1的值不能确定 10.如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(-1,0)，⊙A的半径为1，点P为直线 、3 4r+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q,求切线长P四的最小值() 319 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2N2 B.2 c.2 D.4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.若⊙0的半径为5，圆心O到直线AB的距离为2，则直线AB与⊙0的位置关系是 (填 “相交”、“相切”或“相离”) 12.如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，连接OD、OF,则∠DOF的度数为 A 13.如图，面积为8的正方形ABCD内接于⊙0，则⊙0的半径为 D 0. 14.如图，在平面直角坐标系xO少中，半径为4的正六边形ABCDEF的中心为点O,顶点F,C在x轴上， 顶点E的坐标是 E 15.如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，以点A为圆心的⊙A与BC相切于点D,若BC=2,则⊙A 419 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的半径为 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙0是△ABC的内切圆，三个切点分别为D,E,F,若AB=15, AF=9,则△ABC的面积是 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=8,BC=6.以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作 圆，试问所作的圆与斜边AB所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由. C B (1)r=4: (2)r=4.8: (3)r=5. l8.如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OA,OC,AD 519 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求∠ADC的度数： (2)若⊙0的半径为1，求扇形AOC(阴影部分)的面积. 19.如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，CM平分LACB,分别交AB、⊙0于点D、M,过点 M作⊙O的切线，交CO的延长线于点N. 夕 D A (1)求证：MN∥AB； (2②)若∠ABC=30°.MN=25BC ,求的长 20.已知ABCD,过A,B,C三点的⊙0与AD相切于点A. B 备用图 (I)如图，若∠ACD=∠B,求证：CD是O0的切线： ②若4B=25,BC=4,求0的￥径 619 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.如图1是大型摩天轮的图片，小明、小亮和小红去乘坐摩天轮，如图2，摩天轮⊙0中，钢架OM和 △MAB支架支撑整个摩天轮，AB为水平地面，N点在点O的正下方水平地面上，点M在ON上，当小明 乘坐的座舱在点C时，小亮乘坐的座舱恰好在点D,且∠COD=90°，小红在N点处等待乘车，己知⊙0 的直径为100m. D N 图1 图2 图3 (1)如图2，当N,C,D恰好在一条直线上时，从点N看点C的仰角为60°，判断ON与OC的数量关系 并证明； (2)由于人多，小红一直未登上摩天轮，如图3，当小红的视线NC恰好为⊙0的切线时，从点W看点C的 仰角为45°，求此时小亮距地面的高度. 22.如图，点A,B,D在⊙O上，BD是直径，点I是△ABD的内心，连接AI,并延长交⊙O于点C, 过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E. (1)求证：CE是⊙0的切线； (②诺BE=20,CB=0B,求图中阴影部分的面积. 23.如图，在⊙0中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧COD与直线AB相切于点C,且OC=18. 719 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A C A C 图1 图2 (I)点D到直线AB的距离为 (2)如图2，优弧COD上存在一动点M,OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒12°，转动时 间为t秒.当点M运动至点D处时，停止转动.过点M作直线I∥OC,直线与优弧COD交于另一点N, ①当直线I与优弧COD相切时，t的值为_秒： ②当1=5时，求阴影部分面积. 24.【定义】对于给定的一个大于0°且小于180°的角，我们这样定义它的内切圆：如果一个圆与这个角的 ⊙0⊙02， 两边都相切，那么我们称这个圆是这个角的内切圆.例如：如图①， 郁与<BAC 两边相切，所 以00⊙0 都是<BAC 的内切圆 B B B B 图① 图② 图③ 图④ (I)【探究】已知⊙0是∠BAC的一个内切圆.求证：点O在∠BAC的平分线上.以下是小明的部分证明过 程： 证明：因为⊙0是∠BAC的一个内切圆， 不妨设⊙O与AB、AC分别相切于点D、E,如图②， 连接OA、OD、OE. 请你帮助小明完成上述证明过程， (2)【应用】如图③，⊙0是∠BAC的一个内切圆，连接0A若∠BAC=120°，0A=2,则⊙0的周长为 8/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)【拓展】如图④，∠BAC=60°，点N在边AB上，AW=8.若⊙0是∠BAC的一个内切圆，以点N为 圆心，NO的长为半径作圆，则ON面积的最小值为一· 25.提出问题以及解决问题： D 图1 图2 备用图 (1)问题提出 如图1，在直角△ABC中，∠A=30°，⊙0是△ABC的内切圆，若⊙0的半径是1，则△ABC的斜边长为_， (2)问题解决 小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石BDFE进行切割设计，顾客首 先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计.由于该原石成色最好的部分在∠B附近区域，所以玉 镯要尽可能贴着BE边和BD边，观察到EF和DF的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过DF 边和EF边.根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打 磨.为了最大限度地利用该石材，切割出的△ABC(点A在BD上，点C在BE上)，应使得AC尽可能短， 同时△ABC的周长和面积尽可能的小.经过测量，∠B=60°，BE=156mm,BD=175mm.根据顾客的需 求，手镯的内圈直径为56mm,外圈直径为70mm,即小圆⊙0的直径为56mm,大圆o0的直径为70mm. 请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在BD和BE上的点A和点C使得覆盖大圆⊙O的△ABC周长取得 最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出△ABC的周长及面积；若不存在，请说明理由. 919