29.2 解直角三角形 讲义 2026—2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

29.2 解直角三角形（原卷版） 2026—2027学年沪教版五四制2024新课标数学九年级上册 · 课本 P97–106 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 8 分钟 · 复习直角三角形 本部分共 3 题，限时 8 分钟，复习三角比的定义与由三角比求边。 第 1 题 在中，，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 第 2 题 在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 第 3 题 在中，，，的对边分别为，，．已知，，则的值为_______． 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标 重要程度 1 理解解直角三角形的含义：五个元素中知道两个（至少含一条边）就能求出其余三个 ★★★★ 2 掌握直角三角形中三边、两锐角、边角之间的三类关系 ★★★★ 3 会解已知一边一角、已知两边的直角三角形，结果按精确度要求取近似 ★★★★ 4 会过顶点作高，把斜三角形与梯形转化为直角三角形来解 ★★★ 5 会用解直角三角形解决仰角俯角、方位角、坡度坡角三类实际问题 ★★★ ⭐ 学习重点 已知一边一角与已知两边两类基本解法；“只含已知量与未知量”的三角比怎么选。 🔥 学习难点 两次观测类应用题（设高为未知数、用两段水平距离之差列方程）；坡度 i 与坡角 α 的换算。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 一、解直角三角形的含义与三类关系 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，除直角外的五个元素（三条边、两个锐角）之间有三类关系： 三边之间　＋＝（勾股定理） 两锐角之间　∠A＋∠B＝90° 边角之间　＝，＝，＝ 由已知元素求其余元素的过程叫做解直角三角形。知道两个角只是形状确定、大小不定，所以两个已知元素中至少要有一条边，才能把三角形解出来。 即时巩固 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝35°，则 ∠B＝______；若 a＝3，b＝4，则 c＝______，sinA＝______。 🔑 二、已知一边一角解直角三角形 第一步认清已知：已知边是斜边还是直角边，已知角是哪一个锐角。 第二步选比：从 sin、cos、tan 中挑出“只含已知量和所求量”的那一个，列式解方程，比反复用勾股定理更省事。 注意　已知的是 ∠B 时，对边是 b、邻边是 a，和 ∠A 正好互换——这是本讲最容易错的地方。 即时巩固 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝8，则 a＝______，b＝______。 🔑 三、已知两边解直角三角形 先用勾股定理求出第三边，再求角。 求角时优先用正切（两条直角边之比），可以避开斜边上的开方运算；只有已知斜边时才用正弦或余弦。 注意　结果要求“角度精确到 1′”时，先用计算器取近似值，再换算成度分，最后按题目精度取舍。 即时巩固 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝5，b＝5，则 c＝______，∠A＝______。 🔑 四、作高化斜为直 斜三角形（例3 的等腰三角形、例4 的一般三角形）没有现成的直角三角形，过顶点向对边作高，就能把它分成两个直角三角形。 两个直角三角形共用这条高，它是“桥梁”：先在一个三角形里把高求出来，再到另一个三角形里求所要的边。 注意　钝角三角形的高可能落在形外，作高前先看最大角；高作错位置，后面的边长关系就全错了。 即时巩固 在 △ABC 中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝2＋2，求 BC 边上的高 AD。 🔑 五、三类实际应用 仰角与俯角：视线与水平线的夹角。在同一点观测同一物体的上下两端时，仰角与俯角互余。 方位角：以南北方向为基准，说“北偏东 30°”“南偏西 45°”。解题先画方向十字，再把方位角换成直角三角形里的内角。 坡度与坡角：坡度　＝＝，常写成 1∶ 的形式。 注意　坡度不是坡角，也不是坡面长度与水平宽度之比；i 越大坡越陡，坡角 α 也越大。 即时巩固 某斜坡的坡度 i＝1∶，则坡角 α＝______；若坡面长 20 m，则坡高为______m。 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下表把三类关系、两种基本解法、作高转化与三类应用汇成一张图，式中的分式与根号都是可编辑的公式，可直接点开修改。 29.2 解直角 三角形 ━━━━ 课本 P97–106 ▶ 01 三类关系 三边　＋＝ 两锐角　∠A＋∠B＝90° 边角　＝，＝ 　　　＝ 02 已知一边一角 先看清已知边是斜边还是直角边、已知角在哪个顶点 从三个三角比中挑只含已知量与所求量的那一个，列式 另一条边用勾股定理或另一个三角比核对 03 已知两边 先用勾股定理求出第三边 再用含两条已知边的三角比求角（优先正切） 另一个锐角由 ∠A＋∠B＝90° 得到 04 作高化斜为直 过顶点作高，把斜三角形分成两个直角三角形 公共的高作桥梁：先求高，再求所求边 钝角三角形的高可能落在形外，作高前先判断 05 三类实际应用 仰角俯角：视线与水平线的夹角 方位角：以南北为基准，说“北偏东多少度” 坡度　＝＝ 口诀　知二求三，至少一边；一边一角挑“只含已知与未知”的比，两边先用勾股求第三边，斜三角形先作高。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型一 已知一边一角解直角三角形 ✏ 题型模版 第1 步 在图上标出已知的边和角，看清已知边是斜边还是直角边； 第2 步 选一个只含已知量与所求量的三角比，列式求解； 第3 步 求出后用勾股定理或另一个三角比核对，避免用错边。 典例 1 如图在中，，，，则的值为______． 变式 1-1 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角，则梯子底端与墙角的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式 1-2 如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（     ） A． B． C． D． 变式 1-3 如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 📌 题型二 已知两边解直角三角形 ✏ 题型模版 第1 步 先用勾股定理求出第三边； 第2 步 再用含两条已知边的三角比求角（优先正切，避开斜边开方）； 第3 步 另一个锐角由 ∠A＋∠B＝90° 直接得到。 典例 2 在中，，求b的长及的度数． 变式 2-1 在中，，则_____________________，_________________． 变式 2-2 在中，，，，欲求的值，最适宜的做法是（     ） A．通过计算的值求出 B．通过计算的值求出 C．通过计算的值求出 D．先根据求出，再利用求出 📌 题型三 解斜三角形（作高化斜为直） ✏ 题型模版 第1 步 选一个顶点向对边作高，把斜三角形分成两个直角三角形； 第2 步 在含已知量的那个三角形里，先求出公共的高； 第3 步 再在另一个三角形里求所求边，注意高是在形内还是形外。 典例 3 如图，在中，，，，则AB的长为__________． 变式 3-1 如图，在中，，，，求的长． 变式 3-2 如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 变式 3-3 如图，从地到地需经过地，现城市规划需修建一条从到的笔直道路，已知米，，，则道路改直后比原来缩短了___________米．（结果精确到1米，可能用到的数据：，） 📌 题型四 仰角与俯角 ✏ 题型模版 第1 步 先画水平线，把仰角、俯角标在图上； 第2 步 两次观测时，设所求高度为 x，把两段水平距离都用含 x 的式子表示； 第3 步 用两段水平距离之差（或之和）等于已知距离列方程。 典例 4 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 变式 4-1 如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 变式 4-2 如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为___________（结果取整数．参考数据：，，）． 变式 4-3 如图1，龙华寺外矗立着一座高塔，小立和同学们组成小组参加了测量该塔高度的课外实践活动． 如图2，同学们利用测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高米，小立在楼阳台处测得塔底的仰角为，在楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． (1)如图3，为得到仰角与俯角的正切值，小立在练习本上画了一个，，，．在边上取两点、，使，，量得，，．则 ________， ________， ________．（结果保留小数点后两位） (2)请根据小立的数据，计算该塔高度．（结果取整数） (3)小立的测量结果与该塔实际高度存在米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小立提出两条合理的改进建议．（总字数少于50字） 📌 题型五 方位角 ✏ 题型模版 第1 步 在图上画出南北、东西方向十字，按方位角把角标在对应顶点； 第2 步 把已知距离放进直角三角形，方位角先换成三角形内角再算； 第3 步 “是否安全”“需要多长时间”要回到垂线段长度与航行路程上回答。 典例 5 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时处与灯塔的距离为____．（参考数据：，结果保留一位小数） 变式 5-1 如图，一船以20海里/时的速度向西航行，在A处测得灯塔B在北偏西的方向上，继续航行1小时到达C处，再测得灯塔B在北偏西的方向上．已知灯塔B四周15海里内有暗礁，问该船继续向西航行是否安全？ 变式 5-2 如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，，从测得船在北偏东的方向，从测得船在北偏东的方向，则船离海岸线的距离（即的长）为________km．（结果精确到，） 变式 5-3 如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西的方向，从B测得小船在北偏东的方向． (1)填空：______度，______度； (2)过点作的延长线于点，求垂线段的长度； (3)小船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西的方向．求点C与点B之间的距离．（结果保留根号） 📌 题型六 坡度与坡角 ✏ 题型模版 第1 步 认准铅直高度与水平宽度，坡度是两者的比（不是斜边与水平宽度之比）； 第2 步 由坡度求坡角用 tanα＝i，由坡角求坡度反过来； 第3 步 梯形断面的坝体、路基要过顶点作高，分成两个直角三角形和一个矩形。 典例 6 如图，铁路路基的横断面为四边形．其中，，．根据图中标出的数据计算路基下底的宽和坡角．（结果精确到） 变式 6-1 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡度为，背水坡的坡角的正切为，已知迎水坡，坝顶宽，求大坝的高度和坝底的长． 变式 6-2 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． 变式 6-3 河堤横断面如图，堤高米，迎水坡的坡比是，则的长是（   ） A．10米 B．米 C．米 D．米 🚀 六、拓展提升（挑战题） 综合运用 · 提升能力 本部分共 2 题，需要综合解直角三角形、相似与方程思想，鼓励先独立思考再对照解析。 挑战 1 学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点，，，，，，均在同一竖直平面内，求点距离地面的高度．（参考数据：，，，，，） 挑战 2 定义：如图1，已知点Q、R是的边上的两个定点，点P是边上的一个动点，当时，称点P是线段的最佳视野点． 如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点A到水平地面的距离为5米，在水平地面的E处有一个自动扶梯米，点A、B、C在同一直线上．某一时刻，自动扶梯上一行人（用点G表示）到地面的高度为米时，他与自动扶梯底端E处的水平距离米．（忽略行人的高度） (1)当行人行走在水平地面时，发现点H恰好是屏幕的最佳视野点，此时，．求的长； (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由． ✅ 七、出门测（课后巩固） 限时 12 分钟 · 巩固提升 本部分共 3 题，限时 12 分钟，巩固解直角三角形与基础应用。 第 1 题 如图是自动扶梯的截面．的长为米，与的夹角为，则高为___________米．（用的三角函数和表示） 第 2 题 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． 第 3 题 如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（     ）（参考数据：） A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时 🏠 八、课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 4 题，建议课后 20 分钟内完成。 第 1 题 如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 第 2 题 如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 第 3 题 如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 第 4 题 如图，一艘货轮以36海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它北偏东方向，则此时货轮与灯塔B的距离为______海里（结果精确到海里．参考数据：）．    学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2 解直角三角形（解析版） 2026—2027学年沪教版五四制2024新课标数学九年级上册 · 课本 P97–106 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 8 分钟 · 复习直角三角形 本部分共 3 题，限时 8 分钟，复习三角比的定义与由三角比求边。 第 1 题 在中，，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】C 【分析】根据各个三角函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，， 斜边为，， C选项中，与不符， C选项等式不成立． 第 2 题 在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 【答案与解析】 【答案】B 【分析】已知直角三角形斜边与一锐角的正弦值，利用锐角正弦的定义建立边的关系求解． 【详解】解：在中，． ，，， ． 第 3 题 在中，，，的对边分别为，，．已知，，则的值为_______． 【答案与解析】 【答案】或 【分析】结合边与角的对应规则确定直角位置，通过勾股定理求出斜边，再依据锐角余弦的定义计算的值． 【详解】解：如图： 此时， ∴， ∴； 如图： 此时， ∴， ∴． 综上所述，的值为或． 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标 重要程度 1 理解解直角三角形的含义：五个元素中知道两个（至少含一条边）就能求出其余三个 ★★★★ 2 掌握直角三角形中三边、两锐角、边角之间的三类关系 ★★★★ 3 会解已知一边一角、已知两边的直角三角形，结果按精确度要求取近似 ★★★★ 4 会过顶点作高，把斜三角形与梯形转化为直角三角形来解 ★★★ 5 会用解直角三角形解决仰角俯角、方位角、坡度坡角三类实际问题 ★★★ ⭐ 学习重点 已知一边一角与已知两边两类基本解法；“只含已知量与未知量”的三角比怎么选。 🔥 学习难点 两次观测类应用题（设高为未知数、用两段水平距离之差列方程）；坡度 i 与坡角 α 的换算。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 一、解直角三角形的含义与三类关系 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，除直角外的五个元素（三条边、两个锐角）之间有三类关系： 三边之间　＋＝（勾股定理） 两锐角之间　∠A＋∠B＝90° 边角之间　＝，＝，＝ 由已知元素求其余元素的过程叫做解直角三角形。知道两个角只是形状确定、大小不定，所以两个已知元素中至少要有一条边，才能把三角形解出来。 即时巩固 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝35°，则 ∠B＝______；若 a＝3，b＝4，则 c＝______，sinA＝______。 答案　∠B＝90°－35°＝55°；c＝5（勾股定理），sinA＝。 🔑 二、已知一边一角解直角三角形 第一步认清已知：已知边是斜边还是直角边，已知角是哪一个锐角。 第二步选比：从 sin、cos、tan 中挑出“只含已知量和所求量”的那一个，列式解方程，比反复用勾股定理更省事。 注意　已知的是 ∠B 时，对边是 b、邻边是 a，和 ∠A 正好互换——这是本讲最容易错的地方。 即时巩固 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝8，则 a＝______，b＝______。 答案　a＝c·sinA＝8×＝4；b＝c·cosA＝8×＝4。 🔑 三、已知两边解直角三角形 先用勾股定理求出第三边，再求角。 求角时优先用正切（两条直角边之比），可以避开斜边上的开方运算；只有已知斜边时才用正弦或余弦。 注意　结果要求“角度精确到 1′”时，先用计算器取近似值，再换算成度分，最后按题目精度取舍。 即时巩固 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝5，b＝5，则 c＝______，∠A＝______。 答案　c＝10（勾股定理）；tanA＝＝，所以 ∠A＝30°。 🔑 四、作高化斜为直 斜三角形（例3 的等腰三角形、例4 的一般三角形）没有现成的直角三角形，过顶点向对边作高，就能把它分成两个直角三角形。 两个直角三角形共用这条高，它是“桥梁”：先在一个三角形里把高求出来，再到另一个三角形里求所要的边。 注意　钝角三角形的高可能落在形外，作高前先看最大角；高作错位置，后面的边长关系就全错了。 即时巩固 在 △ABC 中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝2＋2，求 BC 边上的高 AD。 答案　作 AD⊥BC 于 D，设 AD＝h。在 Rt△ABD 中 ∠B＝45°，得 BD＝h；在 Rt△ACD 中 CD＝＝h。由 h＋h＝2＋2 解得 h＝2，即 AD＝2。 🔑 五、三类实际应用 仰角与俯角：视线与水平线的夹角。在同一点观测同一物体的上下两端时，仰角与俯角互余。 方位角：以南北方向为基准，说“北偏东 30°”“南偏西 45°”。解题先画方向十字，再把方位角换成直角三角形里的内角。 坡度与坡角：坡度　＝＝，常写成 1∶ 的形式。 注意　坡度不是坡角，也不是坡面长度与水平宽度之比；i 越大坡越陡，坡角 α 也越大。 即时巩固 某斜坡的坡度 i＝1∶，则坡角 α＝______；若坡面长 20 m，则坡高为______m。 答案　由 tanα＝＝ 得 α＝30°；坡高＝20×sin30°＝10（m）。 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下表把三类关系、两种基本解法、作高转化与三类应用汇成一张图，式中的分式与根号都是可编辑的公式，可直接点开修改。 29.2 解直角 三角形 ━━━━ 课本 P97–106 ▶ 01 三类关系 三边　＋＝ 两锐角　∠A＋∠B＝90° 边角　＝，＝ 　　　＝ 02 已知一边一角 先看清已知边是斜边还是直角边、已知角在哪个顶点 从三个三角比中挑只含已知量与所求量的那一个，列式 另一条边用勾股定理或另一个三角比核对 03 已知两边 先用勾股定理求出第三边 再用含两条已知边的三角比求角（优先正切） 另一个锐角由 ∠A＋∠B＝90° 得到 04 作高化斜为直 过顶点作高，把斜三角形分成两个直角三角形 公共的高作桥梁：先求高，再求所求边 钝角三角形的高可能落在形外，作高前先判断 05 三类实际应用 仰角俯角：视线与水平线的夹角 方位角：以南北为基准，说“北偏东多少度” 坡度　＝＝ 口诀　知二求三，至少一边；一边一角挑“只含已知与未知”的比，两边先用勾股求第三边，斜三角形先作高。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型一 已知一边一角解直角三角形 ✏ 题型模版 第1 步 在图上标出已知的边和角，看清已知边是斜边还是直角边； 第2 步 选一个只含已知量与所求量的三角比，列式求解； 第3 步 求出后用勾股定理或另一个三角比核对，避免用错边。 典例 1 如图在中，，，，则的值为______． 【答案与解析】 【答案】 【分析】先利用正切定义，求出边长，再用勾股定理计算斜边． 【详解】解：在中，，，． ， 解得． 由勾股定理得： ． 变式 1-1 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角，则梯子底端与墙角的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案与解析】 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，， ∴米． 变式 1-2 如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】C 【分析】根据平行线性质得出，在中利用正弦函数定义建立与的关系． 【详解】解：由题意可知飞机水平视线与地面平行， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 变式 1-3 如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】A 【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：A、，解得，符合题意； B、，解得，不符合题意； C、，解得，不符合题意； D、，解得，不符合题意． 📌 题型二 已知两边解直角三角形 ✏ 题型模版 第1 步 先用勾股定理求出第三边； 第2 步 再用含两条已知边的三角比求角（优先正切，避开斜边开方）； 第3 步 另一个锐角由 ∠A＋∠B＝90° 直接得到。 典例 2 在中，，求b的长及的度数． 【答案与解析】 【答案】， 【分析】根据三角函数求出的正弦值，得出的度数，进而即可求解． 【详解】解：在中，， 则， ， ． ． 变式 2-1 在中，，则_____________________，_________________． 【答案与解析】 【答案】 /30度 /60度 【分析】已知直角三角形两条直角边，先计算的正切值，结合特殊角的三角函数值得到的度数，再利用直角三角形两锐角互余求的度数． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵直角三角形两锐角和为， ∴． 变式 2-2 在中，，，，欲求的值，最适宜的做法是（     ） A．通过计算的值求出 B．通过计算的值求出 C．通过计算的值求出 D．先根据求出，再利用求出 【答案与解析】 【答案】C 【分析】明确已知边与的位置关系，结合三角函数定义，选择计算步骤最少的方法． 【详解】解：∵ 在中，，，， ∴ ，可直接代入已知边计算，进而求出， 计算或均需先由勾股定理求出的长度，增加计算步骤， 通过求再计算，需多一步角度换算，步骤更多． 📌 题型三 解斜三角形（作高化斜为直） ✏ 题型模版 第1 步 选一个顶点向对边作高，把斜三角形分成两个直角三角形； 第2 步 在含已知量的那个三角形里，先求出公共的高； 第3 步 再在另一个三角形里求所求边，注意高是在形内还是形外。 典例 3 如图，在中，，，，则AB的长为__________． 【答案与解析】 【答案】14 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=CD=3x，则BD=4x，根据勾股定理计算出x的值计算即可． 【详解】过点C作CD⊥AB于点D， ∵，＜1=tan45°， ∴∠B＜45°， ∵tan45°=tanA=，， 设AD=CD=3x，则BD=4x， ∴， 解得x=2，x=-2舍去， ∴AB=AD+BD=7x=14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，特殊角的三角函数，熟练化斜三角形为直角三角形是解题的关键． 变式 3-1 如图，在中，，，，求的长． 【答案与解析】 【答案】 【分析】过点作于点，将分割成两个直角三角形，根据锐角三角函数关系求边长即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，，． ． 在中，， ． ． 变式 3-2 如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 【答案与解析】 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解． （2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解． 【详解】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F， ∵∠BCA＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝EC， ∵cotB＝， 在Rt△BEA中，＝， 设BE＝3x，AE＝2x， ∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10， ∴x＝2， ∴BE＝6，EA＝EC＝4， 由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2． 即AB2＝36+16＝52． ∴AB＝． （2）由（1）知AB＝2， 又∵D为AB的中点， ∴BD＝AD＝， ∵DF⊥BC，AE⊥BC， ∴ ∵BD＝AD， ∴BF＝FE＝BE＝3． ∴DF＝AE＝2， ∴FC＝FE+EC＝3+4＝7 ∴tan∠DCB=． 【点睛】本题考查了特殊角度、余切和正切的定义，以及三角形中位线的知识，是常见题型． 变式 3-3 如图，从地到地需经过地，现城市规划需修建一条从到的笔直道路，已知米，，，则道路改直后比原来缩短了___________米．（结果精确到1米，可能用到的数据：，） 【答案与解析】 【答案】63. 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，计算BC，AB的长度，比较AC+BC与AB的大小即可. 【详解】如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D， ∵米，，， ∴DC=BD=90，AD=90，BC=90， ∴AC+BC=180+90≈306， AB=AD+BD=90+90≈243， ∴缩短了：306-243=63（米）， 故答案为：63米. 【点睛】本题考查了解斜三角形，学会作高化，把斜三角形化为直角三角形，并熟练运用特殊角的三角函数值是解题的关键. 📌 题型四 仰角与俯角 ✏ 题型模版 第1 步 先画水平线，把仰角、俯角标在图上； 第2 步 两次观测时，设所求高度为 x，把两段水平距离都用含 x 的式子表示； 第3 步 用两段水平距离之差（或之和）等于已知距离列方程。 典例 4 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案与解析】 【答案】博学楼的高度为9米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 变式 4-1 如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 【答案与解析】 【答案】 【分析】设，求出，，由列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设，由题意可知，三点共线，三点共线，，，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 即这座塔的高度为． 变式 4-2 如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为___________（结果取整数．参考数据：，，）． 【答案与解析】 【答案】 【分析】通过作水平线构造两个直角三角形，利用矩形性质得到；先用俯角 求出水平距离 ；再利用仰角 的等腰直角三角形特点得到；最后 求出建筑总高度． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形为矩形， ． 在中，，则． 在中，， ， ． 变式 4-3 如图1，龙华寺外矗立着一座高塔，小立和同学们组成小组参加了测量该塔高度的课外实践活动． 如图2，同学们利用测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高米，小立在楼阳台处测得塔底的仰角为，在楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． (1)如图3，为得到仰角与俯角的正切值，小立在练习本上画了一个，，，．在边上取两点、，使，，量得，，．则 ________， ________， ________．（结果保留小数点后两位） (2)请根据小立的数据，计算该塔高度．（结果取整数） (3)小立的测量结果与该塔实际高度存在米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小立提出两条合理的改进建议．（总字数少于50字） 【答案与解析】 【答案】(1)；； (2)该塔高度约为 (3)①多次测量，然后取平均值；②更换精度更高的测量仪器． 【分析】（1）根据正切的定义进行计算即可； （2）作于点，于点，于点，设，容易判断四边形与四边形都是矩形，则．根据仰角和俯角的定义使用正切函数计算出与，利用的长解方程求出，再计算出与，求和即可得到； （3）从仪器精度和测量误差角度提出建议即可． 【详解】（1）解：在中，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴； （2）解：如图，作于点，于点，于点，设， 由题意可知，，，，， ∵，，，， ∴， ∴四边形与四边形都是矩形， ∴，，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴． 答：该塔高度约为． （3）略 📌 题型五 方位角 ✏ 题型模版 第1 步 在图上画出南北、东西方向十字，按方位角把角标在对应顶点； 第2 步 把已知距离放进直角三角形，方位角先换成三角形内角再算； 第3 步 “是否安全”“需要多长时间”要回到垂线段长度与航行路程上回答。 典例 5 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时处与灯塔的距离为____．（参考数据：，结果保留一位小数） 【答案与解析】 【答案】98.0 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于C，根据余弦的定义求出，再根据余弦的定义列式计算求解即可． 【详解】解：作于C，则，， 在中，， 则， 在中，， 则 ， 故答案为：． 变式 5-1 如图，一船以20海里/时的速度向西航行，在A处测得灯塔B在北偏西的方向上，继续航行1小时到达C处，再测得灯塔B在北偏西的方向上．已知灯塔B四周15海里内有暗礁，问该船继续向西航行是否安全？ 【答案与解析】 【答案】该船继续向西航行是安全的 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点B作于点B，在和中，利用正切函数分别求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：过点B作于点B，设海里． 在中，， 在中，， 由得， 解方程，得． 答：该船继续向西航行是安全的． 变式 5-2 如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，，从测得船在北偏东的方向，从测得船在北偏东的方向，则船离海岸线的距离（即的长）为________km．（结果精确到，） 【答案与解析】 【答案】 【分析】作交于E，求出，根据正弦的定义求出，计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 作交于E，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：船C离海岸线的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键． 变式 5-3 如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西的方向，从B测得小船在北偏东的方向． (1)填空：______度，______度； (2)过点作的延长线于点，求垂线段的长度； (3)小船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西的方向．求点C与点B之间的距离．（结果保留根号） 【答案与解析】 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，直角三角形的性质，解题的关键是正确理解题意，构造直角三角形． （1）根据方位角的定义即可求解； （2）根据直角三角形的性质求解即可； （3）先求出，再解即可． 【详解】（1）解：如图， 由题意得，，，， ∴，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：根据题意得：， ∴ ∴在中，． 在中，，， ， 点与点之间的距离大约为． 📌 题型六 坡度与坡角 ✏ 题型模版 第1 步 认准铅直高度与水平宽度，坡度是两者的比（不是斜边与水平宽度之比）； 第2 步 由坡度求坡角用 tanα＝i，由坡角求坡度反过来； 第3 步 梯形断面的坝体、路基要过顶点作高，分成两个直角三角形和一个矩形。 典例 6 如图，铁路路基的横断面为四边形．其中，，．根据图中标出的数据计算路基下底的宽和坡角．（结果精确到） 【答案与解析】 【答案】路基下底的宽为，坡角约为 【分析】过点作于点，过点作于点，根据坡度的概念求出，进而求出，再根据正切的定义求出坡角． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度为，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：路基下底的宽为，坡角约为． 变式 6-1 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡度为，背水坡的坡角的正切为，已知迎水坡，坝顶宽，求大坝的高度和坝底的长． 【答案与解析】 【答案】大坝高度为米，米 【分析】分别过两点作，垂足分别为，利用勾股定理和三角函数解答即可． 【详解】解：分别过两点作，垂足分别为，则的长就是大坝的高度． 迎水坡的坡度为， ， 设， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：， （米），（米）， 大坝高度为米． 大坝横截面是梯形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， （米），（米）， 在直角三角形中，，， ， （米）， ∴（米）． 变式 6-2 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． 【答案与解析】 【答案】 【分析】构造，设米，由坡度的定义可得米，使用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】解：如图，设米， ∵坡度为， ∴， ∴米， 在中，， ∴， 解得（负根，舍去）， ∴物体被抬高了米． 变式 6-3 河堤横断面如图，堤高米，迎水坡的坡比是，则的长是（   ） A．10米 B．米 C．米 D．米 【答案与解析】 【答案】A 【分析】根据坡度的概念，即坡面的铅直高度与水平宽度的比，列出比例式求解即可． 【详解】解： 迎水坡的坡比是， ， 又， ， （米）． 🚀 六、拓展提升（挑战题） 综合运用 · 提升能力 本部分共 2 题，需要综合解直角三角形、相似与方程思想，鼓励先独立思考再对照解析。 挑战 1 学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点，，，，，，均在同一竖直平面内，求点距离地面的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案与解析】 【答案】米 【分析】过E作交于H，由正切的定义得，，即可求解． 【详解】解：如图，过E作交于H， ∵， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）， 即点E距离地面的高度米． 挑战 2 定义：如图1，已知点Q、R是的边上的两个定点，点P是边上的一个动点，当时，称点P是线段的最佳视野点． 如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点A到水平地面的距离为5米，在水平地面的E处有一个自动扶梯米，点A、B、C在同一直线上．某一时刻，自动扶梯上一行人（用点G表示）到地面的高度为米时，他与自动扶梯底端E处的水平距离米．（忽略行人的高度） (1)当行人行走在水平地面时，发现点H恰好是屏幕的最佳视野点，此时，．求的长； (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由． 【答案与解析】 【答案】(1)的长是10米； (2) 不同意，理由如下： 作的垂直平分线交于K，交EF于点I，分别延长与交于点L， 由题意，可得：，， ∵自动扶梯上一行人用点G表示到地面的高度为米时，他与自动扶梯底端E处的水平距离米， 自动扶梯的坡度是， ， ∵， ， ，，， ， ， ∵， ， 点I不是自动扶梯上的最佳视野点． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，含角的直角三角形等知识，掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 连接BH，由题意得，，，设CH为x，则BC为，根据点H恰好是屏幕AB的最佳视野点列方程求出x即可解答； 作AB的垂直平分线交AB于K，交EF于点G，分别延长FE与BC交于点L，分别求出LG，LA，LB，计算得出从而判断点G不是屏幕AB的最佳视野点． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意得，，，米，则， 设，则，， ∵点H恰好是屏幕的最佳视野点， ， ， 解得：舍去，， 米， 米， 的长是10米； （2）略 ✅ 七、出门测（课后巩固） 限时 12 分钟 · 巩固提升 本部分共 3 题，限时 12 分钟，巩固解直角三角形与基础应用。 第 1 题 如图是自动扶梯的截面．的长为米，与的夹角为，则高为___________米．（用的三角函数和表示） 【答案与解析】 【答案】 【分析】将实际问题转化为直角三角形模型，已知斜边和一个锐角，求对边，利用正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：由题意可知，，则为直角三角形，且． 在中，． ，， ． 故高为米． 第 2 题 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． 【答案与解析】 【答案】 【分析】根据迎水坡的坡度是计算即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度是，， ∴， ∵， ∴， ∴． 第 3 题 如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（     ）（参考数据：） A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时 【答案与解析】 【答案】C 【分析】利用中的三角函数关系求出的长，再用路程除以速度得到轮船行驶时间． 【详解】解：由题意可得，，，千米， ∴在中，，即，解得千米， ∴行驶时间（小时）， 取，得（小时）， 故C选项符合题意． 🏠 八、课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 4 题，建议课后 20 分钟内完成。 第 1 题 如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 【答案与解析】 【答案】 【分析】利用坡角的度数结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，， 在中，， ， ， ， 即坡面的长度是． 第 2 题 如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案与解析】 【答案】A 【详解】解：由题意可知，则为直角三角形， 在中，，，， ， ． 第 3 题 如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义，判断解答即可． 【详解】解：根据题意，得，，． 第 4 题 如图，一艘货轮以36海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它北偏东方向，则此时货轮与灯塔B的距离为______海里（结果精确到海里．参考数据：）．    【答案与解析】 【答案】 【分析】本题考查了方位角，解直角三角形的运用，理解方位角，掌握锐角三角函数的计算是关键． 根据题意得到，（海里），如图所示，过点作于点，根据，得到（海里），在中有含角的直角三角形的性质得到（海里），由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，（海里）， 如图所示，过点作于点，    ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴（海里）， 在中，， ∴（海里）， 故答案为： ． 学科网（北京）股份有限公司 $