第一章空间向量与立体几何建系方法专题汇总讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章　空间向量与立体几何 · 建系方法专题（教师版） 第一章　空间向量与立体几何 建系方法专题汇总（方法总结 · 14 类建系模型 · 例题与变式） 结构良好的建系（4 型）· 结构不良的建系（6 型）· 常考替代方法（4 型）；全部数值已经过坐标法程序化复核 配套：图形均为 300 DPI 示意图，坐标轴以红色标出，与文中坐标设定一致。 第一部分　建系方法总论（先读这一部分） 一、建系的本质与三要素 建系的本质：把一个已知的三线两两垂直结构翻译成坐标。找不到三条两两垂直的直线，就建不了系——所以"找垂直"永远是先于"建系"的第一步。 三要素：原点 （尽量取已知点）、三条坐标轴（ 轴必须两两垂直、单位长度一致）、正方向（右手系： 指向 ）。 一个常见错误：三个轴的单位长度取得不一致（比如图上把 轴画短了就按短的量）——坐标是数与数之间的运算，图上比例不作数，必须按实际长度取坐标。 二、找"三线两两垂直"的四条途径 ① 线面垂直（最直接）：题中出现" 平面 ""直棱柱""侧棱垂直于底面"，则侧棱方向与底面内两条互相垂直的直线即构成三轴。 ② 面面垂直的性质定理（最高频）：若平面 平面 ，则在 内作交线的垂线，该线 。高考里"平面 平面 "几乎必考这一条。 ③ 三线合一（等腰/正三角形取中点）：底面是正三角形或等腰三角形时，取底边中点 ，则中线 底边，配合侧棱垂直或面面垂直即可成轴。 ④ 中心/外心/垂心（顶点等距或三组对棱垂直）：正棱锥取底面中心； 时顶点射影是底面外心；三组对棱互相垂直时射影是底面垂心。 三、选原点与坐标轴的四条原则 原点优先取已知点（顶点、中点、中心），不要取自己新作的辅助点，减少待求量。 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内：落轴上的点只有一个非零坐标，落面内的点只有两个，能大幅简化计算。 轴优先取已有的垂线（侧棱、由面面垂直作出的垂线），不要另起炉灶。 对称结构取对称中心为原点（正方体中心、正棱锥的高线中点），坐标会成对出现正负，计算量减半。 四、点坐标的五种求法 直接读：点在轴上或在坐标平面内，坐标直接写出（多数点属于此类）。 投影 + 距离：点在平面外时，先求它在底面上的射影坐标，再加高度得 坐标。 中点 / 定比分点：中点 ； 分 成 时 。 参数表示动点：线段上的动点写成 ，把几何最值转成关于 的函数。 坐标待定法：设 ，由三条已知距离列三个方程解出（符号由图形位置确定），见型 10。 五、建系后的标准流程与两道检验 流程：建系（并写明依据） 写点坐标 求方向向量/法向量 代公式求角或距离 回归几何作答。 检验一（法向量）：求出法向量 后，代回平面内两个不共线向量验证 且 ，一步就能排掉九成的计算错。 检验二（距离）：求出点面距离后，用等体积法估一遍量级；或反过来用体积反推，两者不一致必有一处算错。 求法向量的快捷写法：平面内两向量 ，取 ，再约去公因数。 六、六大易错点 只凭"看起来垂直"就建系：每写一条垂直，都必须有依据（已知、判定定理、性质定理、三线合一），否则整题作废。 **线面角用 **：线面角 满足 ，用 得到的是与法向量的夹角余角关系，是最经典的失分点。 二面角不分锐钝：两法向量的夹角与二面角可能相等也可能互补，必须看图判断；若题干问"余弦值"而图形是钝二面角，答案要取负。 异面直线角忘取绝对值：公式 ，范围 ，算出 必须换成补角。 动点参数范围漏写：设 后，求出的 必须落在该区间内才算"存在"，端点值要单独讨论是否允许。 坐标与图形位置不符：解坐标待定法时出现两组解（），要依据顶点在底面的哪一侧取号。 七、什么时候不必建系 只求体积、或求点到平面距离且底面面积易求：等体积法往往 3 行搞定，见型 13。 求平行六面体、斜棱柱中的长度或夹角：用基底 直接展开，见型 12。 证明对棱垂直一类的结论：直接用向量恒等变形（ 型），比建系快得多。 判断原则：建系需要"先证垂直"，若证明这一串垂直比题目本身还长，就换方法。 八、建系决策流程（做题时按顺序问自己） ① 有没有侧棱（或棱）垂直于底面？→ 有：直接以垂足为原点建系（型 1~4）。 ② 有没有面面垂直？→ 有：在一个面内作交线的垂线，得到线面垂直后建系（型 7）。 ③ 底面是不是正三角形、等腰三角形？→ 是：取底边中点用三线合一造一条轴（型 6、型 7）。 ④ 顶点到底面各顶点是否等距（正棱锥、）？→ 是：射影是中心/外心，取其为原点（型 5、型 8）。 ⑤ 是不是翻折问题？→ 是：以折痕为轴，用翻折角表示翻折后的点（型 9）。 ⑥ 以上都没有 → 坐标待定法解方程（型 10）、补形为长方体（型 11）、或改用基底法与等体积法（型 12、型 13）。 第一部分　结构良好的建系（题面自带三条垂线） 这一类题的垂直关系是题目直接给出的或图形自带的，建系几乎不需要证明，重点在于选对原点和轴、把点坐标写全。 型 1　正方体 / 长方体（墙角模型） ◆ 适用特征　 题干出现正方体、长方体，或一个"墙角"型三棱锥（三条棱从同一顶点两两垂直）。这是全部建系题的母模型。 ◆ 建系要点　 取一个顶点为原点，从该点出发的三条棱分别为 轴。注意：底面内按 的顺序取 轴，不要取对角线。 ◆ 坐标设定　 正方体棱长 ，取 为原点：。 ◆ 典型题　 正方体 的棱长为 ， 为棱 的中点。 求异面直线 与 所成角的余弦值； 求点 到平面 的距离。 ◆ 建系与解答　 建系：以 为原点， 为 轴正方向。由棱长 得各点坐标如上， 为 中点，故 。 (1) ，。。 (2) 平面 内 ，，取法向量 。检验：，，正确。 。 【答案】(1) ；(2) 。 ◆ 变式训练　 1. 正方体棱长为 ， 分别为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值。 【答案】　【提示】，，底面法向量 ，。 2. 正方体棱长为 ， 为 中点，求平面 与底面 所成二面角的余弦值。 【答案】　【提示】平面 法向量 ，底面法向量 ，。 型 2　侧棱垂直底面 + 矩形底面 ◆ 适用特征　 题干给出" 平面 "且底面是矩形（或正方形）。垂直关系现成，属于送分型的建系。 ◆ 建系要点　 以垂足 为原点，底面的两条边为 轴，侧棱 为 轴。 ◆ 坐标设定　 ：。 ◆ 典型题　 四棱锥 中， 平面 ，底面 为矩形，，。 证明：平面 平面 ； 求直线 与平面 所成角。 ◆ 建系与解答　 建系：以 为原点， 为 轴正方向（由 底面且矩形中 ，三轴两两垂直）。 (1) 平面 内 ，，取 ；平面 为 平面，。，故两平面垂直。 (2) ，，故 与平面 所成角为 。 注意这里用的是 ，若误用 会得出 ，正是型 1 提醒过的经典失分点。 【答案】(1) 见解析；(2) 。 ◆ 变式训练　 1. 条件同上，求点 到平面 的距离。 【答案】　【提示】。 2. 条件同上，求二面角 的余弦值。 【答案】　【提示】平面 法向量 ，平面 法向量 ，。 型 3　侧棱垂直底面 + 直角梯形底面 ◆ 适用特征　 底面是直角梯形（"，"），仍有现成的两条垂直底边，配合侧棱垂直即可建系。 ◆ 建系要点　 以直角顶点 为原点， 为 轴， 为 轴。梯形中 点坐标由 且 长度确定。 ◆ 坐标设定　 ：。 ◆ 典型题　 四棱锥 中， 平面 ，底面为直角梯形，，，，，， 为 的中点。 求异面直线 与 所成角； 求点 到平面 的距离。 ◆ 建系与解答　 建系：以 为原点， 为 轴正方向。 且 ，故 ； 为 中点，。 (1) ，。，故所成角为 。 (2) 平面 内 ，，取 。检验：，。 ，。 【答案】(1) ；(2) 。 ◆ 变式训练　 1. 条件同上，求直线 与平面 所成角的正弦值。 【答案】　【提示】，，。 型 4　直棱柱（正三棱柱）：三线合一造轴 ◆ 适用特征　 直棱柱的侧棱垂直底面" 底面"是现成的 轴；底面正三角形取底边中点，用三线合一造出第二条垂线。 ◆ 建系要点　 **原点不取顶点，而取底边中点 **： 为 轴（三线合一，）， 为 轴，侧棱方向为 轴。这样 两个点都落在 轴上，坐标简单。 ◆ 坐标设定　 ， 为 中点：。 ◆ 典型题　 正三棱柱 中，，， 为 的中点。 证明： 平面 ； 求二面角 的大小。 ◆ 建系与解答　 建系：以 为原点， 方向为 轴。由正三角形边长 得 ，。 (1) 由 且 为 中点得 （三线合一）；又 平面 ，故 。 与 是平面 内两条相交直线，故 平面 。坐标印证：，而平面 为 平面。 (2) 平面 内 ，，取 ；底面法向量 。 ，故二面角 为 。几何验证：。 【答案】(1) 见解析；(2) 。 ◆ 变式训练　 1. 条件同上，求点 到平面 的距离。 【答案】　【提示】，，。 第二部分　结构不良的建系（需要自己造垂直） 这一类题没有现成的三条垂线，必须先证明（或构造）一条线面垂直，才能建系。这是高考解答题的主流形态，也是学生丢分最集中的地方。 型 5　正棱锥：取底面中心为原点 ◆ 适用特征　 题干出现"正四棱锥""正三棱锥"，即顶点在底面中心的垂线上。垂直关系隐含在"正"字里，需要先说明。 ◆ 建系要点　 取底面中心 为原点， 与底面相邻两顶点连线方向取 轴（正方形取与边平行的方向）， 为 轴。高由 求出。 ◆ 坐标设定　 底面边长 、侧棱 ：，高 ，故 。 ◆ 典型题　 正四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧棱 。 求侧棱 与底面所成角； 求侧面 与底面所成二面角的余弦值。 ◆ 建系与解答　 建系：设底面中心为 ，由正棱锥定义 平面 。以 为原点，过 平行于 的方向为 轴， 为 轴。，。 (1) ，底面法向量 。，故 与底面所成角为 。 (2) 平面 内 ，，取 。检验：，。 。 【答案】(1) ；(2) 。 ◆ 变式训练　 1. 条件同上，求异面直线 与 所成角。 【答案】　【提示】，，。 2. 条件同上，求点 到平面 的距离。 【答案】　【提示】 代入 ：。 型 6　三棱锥： 底面 + 正三角形底面 ◆ 适用特征　 只有一条侧棱垂直底面，但底面是正三角形——用底边中点造出底面内的第二条垂线，三轴齐备。 ◆ 建系要点　 原点取底边 的中点 （不是顶点！）： 为 轴（三线合一）， 为 轴，过 平行于 的方向为 轴。 的坐标写作 。 ◆ 坐标设定　 底面边长 、：。 ◆ 典型题　 三棱锥 中， 平面 ，底面 为边长 的正三角形，。 求二面角 的大小； 求点 到平面 的距离。 ◆ 建系与解答　 建系：取 中点 为原点， 为 轴（正三角形中 ，且 ），过 作 的平行线为 轴（由 底面）。故 。 (1) 平面 内 ，，取 ；底面法向量 。，二面角为 。 几何验证：（ 由三垂线定理）。 (2) ，。 【答案】(1) ；(2) 。 ◆ 变式训练　 1. 条件同上，求三棱锥 的体积。 【答案】　【提示】。 型 7　面面垂直作垂线（高考第一高频） ◆ 适用特征　 题干给出"平面 平面 "，且常配套 （或 ）。这是近十年全国卷出现频率最高的建系入口。 ◆ 建系要点　 三步：① 找交线（）；② 在其中一个平面内作交线的垂线（ 时取 中点 ，三线合一得 ）；③ 由面面垂直性质定理得 另一平面。原点取 ，三轴分别为 （或 ）、 方向、。 ◆ 坐标设定　 ， 为 中点：。 ◆ 典型题　 四棱锥 中，平面 平面 ，底面 为矩形，，， 为 的中点。 证明： 平面 ； 求直线 与平面 所成角的正弦值； 求二面角 的余弦值。 ◆ 建系与解答　 (1) 因为 且 为 中点，由三线合一得 。又平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，由面面垂直的性质定理得 平面 。 建系：以 为原点， 的水平分量、 分别取轴。取 ；由 且 得 。 (2) ，底面法向量 ，。 (3) 平面 内 ，，取 。。 【答案】(1) 见解析；(2) ；(3) 。 ◆ 变式训练　 1. 把条件改为 （ 不变），求直线 与底面所成角的正弦值。 【答案】　【提示】，，，，。 2. 条件同原题，求点 到平面 的距离与三棱锥 的体积。 【答案】；　【提示】距离为 ；，故 。 型 8　外心法： 时射影是外心 ◆ 适用特征　 没有给出任何垂直，但给出""（或正棱锥）。此时顶点在底面的射影是底面三角形的外心，位置由底面形状唯一确定。 ◆ 建系要点　 先证射影是外心：设 底面，由 与勾股定理得 。底面若是直角三角形，外心即斜边中点；若是正三角形，外心即中心。以此外心为原点建系。 ◆ 坐标设定　 底面 ，（），：外心 为 中点，，高 ，。 ◆ 典型题　 三棱锥 中，，底面中 ，。 证明： 在底面上的射影为 的中点； 求 与平面 所成角； 求二面角 的余弦值。 ◆ 建系与解答　 (1) 设 在底面的射影为 。由 底面，在 中，，故 ，即 为外心。由 知 ，直角三角形的外心是斜边中点，故 为 中点 。 建系：以 为原点， 为 轴。，（斜边中线等于斜边一半），。 (2) ，底面法向量 ，，故所成角为 。 (3) 平面 内 ，，取 。。 【答案】(1) 见解析；(2) ；(3) 。 ◆ 变式训练　 1. 条件同上，求三棱锥 的体积。 【答案】　【提示】（）。 2. 若把底面改为边长 的正三角形，，求顶点到底面的距离。 【答案】　【提示】外心即中心，，。 型 9　翻折问题：以折痕为轴，用翻折角定点 ◆ 适用特征　 题干出现"沿 翻折""将 折起"等。翻折后原来的平面图形变成空间图形，但折痕上的点不动、到折痕两端的距离不变。 ◆ 建系要点　 以折痕的中点（或折痕上一点）为原点，折痕为 轴，在原平面内垂直于折痕的方向为 轴，过原点垂直于原平面的方向为 轴。翻折后的点 ，其中 是它到折痕中点的距离， 是二面角。 ◆ 坐标设定　 正方形 边长 ，沿 翻折，二面角 ： 为 中点，。 ◆ 典型题　 正方形 的边长为 ，沿对角线 将 翻折，使二面角 为 。 求点 到平面 的距离； 求异面直线 与 所成角的余弦值。 ◆ 建系与解答　 建系：取 中点 为原点， 为 轴， 为 轴，过 垂直于平面 向上为 轴。翻折中 不变（到折痕两端距离不变），且 在 平面内（，正方形对角线互相垂直）。 由二面角 得 ；。 (1) 平面 为 平面，故 。 (2) ，。，。 。 【答案】(1) ；(2) 。 ◆ 变式训练　 1. 条件改为二面角 ，求异面直线 与 所成角。 【答案】　【提示】，，，。 2. 条件同原题，求三棱锥 的体积。 【答案】　【提示】。 型 10　坐标待定法：没有垂直就解方程 ◆ 适用特征　 题干只给一串棱长，看不出任何垂直关系（顶点射影不在特殊位置）。此时先建一个"暂时的系"，把未知点坐标设为 ，用三条距离列三个方程解出。 ◆ 建系要点　 ① 底面三点全部落在 平面内（任选底面内两条垂直或任意方向建立 轴）；② 设 ；③ 由 的长度列三个方程，两两相减消去平方项，先解出 ，再得 （）。 ◆ 坐标设定　 底面正三角形边长 ：；设 ，由 解得 。 ◆ 典型题　 三棱锥 中，底面 为边长 的正三角形，，。 求点 的坐标； 求 与平面 所成角。 ◆ 建系与解答　 建系：取 中点 为原点， 为 轴，过 垂直于底面的方向为 轴。。设 ，。 列方程：；；。 两式相减：，得 。 再由 ：，代入 得 。 代回 ：，得 ，。故 。 (2) ，，底面法向量 ，，故所成角为 。 【答案】(1) ；(2) 。 ◆ 变式训练　 1. 底面与建系同上，若 ，求 的坐标与三棱锥的高。 【答案】，高 　【提示】由对称性 ； 由外心位置得 （中心到顶点距离 在 轴上的投影）。 第三部分　其他常考建系方法与替代方案 有些题硬建系反而更慢。这一部分的四条：补形、基底、动点参数、等体积，都是考场上真正省时间的招。 型 11　补形建系：三组对棱相等 → 补成长方体 ◆ 适用特征　 四面体中出现"三组对棱分别相等"（，，）。这种四面体可以恰好嵌进一个长方体，六条棱都是长方体的面对角线。 ◆ 建系要点　 设长方体三边长为 ，则四面体的三组对棱满足 ，，，解出 后把四面体的四个顶点写成 ，正常建系即可。 ◆ 坐标设定　 （其中 ）。 ◆ 典型题　 四面体 中，，，。 求该四面体的体积； 求异面直线 与 所成角的余弦值。 ◆ 建系与解答　 把四面体补成一个长方体，使它的六条棱恰为长方体六个面的对角线。设长方体三边长为 ，则 ，，。 三式相加：，故 ，分别相减得 ，即 。 建系：取 。验证 ，，，，全部吻合。 (1) 四面体体积 长方体体积 个角上的三棱锥 。 (2) ，。。 【答案】(1) ；(2) 。 ◆ 变式训练　 1. 四面体中三组对棱分别为 ，求补形后长方体的三边长。 【答案】　【提示】 → 。 型 12　基底法：斜棱柱、平行六面体不必建系 ◆ 适用特征　 平行六面体、斜棱柱中所有棱的夹角都不是 ，硬建系要算一堆三角函数。用三条棱作基底直接展开更快。 ◆ 建系要点　 取 为基底，把目标向量表示成基底的线性组合，再用 展开，只需知道基底两两的数量积。 ◆ 坐标设定　 三条棱长均为 ，两两夹角均为 ：。 ◆ 典型题　 平行六面体 中，所有棱长均为 ，且 。 求对角线 的长； 求异面直线 与 所成角的余弦值。 ◆ 建系与解答　 取 ，则 ，两两夹角 ，故 。 (1) ，，故 。 (2) ，；，同理 。 ，。 【答案】(1) ；(2) 。 ◆ 变式训练　 1. 条件同上，求 的模。 【答案】　【提示】，平方 ，故 。 型 13　动点参数：把"存在性"变成解方程 ◆ 适用特征　 题干问"线段上是否存在点 ，使得……"，或求最值。做法是把动点写成参数式，让几何条件变成关于参数的方程或函数。 ◆ 建系要点　 设动点 （ 是比例参数），代入垂直/平行条件得到 的方程。**解出的 必须落在 内**，否则回答"不存在"。 ◆ 坐标设定　 正方形底面边长 、：；。 ◆ 典型题　 四棱锥 中， 平面 ，底面 为边长 的正方形，。点 在线段 上，且 （）。 若 平面 ，求 的值； 在 (1) 的条件下，求二面角 的余弦值。 ◆ 建系与解答　 建系：以 为原点， 为 轴。。 (1) 平面 内 ，，取 。检验：；，正确。 平面 。，故 ，得 ，即 为 中点（落在 内，成立）。 (2) 时 ，；底面法向量 。。 【答案】(1) ；(2) 。 ◆ 变式训练　 1. 条件同上，若改为点 在 上且 ，问这样的 是否存在。 【答案】不存在　【提示】，，点积 ，判别式 ，无解。 2. 条件同上，求点 在 上运动时，三棱锥 的体积取值范围。 【答案】　【提示】 到底面距离 ，随 从 到 由 降到 ，。 型 14　等体积法：只求距离时比建系快 ◆ 适用特征　 题目只问"点到平面的距离"，且该三棱锥的底面积与另一个高都容易算。用 换一个底面重算，3 行出结果。 ◆ 建系要点　 找以该点为顶点、目标平面为底面的三棱锥，改用另一个顶点作顶点、另一个易求面积的三角形作底面，由 相等解出 。 ◆ 坐标设定　 正方体棱长 ：。 ◆ 典型题　 正方体 的棱长为 ，求点 到平面 的距离。 用等体积法求该距离； 用建系法验证。 ◆ 建系与解答　 (1) 考虑三棱锥 ，改写成 ：。 又 。由 知 是边长 的正三角形，。 故 。 (2) 建系验证：平面 内 ，，取 ；，一致。 【答案】。 ◆ 变式训练　 1. 正方体棱长为 ，求点 到平面 的距离。 【答案】　【提示】由对称性，与该题同构，用 型法向量代入即可得到相同结果。 附：建系答题自检清单（考前过一遍） □ 1. 写建系之前，先写一句话说明三轴为什么两两垂直（依据写在卷面上，这一步本身就是得分点）。 □ 2. 原点是否选在已知点上？能否让更多点落在坐标轴或坐标平面上？ □ 3. 所有点的坐标是否都写出了？尤其是中点、分点、动点这三类容易漏。 □ 4. 法向量求出后，是否代回平面内两个向量做了点积检验？ □ 5. 求的是线面角还是两向量夹角？线面角用 ，二面角与异面直线角用 并取绝对值。 □ 6. 二面角是否需要判断锐钝？图形上看得出来吗？ □ 7. 动点问题中解出的参数是否落在 内？ □ 8. 最后回到几何语言作答：角要写度数或余弦值，距离要带单位（无单位时写数值）。 学科网（北京）股份有限公司 $