专题07解直角三角形期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

专题07解直角三角形期中复习讲义 1.理解解直角三角形的含义，知道直角三角形中边角共五个元素（三条边、两个锐角），在已知除直角外两个独立条件（至少一条边）时，可以求出其余未知元素。 2.掌握解直角三角形的依据：勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数，能根据已知条件灵活选用正弦、余弦、正切进行计算。 3.能够识别仰角、俯角、坡度、坡角等实际问题中的概念，读懂实际情境，画出直角三角形示意图，把实际问题转化为解直角三角形数学模型。 4.对于非直角图形问题，学会通过作高、垂线构造直角三角形，掌握 “双直角三角形” 模型的分析与计算方法。 5.会结合相似、特殊角三角函数等知识，进行边角综合计算，规范书写解题步骤。 能够根据题意选择简便算法，尽量使用原始数据计算，减少近似计算带来的误差，会按要求取近似值。 6.理清常见易错点：区分坡度（坡比）和坡角；构造直角三角形时找准对应边角；分清仰角、俯角是视线与水平线的夹角；多模型问题注意图形分类讨论，避免漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 解直角三角形的相关计算 ★★★ 题型二 解非直角三角形 ★★★★ 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 ★★★★ 题型四 仰角俯角问题 ★★★★ 题型五 方位角问题 ★★★★ 题型六 坡度坡比问题 ★★★★ 题型七 其他问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 解直角三角形基础概念 1. Rt△的五个元素 在Rt△ ABC，∠ C=90： 三边：斜边c，直角边a(∠ A对边)\)、b(∠A邻边)； 两锐角：∠ A、∠B。 2. 定义 由直角三角形中已知 2 个元素（至少含一条边），求出其余全部未知元素的过程，叫做解直角三角形。 3. 可解 / 不可解判定表 已知条件 能否解直角三角形 理由 两边（两直角边 / 斜边 + 直角边） 可以 有边长，结合勾股、三角比求角 一边一锐角 可以 边长 + 角度，直接用边角关系 仅两个锐角 不可以 无长度，只能确定形状，无法求边长 知识点 02 直角三角形三大等量关系（解题全部依据） （1）三边关系（勾股定理） a2+b2=c2 适用：已知两边求第三边。 （2）锐角关系（互余） ∠A+∠B=90 适用：已知一个锐角，直接求另一个锐角。 （3）边角关系（三角函数，核心计算工具） 三角比 公式 适用场景 正弦 sinA= sinB= 已知斜边，求对边；已知斜边与对边求角 余弦 cosA= cosB= 已知斜边，求邻边；已知斜边与邻边求角 正切 tanA= tanb= 已知两条直角边，求锐角 知识点 03 特殊直角三角形快速结论（30°/45°） 三角形类型 三边比例 常用结论 含 30°直角三角形（∠A=30） a:b:c=1:\:2 30° 对边 = 斜边一半 等腰直角三角形（∠A=∠B=45） a:b:c=1:1: 两直角边相等 知识点 04 非标准图形：构造直角三角形 很多几何图形无现成直角，需要作高 / 作垂线分割出Rt△再求解： 1.普通三角形：过顶点向对边作高，分成两个直角三角形； 2.梯形：上下底作垂线，拆成矩形 + 两个直角三角形； 3.菱形、平行四边形：作高构造直角； 4.钝角三角形：向底边延长线作高，得到外部直角三角形。 解题核心：化斜为直，把不规则图形转化为可解的直角三角形。 知识点05.解直角三角形的类型及解法 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 已知条件 解法步骤 图形 两直角边 (a, b) 1.由tanA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3.由c=求斜边。 在Rt△ABC中，∠C=90∘∠A、∠B、∠C的对边分别为a.b.c.如图所示 斜边和一直角边 (c, a) 1.由sinA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3. 由b=​求另一直角边。 一锐角和一直角边 (∠A, a) 1.∠B=90∘−∠A； 2.由b=求邻边； 3.由c=求斜边。 一锐角和斜边 (∠A, c) 1.∠B=90∘−∠A； 2 由a=csinA求对边； 3.由b=ccosA求邻边。 知识点 06 解直角三角形通用解题步骤 1.标图：在图形中标出已知边、已知角，标注字母a、b、c、∠ A、 ∠B； 2.判断：分清属于四类基础题型，确定先用勾股还是三角比； 3.计算：优先使用题目原始数据，减少中间近似误差； 4.求角：边长比值求三角函数，再反推角度； 5.检验： ① 直角边＜斜边； ② 两锐角相加等于 90°； ③ 边长符合勾股定理。 知识点07:用锐角三角函数解决问题 本节核心是将实际问题抽象为解直角三角形的数学模型，解决三类典型应用问题。 模型名称 核心概念与公式 典型场景 仰角 / 俯角 仰角：视线在水平线上方与水平线的夹角。 俯角：视线在水平线下方与水平线的夹角。 关键：构造直角三角形，水平距离为邻边，高度为对边。 测量楼高、树高、旗杆高度、热气球观测等。 坡度 / 坡角 坡角 (α)：坡面与水平面的夹角。 坡度 (i)：坡面垂直高度h与水平宽度l的比，i==tanα。 水坝、斜坡、楼梯、山坡等倾斜问题。 方向角 / 方位角 定义：以正北、正南为基准，描述物体所在方向的角（如北偏东 30°）。 关键：结合平行线性质（内错角相等）转化角度，再解三角形。 航海、方位判断.两船距离计算等 知识点 08 高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确做法 边角对应错乱 求∠A误用当(sin A) 先锁定锐角，分清对边、邻边 计算顺序错误 先用近似角度再求边长，误差大 优先用原始边长计算，最后求角 忽略条件限制 只给两个锐角，强行求边长 牢记必须至少已知一条边 特殊角比值记混 30° 对边等于斜边 熟记30对边是斜边一半 图形不会转化 梯形、钝角三角形直接硬算 作垂线分割，构造直角三角形 题型一、解直角三角形的相关计算 1．如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：A、，解得，符合题意； B、，解得，不符合题意； C、，解得，不符合题意； D、，解得，不符合题意． 2．已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作垂线构造直角三角形，证，利用求出长度，在中算出． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 3．如图，点，在矩形内，．若，则的长为____________． 【答案】 【分析】延长，交于点，利用勾股定理求得，计算和，借助矩形内角为直角、全等三角形的角相等，证得，，利用和得出、长，进而得、，利用勾股定理即可求的长． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵ ∴在中，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． 题型二、解非直角三角形 4．在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可得出，，从而得出即可． 【详解】解：， 在中，， 在中，， ，， ， ， ， 故选：B．    【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．如图，在中，，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 6．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：    由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 7．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．608 B．608 C．64 D．68 【答案】D 【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，在Rt△AEC中，AC＝60cm，∠PCA＝30°，可求AE，由对称性可知：BF＝AE，通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB即可． 【详解】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F， ∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AEAC＝30（cm），由对称性可知：BF＝AE， ∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝60+8＝68（cm）． 故选择：D． 【点睛】本题考查闸机的最大宽度，关键抓住两翼可以三角形处理，利用30°三角形解决问题． 8．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为______． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 9．如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（    ） A．6米 B．米 C．4米 D．米 【答案】D 【分析】做辅助线DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，构建出两对直角三角形，根据已知条件分别用三角函数解这两个三角形，即可的出本题答案． 【详解】解：分别作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F， ∵DC∥AB， ∴， 在Rt△ADE中， ∵ AD = 8米，坡角α =30°， DE = ADsinα = 8sin30° = 4米； 在Rt△ADE中， 坡BC的坡角β = 45°， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，以及解直角三角形的知识． 题型四、仰角俯角问题 10．如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质将俯角转化为直角三角形的内角，利用正弦函数的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意可知，水平线与地面平行， 等于俯角，即， 在中，，， ， ， ． 11．如图，小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为，楼底点D处的俯角为．若两座楼与相距60米，则大楼的高度为_________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形即可得的长． 【详解】解：由题意得：，，，，，米， ∴，，， ∴， 在中，（米）， 在中，（米）． 12．如图，某地修建高速公路，要从地向地修一座隧道（，在同一水平面上），为了测量，两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从地出发，垂直上升到达处，在处观察地的俯角为，则，两地之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题可知，， ． 题型五、方位角问题 13．如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（     ）（参考数据：） A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时 【答案】C 【分析】利用中的三角函数关系求出的长，再用路程除以速度得到轮船行驶时间． 【详解】解：由题意可得，，，千米， ∴在中，，即，解得千米， ∴行驶时间（小时）， 取，得（小时）， 故C选项符合题意． 14．如图，港口A在观测站O的正东方向，海里，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）是______海里． 【答案】 【分析】作，再根据题意可知,，然后根据直角三角形的性质得海里，接下来根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：过点A作，于点D， 根据题意可知, ∴， ∴． 在中，海里， ∴海里． 在中，， ∴， ∴海里， 根据勾股定理，得海里． 15．为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【答案】(1)的长度为 (2)解：由题意得，， ， ，， ， ， 由（1）知，， ， ∴甲选择路线：， 乙选择路线：， ∵甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟， ∴甲所用时间为分，乙所用时间为分， ， ∴甲先到达点 ． 【分析】（1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过C作于H， 则，，， ， 在中，， ， ， 答：的长度为； （2）略 题型六、坡度坡比问题 16．如图，已知传送带和地面所成斜坡的坡度比为，把物体从地面点处送到离地面2米高的点处，则传送带的水平距离为（     ） A．米 B．4米 C．米 D．8米 【答案】B 【分析】根据坡度比等于垂直距离与水平距离的比，列出关系式即可求解． 【详解】解：∵传送带和地面所成斜坡的坡度比为， ∴， ∴（米）， 即传送带的水平距离为4米． 17．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． 【答案】 【分析】构造，设米，由坡度的定义可得米，使用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】解：如图，设米， ∵坡度为， ∴， ∴米， 在中，， ∴， 解得（负根，舍去）， ∴物体被抬高了米． 18．如图，一段路基的横断面是梯形，高为，上底宽为，其坡面的坡角分别是和．求路基下底的宽．（精确到0.1m）    【答案】 【分析】作，再求出，同理可得，然后根据得出答案． 【详解】解：作，垂足为点E，F， 由题意，得， 在中，， ∴． 在中，同理可得， ∴． 答：路基下底的宽约为． 题型七、其他问题 19．长春万达茂室内滑雪场是亚洲垂直落差最大的室内滑雪场，最大落差达85米．如图，某条雪道的坡角为α，坡面长度为413米，则该雪道的铅直高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：由图可知，， 即米． 20．如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是______m． 【答案】 【分析】先利用正弦定义求得，再利用正弦定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 由题意，， 在中，， 故露在水面上的鱼线的长度是． 21．某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测．如图，在河岸两边分别标记，两点，使得与河岸垂直，且点，与台底在同一条直线上，已知台高米，，，求河宽（结果保留小数点后一位）． （参考数据：，，，） 【答案】河宽为32.6米． 【分析】由锐角的正切定义求出和的长，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴（米）． ∵， ∴（米）． ∴（米）． 答：河宽为32.6米． 解答题 22．如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长； (2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由题意可得，利用正切的定义可得；再利用勾股定理列方程求得，最后利用正切的定义求的长即可； （2）如图，过C作于F，由，可得，则，即，再利用勾股定理列方程求得，则，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去），即， ∵， ∴，即，解得：． （2）解：如图，过C作于F， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴． 23．在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，在右侧作，，． (1)如图1，若点F恰好落在边上，求的长； (2)如图2，延长交边于点H，当时，求的值． 【答案】(1)3.5 (2) 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定等相关知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定． （1）由四边形为矩形，可得，，，再证明，可得，最后求得的长； （2）由题意可知，，过点作于点，由上易得，可得，设，则，由题意可知，可得，代入建立关于的方程，解之即可． 【详解】（1）四边形为矩形，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （2），， ， 如图，过点F作于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得，（舍去） ． 24．白鹭塔位于长沙的城市“绿肺”——长沙洋湖湿地景区，塔体采用多层密檐形式，以八角、七层、重檐为基本特征，既宏伟壮观又具湖南地域特色．某数学兴趣小组要利用测角仪测量白鹭塔的高度，如图，塔前有一座高为的景观桥，已知，点在同一条水平直线上．在景观桥C处测得塔顶部B的仰角为，在景观桥D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)求白鹭塔的高度．（精确到，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质求解； （2）过点D作，垂足为点F，利用三角函数解，，即可． 【详解】（1）解：由题意，得． 在中，， ， 的长约为． （2）解：如图，过点D作，垂足为点F， 由题意，得． 在中，， ． 设， ． 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 答：白鹭塔的高度约为． 25．重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)千米． (2)会合时小王一共走了千米． 【分析】（1）作于，由方向角得，在Rt中利用特殊角三角函数值求出、；作交的延长线于，由得为等腰直角三角形，，由求出的长； （2）设两人会合于公路上的点、，由两人同时出发、同时会合，把速度比转化为路程比；在Rt中用勾股定理建立关于的一元二次方程，解方程并根据实际意义检验根． 【详解】（1）解：过点作于，作交的延长线于． ∵景点位于景点的北偏东方向，为正东方向， ∴． 在Rt中，，千米， ∴（千米）， （千米）． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴（千米），（千米）． ∵景点位于景点的西北方向，且射线指向正北， ∴． 在Rt中，， ∴， ∴（千米）． ∴（千米）． 答：、之间的距离为千米． （2）解：设两人会合于公路上的点，小王一共走了千米，则，小李走的路程为． ∵两人同时出发、同时会合，小李的速度与小王的速度之比为， ∴，即． 由（1）知千米，千米，则． ∵、都在线段上，，， ∴． 在Rt中，， ∴． ∴，即， 整理，得， 解得，． ∵， ∴． ∵， ∴，且，会合点在线段上，符合题意． 答：小李和小王会合时，小王一共走了约千米． 【点睛】本题考查方向角、解直角三角形、矩形的判定与性质、等腰直角三角形、勾股定理以及一元二次方程的应用；解题关键：一是抓住方向角与正东、正北方向互相垂直，把北偏东、北偏西转化为与，通过作垂线构造Rt、Rt与矩形，利用特殊角三角函数值和等腰直角三角形完成线段长度的转化；二是第（2）问抓住“两人同时出发、同时会合”，把速度比转化为路程比，设后在Rt中用勾股定理建立一元二次方程，解出后须检验根的实际意义，取． 26．如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 【答案】(1)D点到地面的距离为6米 (2)摩天轮的高度为95米 【分析】（1）过点D作于点E，根据坡度的定义可求得，即可根据直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半求解； （2）延长 交于点F，则，根据俯角的定义和平行线的性质可知，，可设米，则米，然后根据，即可求解出x的值，从而求得． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点E， ∵斜坡坡度， ∴， ∴， ∵在中，米， ∴（米） 答：D点到地面的距离为6米． （2）解：如图，延长 交于点F，则， 由题可得：，，米，米， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴，即， 解得， 即米， ∴（米）， 答： 摩天轮的高度为95米． 27．年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，结合，进一步求解即可； （2）延长交于点M，得到，，求解，在中，，，求出的长，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为； （2）解：延长交于点M， 由题意可知：， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ， 在中，，， ， ， 故桌面到地面的距离约为． 28．如图，中，，D为边上一点，连接，过点C作交的延长线于点F，延长交于点G． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，E为线段上一点，连接、，延长至H，使，连接，若，探究线段与线段的数量关系，并证明； (3)如图3，E为直线上一点，连接、，若，，点P在直线上运动，连接，将沿翻折到所在平面内得到，点M、N分别在射线、上运动，满足，连接、，当取得最小值时，连接、、，当取得最大值，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则点G是线段的中点， 如图所示，过点作，交于点K， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则是等腰直角三角形，， 在中，， ∴是等腰直角三角形，， 如图所示，过点作，取，连接， 根据题意，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； (3)的面积为 【分析】（1）根据等边对等角得到，由直角三角形两锐角互余得到，由三角形外角的性质列式即可求解； （2）根据题意得到，则点G是线段的中点，过点作，交于点K，证明，则是等腰直角三角形，，所以是等腰直角三角形，如图所示，过点作，取，连接，设，可证，得到，再证明，得，结合等腰直角三角形的性质即可求解； （3）如图所示，过点作交于点W，得到，，，作于点R，得到当点共线时，的值最小，最小值为的值，根据题意，当点三点共线，且线段经过以点D为圆心的圆时，的值最大，然后根据点圆最值关系即可解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，过点作交于点W， ∵，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 如图所示，作于点R， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，作，且， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，的值最小，最小值为的值， 作，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折到所在平面内得到， ∴，即点三点在以点D为圆心1为半径的圆上，如图所示， 根据题意，当点三点共线，且线段经过以点D为圆心的圆时，的值最大， ∴ ， ∴， 如图所示，过点作交于点，过点作交的延长线于点， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点在延长线时， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得 ，， ∴ ∴当点在延长线时，不符合题意，舍去， 综上所述，的面积为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆的基础知识，含30度角的直角三角形的计算，解直角三角形的计算等知识的综合运用，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07解直角三角形期中复习讲义 1.理解解直角三角形的含义，知道直角三角形中边角共五个元素（三条边、两个锐角），在已知除直角外两个独立条件（至少一条边）时，可以求出其余未知元素。 2.掌握解直角三角形的依据：勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数，能根据已知条件灵活选用正弦、余弦、正切进行计算。 3.能够识别仰角、俯角、坡度、坡角等实际问题中的概念，读懂实际情境，画出直角三角形示意图，把实际问题转化为解直角三角形数学模型。 4.对于非直角图形问题，学会通过作高、垂线构造直角三角形，掌握 “双直角三角形” 模型的分析与计算方法。 5.会结合相似、特殊角三角函数等知识，进行边角综合计算，规范书写解题步骤。 能够根据题意选择简便算法，尽量使用原始数据计算，减少近似计算带来的误差，会按要求取近似值。 6.理清常见易错点：区分坡度（坡比）和坡角；构造直角三角形时找准对应边角；分清仰角、俯角是视线与水平线的夹角；多模型问题注意图形分类讨论，避免漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 解直角三角形的相关计算 ★★★ 题型二 解非直角三角形 ★★★★ 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 ★★★★ 题型四 仰角俯角问题 ★★★★ 题型五 方位角问题 ★★★★ 题型六 坡度坡比问题 ★★★★ 题型七 其他问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 解直角三角形基础概念 1. Rt△的五个元素 在Rt△ ABC，∠ C=90： 三边：斜边c，直角边a(∠ A对边)\)、b(∠A邻边)； 两锐角：∠ A、∠B。 2. 定义 由直角三角形中已知 2 个元素（至少含一条边），求出其余全部未知元素的过程，叫做解直角三角形。 3. 可解 / 不可解判定表 已知条件 能否解直角三角形 理由 两边（两直角边 / 斜边 + 直角边） 可以 有边长，结合勾股、三角比求角 一边一锐角 可以 边长 + 角度，直接用边角关系 仅两个锐角 不可以 无长度，只能确定形状，无法求边长 知识点 02 直角三角形三大等量关系（解题全部依据） （1）三边关系（勾股定理） a2+b2=c2 适用：已知两边求第三边。 （2）锐角关系（互余） ∠A+∠B=90 适用：已知一个锐角，直接求另一个锐角。 （3）边角关系（三角函数，核心计算工具） 三角比 公式 适用场景 正弦 sinA= sinB= 已知斜边，求对边；已知斜边与对边求角 余弦 cosA= cosB= 已知斜边，求邻边；已知斜边与邻边求角 正切 tanA= tanb= 已知两条直角边，求锐角 知识点 03 特殊直角三角形快速结论（30°/45°） 三角形类型 三边比例 常用结论 含 30°直角三角形（∠A=30） a:b:c=1:\:2 30° 对边 = 斜边一半 等腰直角三角形（∠A=∠B=45） a:b:c=1:1: 两直角边相等 知识点 04 非标准图形：构造直角三角形 很多几何图形无现成直角，需要作高 / 作垂线分割出Rt△再求解： 1.普通三角形：过顶点向对边作高，分成两个直角三角形； 2.梯形：上下底作垂线，拆成矩形 + 两个直角三角形； 3.菱形、平行四边形：作高构造直角； 4.钝角三角形：向底边延长线作高，得到外部直角三角形。 解题核心：化斜为直，把不规则图形转化为可解的直角三角形。 知识点05.解直角三角形的类型及解法 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 已知条件 解法步骤 图形 两直角边 (a, b) 1.由tanA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3.由c=求斜边。 在Rt△ABC中，∠C=90∘∠A、∠B、∠C的对边分别为a.b.c.如图所示 斜边和一直角边 (c, a) 1.由sinA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3. 由b=​求另一直角边。 一锐角和一直角边 (∠A, a) 1.∠B=90∘−∠A； 2.由b=求邻边； 3.由c=求斜边。 一锐角和斜边 (∠A, c) 1.∠B=90∘−∠A； 2 由a=csinA求对边； 3.由b=ccosA求邻边。 知识点 06 解直角三角形通用解题步骤 1.标图：在图形中标出已知边、已知角，标注字母a、b、c、∠ A、 ∠B； 2.判断：分清属于四类基础题型，确定先用勾股还是三角比； 3.计算：优先使用题目原始数据，减少中间近似误差； 4.求角：边长比值求三角函数，再反推角度； 5.检验： ① 直角边＜斜边； ② 两锐角相加等于 90°； ③ 边长符合勾股定理。 知识点07:用锐角三角函数解决问题 本节核心是将实际问题抽象为解直角三角形的数学模型，解决三类典型应用问题。 模型名称 核心概念与公式 典型场景 仰角 / 俯角 仰角：视线在水平线上方与水平线的夹角。 俯角：视线在水平线下方与水平线的夹角。 关键：构造直角三角形，水平距离为邻边，高度为对边。 测量楼高、树高、旗杆高度、热气球观测等。 坡度 / 坡角 坡角 (α)：坡面与水平面的夹角。 坡度 (i)：坡面垂直高度h与水平宽度l的比，i==tanα。 水坝、斜坡、楼梯、山坡等倾斜问题。 方向角 / 方位角 定义：以正北、正南为基准，描述物体所在方向的角（如北偏东 30°）。 关键：结合平行线性质（内错角相等）转化角度，再解三角形。 航海、方位判断.两船距离计算等 知识点 08 高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确做法 边角对应错乱 求∠A误用当(sin A) 先锁定锐角，分清对边、邻边 计算顺序错误 先用近似角度再求边长，误差大 优先用原始边长计算，最后求角 忽略条件限制 只给两个锐角，强行求边长 牢记必须至少已知一条边 特殊角比值记混 30° 对边等于斜边 熟记30对边是斜边一半 图形不会转化 梯形、钝角三角形直接硬算 作垂线分割，构造直角三角形 题型一、解直角三角形的相关计算 1．如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 2．已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点，在矩形内，．若，则的长为____________． 题型二、解非直角三角形 4．在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，则的长为___________． 6．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 7．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．608 B．608 C．64 D．68 8．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为______． 9．如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（    ） A．6米 B．米 C．4米 D．米 题型四、仰角俯角问题 10．如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 11．如图，小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为，楼底点D处的俯角为．若两座楼与相距60米，则大楼的高度为_________米（结果保留根号）． 12．如图，某地修建高速公路，要从地向地修一座隧道（，在同一水平面上），为了测量，两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从地出发，垂直上升到达处，在处观察地的俯角为，则，两地之间的距离为（     ） A． B． C． D． 题型五、方位角问题 13．如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（     ）（参考数据：） A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时 14．如图，港口A在观测站O的正东方向，海里，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）是______海里． 15．为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 题型六、坡度坡比问题 16．如图，已知传送带和地面所成斜坡的坡度比为，把物体从地面点处送到离地面2米高的点处，则传送带的水平距离为（     ） A．米 B．4米 C．米 D．8米 17．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． 18．如图，一段路基的横断面是梯形，高为，上底宽为，其坡面的坡角分别是和．求路基下底的宽．（精确到0.1m）    题型七、其他问题 19．长春万达茂室内滑雪场是亚洲垂直落差最大的室内滑雪场，最大落差达85米．如图，某条雪道的坡角为α，坡面长度为413米，则该雪道的铅直高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 20．如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是______m． 21．某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测．如图，在河岸两边分别标记，两点，使得与河岸垂直，且点，与台底在同一条直线上，已知台高米，，，求河宽（结果保留小数点后一位）． （参考数据：，，，） 解答题 22．如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长； (2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 23．在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，在右侧作，，． (1)如图1，若点F恰好落在边上，求的长； (2)如图2，延长交边于点H，当时，求的值． 24．白鹭塔位于长沙的城市“绿肺”——长沙洋湖湿地景区，塔体采用多层密檐形式，以八角、七层、重檐为基本特征，既宏伟壮观又具湖南地域特色．某数学兴趣小组要利用测角仪测量白鹭塔的高度，如图，塔前有一座高为的景观桥，已知，点在同一条水平直线上．在景观桥C处测得塔顶部B的仰角为，在景观桥D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)求白鹭塔的高度．（精确到，参考数据：） 25．重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 26．如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 27．年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 28．如图，中，，D为边上一点，连接，过点C作交的延长线于点F，延长交于点G． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，E为线段上一点，连接、，延长至H，使，连接，若，探究线段与线段的数量关系，并证明； (3)如图3，E为直线上一点，连接、，若，，点P在直线上运动，连接，将沿翻折到所在平面内得到，点M、N分别在射线、上运动，满足，连接、，当取得最小值时，连接、、，当取得最大值，直接写出的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $