1.2 空间向量基本定理&1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第一章空间向量与立体几何通 1,2空间向量基本定理 1.3空间向量及其运算的坐标表示 重点和难点 课标要求 重点：空间向量基本定理，空间直角坐标系的建立和 1.了解空间向量基本定理. 空间向量运算的坐标表示 2.掌握空间向量的坐标表示」 难点：基底的恰当选择，空间向量运算的坐标表示及 3.掌握空间向量运算的坐标表示. 其应用 女必备知识梳理 1H111I10 基础梳理 知识点(1 空间向量基本定理 提个醒回 1.空间向量基本定理 若p=xa十yb十之c,则xa 十yb十之c叫作向量a,b,c的线 定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量 性表达式或线性组合，或者说p p,存在唯一的有序实数组(x,y,之)，使得p=xa十yb十之c.◆提个醒 可以由a,b,c线性表示 (唯一性是指若p=xa十yb+xc,刚x=xy多，必=) 2.基底与基向量 如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合 敲黑板⊙ (说明a,b,c均不为0，否则三者一定共面) 对于基底{a,b,c},除了应 就是{pp=xa十yb十之c,x,y,之∈R}.这个集合可看作由向量 该知道a,b,c不共面外，还应 a,b,c生成的，我们把{a,b,c}叫作空间的一个基底，a,b,c都叫作 该明确以下三点： 基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 (1)空间中任意一个向量都 3.单位正交基底 (基底不是唯一的) ◆敲黑板。 可以由一个基底{a,b,c}线性 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 表示 (2)基底选定后，空间的所 1,那么这个基底叫作单位正交基底，常用i,j,k}表示。 有向量均可由基底唯一表示 4.正交分解 (均为单位向量) (3)所有空间向量间的运算 空间中的任意向量a均可以分解为三个向量xi,yj,之k,使 都可以转化为基向量间的运算， a=xi+yj十之k.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直 这为几何问题代数化奠定了 基础 的向量，叫作把空间向量进行正交分解 知识点2空间向量的坐标表示 1.空间直角坐标系 以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、 11 :重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 之轴，这就是空间直角坐标系Oxy之.◆敲黑板四 敲黑板⊙ 2.空间向量的坐标 画空间直角坐标系Oxy之 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a,作OA=a(如图)， 时，一般使∠xOy=135°（或 由空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组(x,y,之)，使 45),∠yOz=90°.在空间直角 a=xi+yj+之k. 坐标系中，让右手拇指指向x 有序实数组(x,y,之)叫作a在空间直角 轴的正方向，食指指向y轴的 A(x,y,z) 正方向，如果中指指向之轴的正 坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记为a= 方向，则称这个坐标系为右手直 (x,y,z).(x,y,x)也称为点A的空间直角 角坐标系.我们使用的坐标系一 坐标，记作A(x,y,之).提个避回 般都是右手直角坐标系.常见的 建系方法有三种： 知识点(3空间向量的坐标运算 (1)借助三条两两相交且垂 1.与空间向量运算有关的坐标表示 直的棱建系.如长方体等规则几 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 何体，一般选择同一个顶点上的三 条棱所在的直线为三个坐标轴， 名称 坐标表示 (2)借助面面垂直的性质定 加法 a+b=(a1十b1,a2+b2,a3+b3) 理建系，若题目中出现侧面和底 面垂直的条件，一般利用此条件 减法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) 添加辅助线，确定之轴. 数乘 λa=(aa1,Aa2,λa3)(∈R) (3)借助棱锥的高建系.对 数量积 a·b=a1b1十a2b2+a3b3 于正棱锥，利用顶，点在底面的射 共线 当b≠0时，a/h台a=λb台a1=b1,a2=b2,a3=λb3(a∈R) 影为底面的中心，可确定之轴，然 后以底面内过底面中心且互相 垂直 a⊥b台a·b=0台a1b1十a2b2十a3b3=0 垂直的直线分别为x轴、y轴. 向量 la=√a·a=√a十a十a 提个醒过 长度 (x,y,之)既可以表示向量， 向量夹 a·b cos(a,b)= a1b1+a2b2+a363 也可以表示，点，在书写时要注意 角公式 lalbl √a+a+a√b1+b+b3 表示向量时带有等号，如a= 2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系 (1,0,一1)，在表示点时不带等 设A(x1y1,之1)，B(x2,y2,22),0(0,0,0),AB=OB-OA 号，如A(1,0,-1). 提个醒回 =（x2一x1y2一y1,之2一之1).◆提个程@ 中点公式和重心公式 (一个空间向量的坐标等于此向量的有向线钱的终点坐标减去起点坐标) (1)中点公式：P1(x1,y1 3.两点间的距离公式 z1),P2(x2y2,之2)是空间中任 已知A(x1,y1,之1)，B(x2,y2,之2)，则A,B两点间的距离 意两点，则线段P1P2的中点为 dAB=AB|=√(x2-x1)+(0y2-y1)2+(z2-21)2 ,, 222 重难拓展 (2)重心公式：设A(x1,y1, 重难点(1空间基底的概念与应用 z1),B(x2y2,之2)，C(x3y3,23) 1.空间基底概念的辨析与判断 则△ABC的重心为（十十西 3 例①（多选）若{a,b,c}是空间向量的一个基底，则下列各组 y1十y2十y81十之2十x3 3 中能构成空间向量的一个基底的是(). 12 第一章空间向量与立体几何通 A.{a,2b,3c} B.(a+b,b+c;c+a) C.a+b+c,b+c,c) D.{a+2b,2b+3c,3a-9c} 解析因为{a,b,c}是空间向量的一个基底，所以{a,2b,3c}可以构成 记方法@ 空间向量的一个基底，故A正确.设a十b=x(b十c)十y(c十a)=ya十xb 判断一组向量是否为空间 x=1, 的一个基底，关键是判断这三个 +(x十y)c,其中x,y∈R,则y=1, 无解，则{a+b,b+c,c十a}能构成 向量是否共面，往往采用反证法 x十y=0, 假设其共面，由共面向量基本定 (空间向量基本定理的唯一性) 理可得出方程组，结合空间向量 空间向量的一个基底，故B正确.显然不存在实数入，u,使得a十b十c=入(b 基本定理求该方程组的解.若有 十c)十c成立，则{a十b十c,b十c,c}能构成空间向量的一个基底，故C正 解，则说明三个向量共面，否则 确.因为a+2b=3×[3(2b+3c)+(3a-9c)],所以{a+2b,2b+3c,3a- 不共面」 9C}不能构成空间向量的一个基底，故D错误.◆记方法回 答案ABC 重难点2由点的位置确定点的坐标 例2如图1，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知底面 ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面体的高为2√3，顶点D 记方法网 在底面A1B1C1D1的射影O恰为C1D1的中点，设△AB1D1的 空间直角坐标系下确定点的 坐标的四种常用方法 重心为点G,建立适当的空间直角坐标系，并写出下列点的坐标 (1)投影法 (1)A1,B1,A,D1;(2)G;(3)B; 将空间点垂直投影到某坐 (4)若N为DD1上一点，且ON⊥DD1,求点N的坐标 标平面，所得投影点再垂直投影 ◆记方法回 到各坐标轴，充分利用垂直于坐 标平面的线段、垂直或平行于坐 标轴的线段，画出投影，点所在平 面图形，求相关线段长度，写出 点的坐标 B (2)公式法 ● 图1 图2 利用线段中点坐标公式、三 解析(1)如图2，取A1B1的中点O1,连接OO1.又在矩形A1B1C1D1 角形的重心坐标公式、距离公式 中，O为C1D1的中点，∴.O01∥A1D1,∴.OO1⊥C1D1 等求出点的坐标， (3)向量法 由题可知OD⊥平面A1B1C1D1,.OO1,OC1,OD两两垂直. 利用向量相等、垂直、共线 以O为原点，OO1,OC,O市的方向分别为x轴、y轴、之轴的正方向， 等关系求出，点的坐标」 建立空间直角坐标系Oxy2,连接AO1 (4)参数法 .0OLAD AD LAD1,..00LAD, 遇动点问题，设参数，利用 '.四边形ADOO1为平行四边形， 共线或共面表示点的坐标 ∴.A∈平面Ox,AO1Lx轴，ADL之轴，AO1=OD=2W3,又AD=2, ∴.A1(2,-2,0),B1(2,2,0),A(2,0,2V3),D1(0,-2,0) (2)公式法利用三角形重心坐标公式，由(1)中点A,B1,D1的坐标 13 销重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 得点G的丝标为售0,2) (3)相等向量法设B(x,y,之)，则B1B=(x-2,y-2,x), 又A1A=(0,2,23),且B1B=A1A,∴x=2,y=4,z=23. .点B的坐标为(2,4,2√3). (4)参数法 D1,N,D三点共线，且D(0,0,2√5)，.可设D1N=λD1D=λ(0， (线上的动点问题) 2,2√5)=(0,2λ，2√3λ)(0≤λ≤1)， (注意入的范围，若在线段上，则入∈[0,1]；若在直线上，则入∈R) .ON=OD1+D1N=(0,2λ-2,23)， .N(0,2λ-2,23λ). 又：0N.D1D=0,0十4a-1)十12λ=0，解得A=4, 1 Nb,是》 培优突破 突破点(1 空间向量在立体几何中的应用（两大解题方向）】 1.基底化 利用空间向量基本定理选择恰当的基底，结合空间向量的运 算，求解相关问题 2.坐标化 对于以正方体、长方体或其他具备垂直关系的几何体为载体 的立体几何问题，可以优先考虑坐标法，这样仅通过计算即可获得 平行、垂直等关系，结合向量的数量积又可解决有关求角、距离等 问题 例③如图，在平行六面体ABCD-A1BC1D 中，AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA =∠DAA1=60°. (1)求BD1的长； (2)求点A1到直线BC的距离； (3)动点P在线段CD1上运动，求AP·CP的最小值： 解析(1)由题意知， AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°， 因为BD1=BA十AD+DD1=-AB十AD+AA1, 所以|BD1=/(-AB+AD+AAi)2 14 第一章空间向量与立体几何誰 =AB+AD+AA:-2AB.AD-2AB.AA:+2AD.AA. 而A店，Ai=AAd1c0s60=2X1X2=1, M店，-=11s60=2X2X-2. AD.AA:=IADI IAA:Icos 60=1X2X=1, 所以|BD11=√4+1+4-2×1-2X2+2×1=√5， 即BD1的长度为√5. (2)因为AD=AM160s60°=2X号=1，所以A1DLAD. 又因为AD∥BC,所以A1D⊥BC. 在△ABD中， BD=√AD+AB-2AD·ABcos60°=√1+4-2X1X2X 2 =3, 所以AD2+BD2=AB2, 即BD⊥AD,所以BD⊥BC. 又因为A1D∩BD=D,所以BC⊥平面A1BD, 因为A1BC平面A1BD,所以A1B⊥BC, 即A1B为点A1到直线BC的距离. (也可用向量法求点A1到BC的距离) 又因为AA1=AB=2,∠A1AB=60°， 所以△AA1B为等边三角形，即A1B=2, 即，点A1到直线BC的距离为2. (3)设CP=λCD1, 则AP.CP=PA.PC=(PC+CB+BA)·PC =aD,C-AD-AB)·D,C=QA1B-AD-AB)·A1B =[(-1)AB-AAA-AD](AB-AA) (转化到基底进行运算) =X[a-1DAB2-(a-1)AB·AA1-λAA·AB+入AA-A. 记方法@ AB+AD·AA1] 空间向量基本定理的应用思路 用基底表示空间向量，要结 =λ[(-1)X22-(2A-1)AB|川AA11cos60°+A×22-|AD|· 合已知和所求观察图形，一般要 ABI cos 60+ADIAAI cos 60] 用向量的加法、减法、数乘的运 =A4a-1D-(2以-1D×2x2x号+-1X2x号+1×2 1 算法则，尤其是向量加法的平行 四边形法则，以及向量加法、减 -以=收-》”音4o业 法的三角形法则将所求向量逐 (注意入的范圆)》 步向基向量过渡，直到全部用基 当入=子时，AP.CP最小，最小值为-子 ◆记方法到 向量表示 15 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 例④如图1，四棱锥S-ABCD的底面是正 方形，每条侧棱的长都是底面边长的√2倍，P 为侧棱SD上的点， (1)求证：AC⊥SD. B (2)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否 图1 存在一点E,使BE平面PAC?若存在，求SE：EC的值；若不 存在，请说明理由。 解析(1)（由题意可知S-ABCD为正四棱锥，容易构 建三条两两垂直的直线，故可建系，通过向量的坐标运算来 证明AC⊥SD)如图2，连接BD交AC于点O,连接 SO.因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD. 不妨设AB=2,由题意知SA=SB=SC=SD= B 2√2，所以S-ABCD是正四棱锥，故SO⊥平面ABCD. 图2 结合AC,BDC平面ABCD可得SO⊥AC,SO⊥BD, 所以OB,OC,OS两两垂直， 以O为原点建立如图2所示的空间直角坐标系， 由AB=2可得OA=OB=OC=OD=√2，OS=√SB2-OB2=√6， 所以A(0,-2,0),C(0,√2,0)，S(0,0,W6),D(-√2,0,0)， 从而AC=(0,2√2,0)，SD=(-√2,0，-√6)， 故AC·SD=0X(-√2)+22X0+0X(-6)=0, 所以AC⊥SD,故AC⊥SD. (2)设P(a,b,c),则SP=(a,b,c-√6)， 敲黑板⊙ 设SP=λSD(0≤入≤1)，则(a,b,c-√6)=λ(-√2,0，-√6)，◆敲黑板 在立体几何问题中，涉及线 a=-√2λ， a=-√2λ， 上的动点，以例4的点P在侧 所以b=0, 从而b=0, 棱SD上为例，常根据共线向量 c-√6=-√6λ，c=√6-√6λ， 定理，设SP=λSD,并由此将动 点P的坐标表示成关于入的单 故P(-√21,0,6-√6)，所以PC=(√21，√2,6入-√6). 变量形式，再参与后续的计算. 因为SDL平面PAC,PCC平面PAC,所以SD⊥PC,故SD.PC= -2×2x+0×巨+(-6)×(5X-6)=0,解得1=圣，所以 p(-39》 设SE=uSC(0≤≤1)，E(a',b,c), 则SE=(a',b',c'-√6)，SC=(0,N2,-√6)， fa'=0, a=0, 所以b=√2μ， 解得b'=√2μ，故E(0,W2μ，W6-√6μ). c'-6=-√6u,c'=6-64, 16 第一章空间向量与立体几何 又B(√2,0,0)，所以BE=(-√2，N24,w6-√6). 设BE=xAP+yAC, 记方法@ 国为A-(-3w2,),aC=0,22,0 用坐标法解决几何问题的 一般步骤 所以(-2,2u,N6-6u)=x 十y(0,2√2,0)， 利用题中的垂直关系建 建系 立空间直角坐标系 求点一求出相关点的坐标 -2--3 2 42, 3 利用向量的坐标公式求 定坐标 向量的坐标 从而VEk=2x+22y,解得c= 3, 代入相关向量公式进行 计算 计算 6-6u= 4x, y=- 1 将向量的结论转化为几 3 转化 何结论 故SC上存在一，点E,使得BE∥平面PAC,且SE:EC=2:1.◆记方法。 关键能力提升 题型①空间向量的基底表示及应用 D A 例⑤若{e1,e2,e3}是空间的一个基底，且 向量{a=e1十e2,b=e2十e3,c=e1十te3}不能 构成空间的一个基底，则t=(). A.-1 B.1 C.0 D.-2 A.AC1=a+b十c 解析因为{a=e1十e2,b=e2十e3,c=e1十te3} B.BM- 26+c 不能构成空间的一个基底， C.|AC1=√6 所以存在实数x,y,使得c三xa十yb, (向量共面基本定理) 即e1+te3=x(e1十e2)+y(e2+e3), D.c0s(AB,AC;) 3 即e1+te3=xe1+(x十y)e2+yeg: 题型（②空间向量的坐标运算 因为{e1,e2,e3}是空间的一个基底， 例6（多选）下列命题中正确的是(). x=1, x=1, A.与向量a=(1,-√2,1)共线的一个单 所以x十y=0,解得y=一1， (y=t, 121 t=-1. 位向量为(-2受，一2》 答案A B.A,B,C三点不共线，对空间任意一点 变试①（多选）如图，在平行六面体 ABCD-A1BC1D1中，|AB1=|AD1=|AA1I 0,若OP-30i+5o丽+80，则P,A,B, C四点共面 =1且∠AAD=∠A,AB=∠BAD=S,M C.若正四面体OABC的棱长为√2，则 为A1C1与B1D1的交点，设AB=a,AD=b, OA+OB+OC=/6 AA1=c,则下列结论正确的是(). D.若|a=4,向量e为单位向量，〈a,e〉= 17 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 3,向量a在向量e方向上投影向量的模为2 A1B⊥平面AB1P 解析取BC的中点为O,B1C1的中点为D,连接 解析因为a=(1,-√2,1)， AO,OD. 所以|a=√1+2+1=2， 在正三角形ABC中，易知 AO⊥OB,在正三棱柱ABC-A B,C1A 与向量a共线的单位向量为士日=士（分， a 中，易知OD⊥平面ABC. 9》. 以O为原，点，分别以OA, OB,OD所在直线为x轴、y轴、 A B 所以-个单位奇蛋为名图。吉》武A正流 之轴，建立如图所示的空间直角 坐标系 1 =1, 则B(o,号o,c(0,-2o,B0,号1， 则P,A,B,C四点共面，故B正确。 (四点共面基本定理推论) A停小A停od, 因为四面体OABC为正四面体，所以OA,OB,C心 则BC=(0,-1,0),BB1=(0,0,1) 两两夹角为60°，所以1OA+OB+0C=OA2+ 由1=1，得BP=λBC+BB1=(0,-1,),CP OB12+OC12+2OA·OB+2OA·OC+2OB· =BP-BC=(0,0,u), 0-=2+2+2+2X2x2×2+2X2×2×号 由CP=BB1,得CPBB1,故A正确. (显然CP与BB1不重合) 2××2×2=12, 店-(-号小由=1，得萨-成+ 所以|OA+OB+OC|=√12=23，故C错误. BB1=(0,-λ，1)， 向量a在向量e方向上投影的数量为a|· casa,e=4X(2）=-2, 正=店+丽=（2小，可得 故向量a在向量e方向上投影向量的模为2，故 |AB=1,|BP1=√1+x2,AP1=√2-X+2, D正确， △ABP的周长为(1十√1++√2-λ+2)，不 答案ABD 为定值，故B错误 题型③用空间向量坐标运算解决平 由入=号，得BP=BC+BB,=(0,-号)， 行、垂直问题 例7（多选）在正三棱柱ABC-A1B1C 因为A店-（号-小 中，AB=AA1=1,点P满足BP=λBC+BB1, 所以AP=A店+B驴-(-0A-1月 其中λ∈[0,1]4∈[0,1]，则( 由A1P⊥BP,得A1P·BP=uu-1)=0,解得 A.当λ=1时，有CP∥BB =0或1， B.当=1时，△ABP的周长为定值 所以有两个符合题意的，点P,故C错误， C.当入=2时，有且仅有一个点P,使得 由Ai-(2-ad-(,2小 A1P⊥BP 得A1B·AB1=0,即A1B⊥AB1,A1B⊥AB1. D当公=2时，有且仅有一个点P,使得 由A=2,得B驴=XBC+uBB,=O,-X,2) 18 第一章空间向量与立体几何通 -店㎡-（海号》 则B(0,1,0),N(1,0,1),所以BN=(1,-1,1), 则|BN|=√12+(-1)2+1=√3」 令A,应·A正-是+-号-号-0，解得入 1,此时A1B⊥AP,A1B⊥AP, 因为AP∩AB1=A,AP,AB1C平面AB1P, (线面垂直的证明过程不能少) 所以A1B⊥平面AB1P, B 综上可得，有且仅有一个点P符合题意，故D正确. 图2 答案AD (2)依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2), 题型（④用空间向量坐标运算解决夹 B(0,1,0), 角、模的问题 所以A1B=(-1,1,-2),B1C=(0,-1,-2), 例8如图1，在直三棱柱ABC-A1B1C 所以A1B.B1C=0-1+4=3. 中，CA=CB=1,∠BCA=90°，棱AA1=2, 又|A1B|=√/1+1+4=√6，|B1C1=√0+1+4 M,N分别为A1B1,A1A的中点. =5, 所以cos(A1B,B,C)= A:B.BC30 ABIBCI 10 (3)依题意得A1(1,0,2),C1(0,0,2),B(0,1,0), N1,o.DM号，22， 图1 则C-(分，2o)c=a0,-1,B威 (I)求BN的模； (1,-1,1), (2)求cos(A1B,B1C)的值； 所以C·B=号×1+号X(-1D+0X1= (3)求证：BN⊥平面C1MN. 0,C1N·BN=1×1+0X(-1)+(-1)X1=0, 解析(1)因为CC1⊥平面ABC,∠BCA=90°， 则CM⊥BN,CN⊥BN,即BN⊥CM,BN⊥ 以点C为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线分别 CN. 为x轴、y轴、之轴建立如图2所示的空间直角坐 又因为C1M∩C1N=C1, 标系， 所以BN⊥平面C1MN. 1ii1i 核心素养聚焦 1101110000100011110011101111110001000110010010101001100000001010010100111 考向(1 空间基底的概念与应用 2,则(0,0,1)￠2的充分条件是(). 例⑨(2024·上海卷)定义一个集合2， A.(0,0,0)∈2 集合中的元素是空间内的点集，任取P1,P2, B.(-1,0,0)∈2 P3∈2，存在不全为0的实数入1，λ2,3，使得 C.(0,1,0)∈2 D.(0,0,-1)∈2 λ1OP1+λ2OP2+λ3OP3=0.已知(1,0,0)∈ 解析由题意知OP1,OP2,OP这三个向量共 19 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， ABC平面ABCD,ADC平面ABCD, 由空间直角坐标系易知(0,0,0)，(1,0,0)，(0,0,1) ∴.AP⊥AB,AP⊥AD 三个向量共面，则由(0,0,0)，(1,0,0)∈2无法推出 ,APC平面PAD,ADC平面PAD,AP∩AD (0,0,1)2,故A错误. =A,.AB⊥平面PAD 由空间直角坐标系易知(-1,0,0)，(1,0,0)，(0， ,ABC平面PAB, 0,1)三个向量共面，则由(-1,0,0)，(1,0,0)∈2无 ∴.平面PAB⊥平面PAD. 法推出(0,0,1)庄2，故B错误. (2)①在四棱锥P-ABCD中，AP⊥AB,AP⊥ 由空间直角坐标系易知(1,0,0)，(0,0,1)，(0,1， AD,AB⊥AD,BC∥AD, 0)三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由(1， PA=AB=√2，AD=1+√3，BC=2, 0,0),(0,1,0)∈2能推出(0,0,1)2，故C正确. 建立如图2所示的空间直角坐标系， 由空间直角坐标系易知(1,0,0)，(0,0,1)，(0,0， 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(√2,2,0)，D(0,1+ 一1)三个向量共面，则由(0,0，一1)，(1,0,0)∈2无 √3,0)，P(0,0,W2) 法推出(0,0,1)2，故D错误. 设O(a,b,c), 答案C 点P,B,C,D均在球O的球面上， 考查内容 核心素养 试题难度 ..0B1=OCI=OD|=lOP1, 空间向量共面及空间向量 逻辑推理 ★★★★☆ 则(a-√2)2+b2+c2=(a-√2)2+(b-2)2+c2 基底 =a2+(b-1-√3)2+c2 考向（② 空间坐标运算及异面直线所 =a2+b2+(c-√2)2， 成的角 解得a=0,b=1,c=0,即0(0,1,0)， 例10(2025·全国一卷)如图1，在四棱 ∴.点O在AD上，即点O在平面ABCD内. 锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD, 年2 BC/∥AD. C 图2 B 图1 ②AC=(√2,2,0，PO=(0,1,-√2)， (1)求证：平面PAB⊥平面PAD. cos(AC,Pd)=AC·PO 2 ② IACIPO6X/3 3 (2)设PA=AB=√2，BC=2,AD=1+ √3，且点P,B,C,D均在球O的球面上 “直线AC与P0所成角的余孩值为 ①求证：点O在平面ABCD内； 考查内容 核心素养 试题难度 ②求直线AC与PO新成角的余弦值. 空间坐标运算、异面直线所数学运算、直 解析（1)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面 ★★★★☆ 成的角及多面体的外接球 观想象 ABCD,AB AD, 20图3 由已知得A1B=2W2,因为OH⊥A,B,所以Oi·A1B 0.而A1B.A10=A1B·(A1i+H0)=A1B·A1i+ ò.AB-AB.A方=名Ai.A店=}A= 之·AP=2×8=4,放C错误若入=1且μ=分，此 时D0=DC+2DD,因为P为cC,的中点，所以C2= =DD.由向量加法法则得应-D心+C立，故应 D花+专DD,则点Q与点P重合.此时把△AAB沿着 A1B翻折，如图4，使得A1,A,B,P四点共面，此时AE+ EQ有最小值AP,此时的点均为翻折过的点 P(Q) 图4 因为P为CC1的中点，所以CP=C,P=1,由勾股定理得 BP=√22+1平=√5，如图5，连接A1C1. D 图5 由已知得∠D1A1B1=60°，则∠C1B1A1=120°，由余弦定理 得一号=2十2AC,解得A1C=23.由直四棱柱的 2×2×2 性质得CC1⊥平面A1B1C1D1,则CC1⊥A1C1.由勾股定理 得A1P=√(2√3)2+12=√13，则BP2+A1B2=A1P2,故 ∠PBA1=90°.而AB=AA1=2,则∠ABA1=45°，得 PBA=135由余弦定理得一号-6)+2一AP ,解 2×w5X2 得AP=√9十2√10，故D正确.] 1.2空间向量基本定理 1.3空间向量及其运算的坐标表示 变式训练 [变式1们ACD[AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA= 4 a+b+c,放A正确B=BB+B,i=A+号B,D- 利用平行关系将心，C心精他为基向量bc AM+2A,d-AB)=M,+合茄-A)=e+ 合6-a)=-名a十安6十e,放B错误1AC1 1 √(a+b+c)7=√a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c, :IAB|=|AD|=|AA1I=1,∠A1AD=∠AAB=∠BAD= ,∴.AC1=√a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c π √1+1+1+1+1+I=V6,故C正确.cos(AB,AC1)= AB·AC1 =a2+a…b+ac_ ABIAC, 1×6 √6 D正确.] 基础过关练 1.C 2.A[由题意得AB1=AD1=AA11=1,AB,AD》=90°， AA1,AB》=(AD,AAi)=60AC=A店+BC+CC= A店+AD+AA,AC=(A店+Ai+AA)2=A店+ 选A言，A市，A1为基底 AD2+AA2+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=1+ 1+1+2×1×1×c0s90°+2×1×1×c0s60°+2×1×1× cos60°=5，.AC1|=5.] 3.C[因为a=(2,1,m),b=(-2,1,2),且ah,所以a=b, 2=-2t, 即1=t,方程组无解，故不存在m使得a仍，故A错误. m=2t, 若aLb,则a·b=2X(-2)+1X1+2m=0,解得m=号， 故B错误.因为a与b不可能共线，若(a,b)为锐角，则a·b= 2X(-2》+1X1十2m>0,解得m>号故C正确因为a· b=2×(-2)+1×1+2m=2m-3,|b|=√(-2)2+1+2= 3者a在6上的投影狗量为日6，即治·b=20.3.6, 0 则2”。3-行，解得m=号放D错误] 9 4.(-3,6)U(6,+∞).[由a=(2,-1,1),b=(m,-3,3),则 a·b=2m+3+3>0, a与b的夹角为锐角时，有 解得m> m≠6， -3且m≠6，所以实数m的取值范围是(-3,6)U(6, +∞).] 5.(1)易知AC=(1,-2,2),因为a/∥AC, 所以a=λAC=(a,-2入，2λ). 因为a=3,所以√2+42+4以2=3，得A=士1，