3.1.2 函数的表示法教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

年级

高一年级

学科

数学

教师

课题

3.1.2  函数的表示法

教学

目标

数学抽象

能结合具体实例，从解析式、表格和图象三个方面整体认识函数，掌握函数的三种表示法。

直观想象

会用描点法画出给定函数的图象，能借助图象直观分析函数的变化趋势。

数学运算

理解分段函数的概念，能写出简单分段函数的解析式，并会求指定自变量对应的函数值。

教学

重难点

重点：函数的三种表示法及各自的特点与适用情形。

难点：根据问题的需要选择恰当的方法表示函数；分段函数概念的理解及简单应用。

教学过程

教师活动

学生活动

教学引入

教师：同学们，上节课我们学习了函数的概念，知道函数是两个变量之间的一种对应关系。先来看一个身边的例子：小王同学农业大学毕业后返乡创业，在某电商平台注册网店销售自家种植的香蕉。已知香蕉的销售单价为每千克2元，设销售量为千克，销售额为元，那么与之间有什么关系？

教师：很好，。请同学们再想一想：除了用这样的式子，我们还有没有别的方法来表示销售额与销售量之间的函数关系？

教师：对！可以列表，也可以画图。这就是我们今天要研究的问题——函数的表示法。（板书课题）

学生思考、列式并回答问题

新课讲授  一、函数的三种表示法

教师：我们以“买笔记本”为例来研究。某种笔记本的单价是5元，买（）个笔记本需要元。试用三种方法表示函数。

师生：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}。

1.解析法：。

像这样用解析式表示函数的方法，叫作解析式法。用解析法表示函数时，一定要写出自变量的取值范围。

2.列表法：将与的对应关系列成表格，如下所示。

学生分组探究、作图，归纳三种表示法的特点并回答问题

像这样列出表格来表示函数的方法，叫作列表法。

3.图象法：以为横坐标、为纵坐标，在直角坐标系中描出点(1，5)、(2，10)、(3，15)、(4，20)、(5，25)，得到函数的图象，如图1所示。

图1  买笔记本问题中与的关系图象

像这样利用图象表示函数的方法，叫作图象法。

思考：比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？

师生总结：解析法能清晰、准确地刻画函数关系，便于研究函数的性质，是研究函数的主要方法；图象法能直观形象地表示函数的变化趋势，是运用数形结合思想方法的基础；列表法不必计算就能直接读出自变量对应的函数值，适用于自变量取值较少的情形。

思考：是不是所有的函数都能用解析法表示呢？请举例说明。

学生：不一定。例如某一天各整点的时刻与气温之间的函数关系，就很难用一个解析式表示出来。

教师：很好。三种表示法各有优势，我们要根据所研究问题的特点，选择恰当的表示方法。

新课讲授  二、分段函数

例1画出函数的图象。

解：由绝对值的概念，有自变量的取值范围是R。取=−3，−2，−1，0，1，2，3，得到对应的值分别为3，2，1，0，1，2，3。在直角坐标系中描点、连线，得到函数的图象，如图2所示。

学生独立画图、列式，展示解答过程

图2  函数的图象

师生总结：像这样，在定义域的不同部分，对应关系用不同的解析式表示的函数，称为分段函数。分段函数虽然在不同的范围内解析式不同，但它表示的是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集。

例2某市为推广新能源汽车，对公共充电桩的充电服务费实行分段计费：每月充电量不超过20千瓦时的部分，按每千瓦时0.8元收费；超过20千瓦时的部分，按每千瓦时1.2元收费。设某用户一个月的充电量为千瓦时，充电服务费为元。（1）试用解析法表示关于的函数；（2）若该用户某月的充电量为30千瓦时，求该月的充电服务费。

解：（1）当时，；当时，。所以

（2）当时，。所以该月的充电服务费为28元。

新课讲授  三、函数表示法的综合应用

例3下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分。请对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。

解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不容易看出每位同学成绩的变化情况。将“成绩”与“测试序号”之间的关系用图象表示出来，如图3所示，就能比较直观地看到成绩变化的情况。

学生分组讨论，汇报分析结果