第14讲 三角初步（解直角三角形）【暑假预习】讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第14讲 三角初步（解直角三角形） 高效提优讲义 2026-2027学年沪教版(五四制)数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解锐角三角函数（sin、cos、tan）的定义，能在直角三角形中准确计算。 · 熟记特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，并能灵活运用。 · 掌握解直角三角形的基本方法（已知两边或一边一角求其余元素）。 · 应用解直角三角形解决实际问题：仰角俯角、坡度坡角、方向角等。 · 培养建模能力，将实际问题转化为直角三角形模型并求解。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1. 解直角三角形 知识点① 解直角三角形的概念和方法 1. 解直角三角形的概念 对于直角三角形，除了已知其中一个直角以外共有五个元素，即三条边和两个锐角。在直角三角形中，根据已知元素求出所有未知元素的过程，称为解直角三角形。 提醒：在直角三角形中，只要已知两条边长或者一条边长与一个锐角，就可以求得其他所有角和边。 2. 直角三角形的边角关系 3. 解直角三角形的五种基本类型与解法 提醒 （1）解直角三角形时，应求出所有的未知元素。 （2）解直角三角形时，为了厘清各边、各角，一般先画出一个直角三角形示意图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，再将直角三角形的边和角的正弦、余弦、正切联系起来，从而迅速求解。 【典型例题1】 在Rt△ABC中，∠C = 90°，，∠A = 36°，解这个直角三角形。（结果保留一位小数） 解： ∵ ∠A = 36°，∠C = 90°， ∴ ∠B = 90° - ∠A = 54°。 ∵ ， ∴ 。 ∵ ， ∴ 。 提示 （1）本题是类型③（已知锐角和邻边）。求边 的长，尽量利用正切，把 放在分子上，变形得 ，通过乘法求解。 （2）求边 的长，可以利用勾股定理，但会使用近似值 ，误差累积。因此应尽量使用题中所给数据，本题用 求 ， 和 ∠A 均为原始数据。 总结 解直角三角形求边长时，如果求直角边用切（正切或余切），把所求直角边放在分子上；如果求斜边用弦（正弦或余弦），斜边只能放在分母位置。 知识点② 解非直角三角形 在解非直角三角形时，往往通过作三角形的高，构造直角三角形来解决。作高时，常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏 角和已知长度的边为原则。 对于复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角三角形，使问题转化为解直角三角形。 方法：常见解非直角三角形的两种模型，如图1、图2。 【典型例题2】 如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠ACB = 75°，AC = 2，求 BC 的长。 破题思路：由内角和得 ∠A = 60°，∠A、∠B均为特殊角，可构造分别以∠A、∠B为内角的直角三角形。 解： 如图，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D。因为 ∠B = 45°，∠ACB = 75°， 所以 ∠A = 180° - 75° - 45° = 60°。在 Rt△ACD 中，∠A = 60°，AC = 2， 所以 。在 Rt△BCD 中，∠B = 45°， 所以 。 知识点③ 解等腰三角形 等腰三角形是一种特殊的三角形，对它的边、角求解问题可以转化为解直角三角形。 【典型例题3】 在等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 15，BC = 24，求它的顶角和面积。（参考数据：） 解： 如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D。 ∵ AB = AC，AD⊥BC，BC = 24， ∴ 。 在 Rt△ABD 中，AB = 15， ∴ 。 （后续求顶角：在 Rt△ABD 中，， ∴ ∠BAD ≈ 53°（由 可得 ，故 ∠BAD ≈ 53°）， 顶角 ∠BAC = 2∠BAD ≈ 106°。 面积 。） 方法总结：解等腰三角形，常常作底边上的高，由“三线合一”性质，底边被高平分，得到两个全等的直角三角形，将问题转化为解直角三角形（如本例转化为解直角三角形的类型②求解）。 ☆2. 解直角三角形的应用 知识点④ 仰角、俯角问题 【典型例题4】 如图，在点 A 处测得点 B 处的仰角是 ______。（用“∠1”“∠2”“∠3”或“∠4”表示） 解析：在点 A 处测得点 B 处的仰角与在点 B 处测得点 A 处的俯角是水平线间的一对内错角。 答案：∠4 例2 如图，无人机于空中 A 处测得某建筑顶部 B 的仰角为 45°，测得该建筑底部 C 的俯角为 17°。若无人机的飞行高度 AD 为 62 m，该建筑的高度 BC 约为多少米？（参考数据：，，） 解： 如图，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，则四边形 ADCE 为矩形， ∴ EC = AD = 62 m。 在 Rt△AEC 中，， 则 (m)。 在 Rt△AEB 中，， ∴ (m)。 ∴ (m)。 答：该建筑的高度 BC 约为 262 m。 总结：解有关仰角、俯角问题的关键：正确识别仰角、俯角。首先要确认观察点位置，再以观察点为中心，找出水平线和铅垂线，然后看视线方向是在水平线的上方还是下方，向上看是仰角，向下看是俯角。 知识点⑤ 坡度、坡角问题 提醒： （1）坡度通常写成 的形式。 （2）坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡。 （3）在实际问题中，若已知坡比，可求斜坡的坡角；反之，若已知坡角 α，可求出坡度（或坡比）。所依据的关系式为 。 【典型例题5】 如图，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD，AE、DF 为梯形的高，其中迎水坡 AB 的坡角 α = 45°，坡长 m，背水坡 CD 的坡度 （i 为 DF 与 FC 的比），则背水坡 CD 的坡长为 ______ m。 解析： 迎水坡 AB 的坡角 α = 45°，坡长 m， ∴ (m)。 背水坡 CD 的坡度 （i 为 DF 与 FC 的比）， ∴ ， ∴ ∠C = 30°， ∴ m。 答案：12 知识点⑥ 方向角问题 提醒 （1）解决实际问题时，可利用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形。 （2）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的。 【典型例题6】 如图，海上有一灯塔 P，位于小岛 A 北偏东 60° 方向上，一艘轮船从小岛 A 出发，由西向东航行 24 n mile 到达 B 处，这时测得灯塔 P 在北偏东 30° 方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔 P 的正南方，此时轮船与灯塔 P 的距离约是多少 n mile？（结果保留一位小数，） 解析： 如图，过点 P 作 PD⊥AB，交 AB 的延长线于点 D。由题意，得 ∠PAB = 30°，∠PBD = 60°，AB = 24 n mile。∴ ∠PAB = ∠APB（∵ 外角等于不相邻两内角和），∴ BP = AB = 24 n mile。在 Rt△PBD 中， (n mile)。 答案：20.8 总结：实际问题中常见的基本图形及相应的关系式 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】解直角三角形 （第1—12题） ※ 方法总结： · 知两边求角：用三角函数（sin / cos / tan）的逆运算求角度。 · 知一边一角求边：根据三角函数定义列出比例式，再结合勾股定理。 · 双直角三角形：通过公共边或相等角建立联系，列方程组求解。 · 注意：计算时优先使用已知数据，避免中间误差传递。 1．（2026春•青浦区期末）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（　　） A．AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30° B．AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30° C．AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30° D．AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm 【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，反之无法确定，其中SSA（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形． 【解答】解：A、选项给出AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30°，符合ASA判定，可确定唯一三角形，不符合题意； B、选项给出AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30°，属于SSA，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定三角形的形状和大小，符合题意； C、选项给出AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30°，符合SAS判定，可确定唯一三角形，不符合题意； D、选项给出AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm，符合SSS判定，可确定唯一三角形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2025秋•二七区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，，那么边AC的长是（　　） A． B．1 C．2 D． 【分析】根据正弦定义求解即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝3，sinB， ∴， ∵AB＝3， ∴AC＝2， 故选：C． 【点评】此题考查了解直角三角形，熟记正弦的定义是解题的关键． 3．（2025秋•普陀区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果，那么sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理求出AB，再利用正弦函数的定义求解． 【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，， ∴AB3， ∴sinB． 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握三角函数的定义． 4．（2025秋•青浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（　　） A．sinB B．cosC C．sinC D．tanC 【分析】先证明∠C＝∠BAD，再根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠B+∠C＝90°，∠B+∠BAD＝90°， ∴∠C＝∠BAD 在Rt△ABC中，sinB， 故选项A不正确，不符合题意； 在Rt△ACD中，cosC，在Rt△BAD中，cos∠BAD， ∴cosC＝cos∠BAD， 故选项B不正确，不符合题意； 在Rt△ABC中，sinC， 故选项C正确，符合题意； 在Rt△ABD中，tan∠BAD， ∴tanC＝tan∠BAD， 故选项D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，准确识图，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 5．（2025秋•闵行区校级月考）如果将一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的5倍，那么锐角A的正切值（　　） A．没有变化 B．不能确定 C．扩大为原来的5倍 D．缩小为原来的 【分析】根据题意，得出三角形的大小发生了改变，但形状没有改变，进一步得出锐角A的大小没有改变，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 将一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的5倍，所得新三角形与原三角形相似， 所以锐角A的大小没有改变， 所以锐角A的正切值没有变化． 故选：A． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，能根据题意得出锐角A的大小没有改变是解题的关键． 6．（2025秋•上海期中）如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，联结BD，，CH⊥BD于H，下列两个说法：①；②．下列说法中正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②一定都正确 D．①②一定都错误 【分析】根据条件能够判断A，B，C，D四点共圆，再根据三角函数以及相似三角形的对应边的比相等判断． 【解答】解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，点A，B，C，D共圆， ∴∠ABD＝∠ACD＝∠BCH，cos∠ABD， ∴cos∠ACD， ∴∠ACB＝∠DCH， ∵CH⊥BD ∵∠ABC＝∠CDH＝90°， ∴△ABC～△DHC ∴ 故①正确， 同理可得△BHC∽△ADC， ∴， 故②错误， 故选：A． 【点评】本题考查了三角函数，四点共圆，相似三角形的判定与性质． 7．（2025秋•宝山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝18，BC＝9，那么∠A＝　30°　 ． 【分析】根据特殊角的三角函数值，可以得到∠A的度数． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝18，BC＝9， ∴sinA， ∴∠A＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确特殊角的三角函数值． 8．（2025秋•青浦区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AC＝3，BC＝1，则tan∠ACD＝ 　3　 ． 【分析】根据直角三角形的性质得到∠ACD＝∠B，再根据正切的定义计算即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠A＝90°， ∴∠ACD＝∠B， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1， 则tanB3， ∴tan∠ACD＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 9．（2025秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，BC＝5，cotA＝2，，D是AB的中点．E是线段AC延长线上一点，联结BE，如果四边形BDCE的一组对角相等且另一组对角不相等，那么AE的长是 　或　 ． 【分析】过点C作CF⊥AB于点F，解直角三角形求出CF＝3，利用勾股定理求出，解直角三角形求出AF＝6，进而求出AB，AC，AD，DF，CD的长度，然后根据题意分两种情况讨论：当∠CDB＝∠E时，连接BE，CE，在BF上取点G，使DF＝GF＝1，证明出△ACG∽△ABE，得到，然后代入求解即可；当∠DCE＝∠DBE时，过点D作DH⊥AC于点H，过点E作EM⊥AB于点M，利用勾股定理求出，，证明出△DHC是等腰直角三角形，然后解直角三角形求解即可． 【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F， ∵，BC＝5， ∴，即， ∴CF＝3， ∴， ∵， ∴， ∴AF＝6， ∴AB＝AF+FB＝6+4＝10，， ∵D是AB的中点， ∴， ∴DF＝AF﹣AD＝6﹣5＝1， ∴， ∵四边形BDCE的一组对角相等且另一组对角不相等， 当∠CDB＝∠E时，连接BE，CE，在BF上取点G，使DF＝GF＝1， ∴AG＝AF+FG＝6+1＝7， ∵CF⊥AB，DF＝GF＝1， ∴， ∴∠CDG＝∠CGD， ∵∠CDB＝∠E， ∴∠E＝∠CGD， ∵∠A＝∠A， ∴△ACG∽△ABE（两角相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形的对应边成比例）， ∴， ∴； 当∠DCE＝∠DBE时，过点D作DH⊥AC于点H，过点E作EM⊥AB交AB的延长线于点M， ∴， ∴AH＝2DH， ∵AD＝5，AH2+DH2＝AD2， ∴， ∵， ∴， ∴△DHC是等腰直角三角形， ∴∠HCD＝45°， ∴∠DCE＝∠DBE＝180°﹣∠HCD＝135°， ∴∠EBM＝180°﹣∠DBE＝45°， ∵EM⊥AB， ∴△BEM是等腰直角三角形， ∴BM＝EM， ∴， ∴BM＝EM＝10， ∴， 综上所述，AE的长是或． 故答案为：或． 【点评】此题考查了解直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 10．（2025秋•金山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D在边BC上，BD＝8，CD＝4，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E． （1）求AD的长； （2）求sinE的值． 【分析】（1）线段的和差求出BC的长，正切值求出AC的长，勾股定理求出AD的长即可； （2）同角的余角相等，得到∠E＝∠ADC，根据正弦的定义求出sin∠ADC即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝BD+CD＝8+4＝12，， ∴， ∴AC＝5， 在Rt△ACD中，由勾股定理，得； （2）由（1）知：，AC＝5， ∵DE⊥AD，∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠E＝∠CAD+∠ADC＝90°， ∴∠E＝∠ADC， ∴． 【点评】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 11．（2025秋•闵行区校级月考）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，，tan∠A＝2，E是BC边上的点，联结DE． （1）求BD的长； （2）如果，求tan∠BDE的值． 【分析】（1）由tanA2，令AD＝x，CD＝2x，由勾股定理得到x＝2，求出x＝2，得到CD＝2x＝4，由余角的性质推出∠BCD＝∠A，得到tan∠BCD＝tanA＝2，得到2，即可求出BD的长； （2）过E作EH⊥AB于H，判定△BEH∽△BCD，EH：CD＝BH：BD＝BE：BC＝1：4，得到EH＝1，BH＝2，求出DH＝6，即可求出tan∠BDE的值． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴tanA2， ∴令AD＝x，CD＝2x， ∴ACx＝2， ∴x＝2， ∴CD＝2x＝4， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝∠A+∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠A， ∴tan∠BCD＝tanA＝2， ∴2， ∴BD＝8； （2）过E作EH⊥AB于H， ∵CD⊥AB， ∴HE∥CD， ∴△BEH∽△BCD， ∴EH：CD＝BH：BD＝BE：BC， ∵BE：CE＝1：3， ∴EH：4＝BH：8＝1：4， ∴EH＝1，BH＝2， ∴DH＝BD﹣BH＝8﹣2＝6， ∴tan∠BDE． 【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是掌握锐角的正切定义，判定△BEH∽△BCD，推出EH：CD＝BH：BD＝BE：BC． 12．（2025•闵行区二模）如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB＝5，tan∠ABE． （1）求BE的长； （2）求tan∠EBC的值． 【分析】（1）先根据∠ABE的正切及AB的长求出BH的长，再结合AD⊥BE及AD平分∠ABC即可解决问题． （2）根据题意，分别得出DH和EF为△BEF和△CAD的中位线，据此求出DH的长，最后在Rt△DHB中根据正切的定义即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AD⊥BE， ∴在Rt△ABH中， tan∠ABE． 又∵AB＝5，∠ABE， ∴AH＝3，BH＝4． 又∵AD平分∠BAC， ∴BE＝2BH＝8． （2）∵EF⊥BE，AD⊥BE， ∴AD∥EF． 又∵BH＝EH， ∴DH是△BEF的中位线， ∴EF＝2DH． 同理可得，AD＝2EF， ∴AD＝4DH， 即3+DH＝4DH， ∴DH＝1． 在Rt△BDH中， tan∠EBC． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的判定与性质，熟知正切的定义及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点2】解直角三角形的应用 （第13—21题） ※ 方法总结： · 建立模型：将实际问题抽象为直角三角形，标注已知量和未知量。 · 选择三角函数：根据已知边和所求边的关系，选择合适的 sin/cos/tan。 · 近似计算：注意题目要求的精确度，合理使用参考数据。 · 检验合理性：计算结果要符合实际情境（如高度为正、角度在范围内）。 13．（2026春•崇明区期中）如图，是一块直角三角形的绿化带，∠B＝90°，已知，绿化带的斜边AC长度为5米，则绿化带的直角边AB的长为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，，AC＝5米， ∴AB＝AC•cosA＝53（米）， ∴绿化带的直角边AB的长为3米， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 14．（2025秋•宝山区校级月考）如图①是一种手机平板支架，图②是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．若量得支撑板长CD＝8，∠CDE＝α，则点C到底座DE的距离为（　　） A．8sinα B．8cosα C． D． 【分析】过点C作CF⊥DE于点F，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【解答】解：过点C作CF⊥DE于点F， 在Rt△CDF中， sinα， ∴CF＝CD•sinα＝8sinα， 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 15．（2025•同安区校级模拟）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，AD＝4，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（　　） A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα 【分析】作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，可得四边形AEOF是矩形，得到AE＝FO，又由四边形ABCD是矩形，可得∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，进而可得∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBO＝α，再分别解Rt△ABF和Rt△BOC求出FB和BO，进而即可求解．． 【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F， ∵OC⊥OB，∴∠AFB＝∠AEO＝∠BOC＝90°， ∴四边形AEOF是矩形， ∴AE＝FO， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝1，AD＝4， ∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4， ∵∠BCO＝α， ∴∠CBO＝90°﹣α， ∴∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBO＝180°﹣90°﹣（90°﹣α）＝α， 在Rt△ABF中，FB＝AB•cos∠ABF＝cosα， 在Rt△BOC中，BO＝BC•sin∠BCO＝4sinα， ∴AE＝FO＝FB+BO＝cosα+4sinα， ∴点A到OC的距离等于cosα+4sinα， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 16．（2026•浦东新区二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘AC＝BD＝60cm，与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°，双翼展开时端点A、B的间距为8cm．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为　68　 cm． 【分析】过A作AE⊥CP于点E，过B作BF⊥DQ于点F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为8cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【解答】 解：过A作AE⊥CP于点E，过B作BF⊥DQ于点F， 则Rt△ACE中，， 同理可得，BF＝30cm， 又∵点A与B之间的距离为8cm， ∴通过闸机的物体的最大宽度为30+8+30＝68（cm）． 故答案为：68． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 17．（2026•虹口区三模）图1是公园里的一个秋千．如图2，从侧面看，线段AB表示绳索的静止状态，测得此时点B到地面的距离BE是20厘米．小李同学坐上秋千后，将点B向后抬起到点C，此时测得∠CAB＝37°，点C到地面的距离CF是50厘米．已知绳索长度保持不变（即AB＝AC），那么绳索AB的长度约是　150　 厘米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【分析】过点C作CG⊥AB于G，得到四边形CFEG是矩形，根据矩形的性质得到EG＝CF＝50厘米，根据三角函数的定义列方程即可得到结论； 【解答】解：过点C作CG⊥AB于G，则四边形CGEF是矩形． ∴EG＝CF＝50厘米， ∴BG＝EG﹣BE＝＝50﹣20＝30（厘米）， 在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝37°， cos∠CAG0.8， 解得：AC＝150厘米， ∴AB＝150厘米． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 18．（2026•长宁区校级模拟）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为33cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为　89　 cm．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74） 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，利用三角函数求出CH+AP即可． 【解答】解：如图2，作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P， ∵∠ABE＝70°，车轮半径为33cm，BC＝60cm， ∴AP＝33cm， ∴CH＝BC•sin70°≈60×0.94＝56.4（cm）， ∴坐垫C离地面高度约为56.4+33≈89（cm）， 故答案为：89． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 19．（2025秋•浦东新区校级期中）材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为. 问题解答： 如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得∠NOQ＝37°，NQ＝12cm，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求∠POM的正弦值； （2）求CQ的长（参考数据；． 【分析】（1）在Rt△ONQ中，利用锐角三角函数的定义求出ON的长，再根据已知易得：，从而根据对顶角相等可得； （2）在Rt△CON中，根据锐角三角函数的定义可设CN＝4xcm，则OC＝5xcm，从而利用勾股定理进行计算可求出CN的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）在Rt△ONQ中，∠NOQ＝37°，NQ＝12cm， ∴， ∵折射率， ∴， ∴； （2）∵∠POM＝∠CON， ∴， 在Rt△CON中，， 设CN＝4xcm，则OC＝5xcm， 由勾股定理得：， ∴3x＝16， 解得：， ∴， ∴， 答：CQ的长约为9.3cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．（2026•宝山区二模）我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为α，折射角为β，我们把n称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，ABCD为一圆柱形敞口容器的纵切面，BC＝32cm，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点O，A，C恰好共线，此时∠BAC＝53°．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G处，测得CG＝7cm．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） （1）求容器的高度AB． （2）求水的折射率n． （3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G′移动到BC的三等分点处（CG′CB），求水面上升的高度EE′（结果精确到0.1cm）． 【分析】（1）根据∠BAC的正切值可得AB的长； （2）作HP⊥BC于点P．根据水面EF在容器高度一半，可得CP，HP的长度，进而可得PG的长度，利用勾股定理可得HG的长度，即可求得折射角的正弦值，易得入射角∠AHQ＝∠BAC，那么可得入射角的正弦值，即可求得n的值； （3）在水中的折射光线是平行的，那么可得CG′和GG′的比值；根据水平面也是平行的，可得AE和EE′的比值．即可求得EE′的值． 【解答】解：（1）∵tan∠BAC，BC＝32cm，tan53°， ∴AB3224（cm）． （2）作HP⊥BC于点P． ∴∠HPG＝90°． 由题意得：HPAB＝12 cm，CPBC＝16 cm，∠AHQ＝∠BAC＝53°． ∵CG＝7 cm， ∴PG＝CP﹣CG＝9 cm． ∴HG15 cm． ∴sin∠PHG． ∵sin∠AHQ＝sin∠BAC． ∴n． （3）∵CG′CB， ∴CG′ cm． ∴GG′＝CG′﹣CG． 由题意得：HG∥H′G′， ∴． 由题意得：E′F′∥EF，AH＝CH． ∴． 即：． 解得：EE′6.3（cm）． 【点评】本题综合考查了解直角三角形及平行线分线段成比例定理的应用．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（2026•虹口区二模）根据以下素材，完成任务． 素材一 如图1，如果EF⊥平面镜AB，入射光线CF经平面镜AB反射，得到反射光线FD，那么反射角∠DFE等于入射角∠CFE，即∠DFE＝∠CFE． 素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻…”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示． 素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点B，墙角记为点P，邻居记作点A，镜子（平面镜）记作MN，OD⊥MN于点O，入射光线AO经平面镜MN反射，得到反射光线OB，BE⊥AB于点B，OB又作为入射光线通过水盆B反射得到反射光线BC，进入观察者的眼中（抽象为点C）．已知OP⊥AB于点P，∠AOD＝45°，∠CBE＝37°，水盆到墙角的距离BP＝1.8米． 素材四 参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75． 问题解决 任务一 求邻居A到墙角P的距离； 任务二 如果入射光线OA不变，将镜子MN绕点O顺时针旋转8°，在OP左侧的观察者仍能通过水盆B看到邻居A，那么水盆B应向左还是右平移？平移多少米？ 【分析】任务一：依据题意得，∠AOB＝90°，∠CBE＝∠OBE＝37°，结合BE⊥AB，可得∠BOP＝∠OAB＝37°，由BP＝1.8米，故OP2.4（米），从而AP3.2（米），即可得解； 任务二：依据题意得，旋转后镜子MN∥AB，由任务一，AP＝3.2米，从而BP＝AP＝3.2米，故平移的距离为3.2﹣1.8＝1.4（米），进而得解． 【解答】解：任务一：由题意得，∠AOB＝90°， ∠CBE＝∠OBE＝37°， ∵BE⊥AB， ∴∠BOP＝∠OAB＝37°， ∵BP＝1.8米， ∴OP2.4（米）， ∴AP3.2（米）． 答：邻居A到墙角P的距离为3.2米； 任务二：向左平移1.4米，理由如下： 由题意得，旋转后镜子MN∥AB， 由任务一，AP＝3.2米， ∴BP＝AP＝3.2米， ∴平移的距离为3.2﹣1.8＝1.4（米）． 答：水盆B应向左平移，平移1.4米． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、平移的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【考点3】坡度坡角问题 （第22—26题） ※ 方法总结： · 坡比定义：i = h / l = tan α，其中 α 为坡角。 · 已知坡比求三角函数：设垂直高度为 kx，水平距离为 mx，利用勾股定理求斜边。 · 实际问题：注意坡面长度、水平距离、垂直高度三者的关系。 · 易错点：坡比是比值，不是角度；注意单位统一。 22．（2026•奉贤区二模）如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高AB为2.24米，扣球点C距离地面的高度CD为2.8米，且CD垂直于地面．排球从C点扣出的飞行路线近似为射线CA，当该射线与水平方向所成的夹角为16°时，球恰好擦网而过．此时，起跳点D到球网底部B的水平距离BD为　1.9　 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°0.96，tan16°≈0.29） 【分析】根据题意求出CE，再根据正切的定义求出AE，进而求出BD． 【解答】解：由题意可知：四边形EDBA为矩形， ∴ED＝AB＝2.24米，BD＝AE， ∵CD＝2.8米， ∴CE＝2.8﹣2.24＝0.56（米）， 在Rt△ACE中，∠CAE＝16°， ∵tan∠CAE， ∴AE1.9（米）， ∴BD≈1.9米， 故答案为：1.9． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 23．（2026春•浦东新区校级月考）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．现有一个长6m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是　5.8　 m（结果精确到0.1，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26）． 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：如图： 在Rt△ABC中，AC＝6m，∠CAB＝75°， ∴BC＝AC•sin75°≈6×0.97≈5.8（m）， ∴使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度约为5.8m， 故答案为：5.8． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 24．（2026•杨浦区二模）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sinα＝　　 ． 【分析】坡比＝坡角的正切值，设竖直直角边为x，水平直角边为2x，由勾股定理求出斜边，进而可求出α的正弦值． 【解答】解：如图所示： 由题意，得：tanα＝i， 设竖直直角边为x，水平直角边为2x， 则斜边x， 则sinα． 故答案为． 【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键． 25．（2025秋•虹口区期末）如图1，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图2所示，BC为地面，AB为斜坡上的传送带，∠B＝26.5°，四边形DEFG是边长为1.8米的正方形．点M为仓库卷帘门打开的最高位置，点M、D、H在同一直线上，点D到地面的距离DH为5米． （1）求BE的长（精确到0.1米）； （2）已知M到地面的距离MH为6.8米，如果正方形DEFG的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（AB足够长）． （参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50） 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到∠EDN＝∠B＝26.5°，根据正切的定义求出EN，根据余弦的定义求出DN，进而求出NH，再根据正弦的定义求出BN，计算即可； （2）根据正弦的定义求出D′N，进而求出D′H，比较大小得出结论． 【解答】解：（1）∵DE⊥AB，DH⊥BC，∠DNE＝∠BNH， ∴∠EDN＝∠B＝26.5°， 在Rt△EDN中，∠EDN＝26.5°，DE＝1.8米， 则EN＝DE•tan∠EDN≈1.8×0.50＝0.9（米），MN2（米）， ∴NH＝DH﹣DN＝5﹣2＝3（米）， ∴BN6.67（米）， ∴BE＝EN+BN＝0.9+6.67≈7.6（米）， 答：BE的长约为7.6米； （2）不能继续利用该传送带运输， 当正方形DEFG的边长扩大为原来的2倍时，D′E′＝3.6米， 则D′N4（米）， ∴D′H＝4+3＝7（米）， ∵7＞6.8， ∴正方形DEFG的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 26．（2025•崇明区三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）． 【分析】延长CD交AB于E，根据坡度和坡角可得CE＝3，DE＝2.6，过点D作DH⊥AB于H，根据锐角三角函数即可求出DH的长． 【解答】解：如图， 延长CD交AB于E， ∵i＝1：2.4， ∴， ∴， ∵AC＝7.2， ∴CE＝3， ∵CD＝0.4， ∴DE＝2.6， 过点D作DH⊥AB于H， ∴∠EDH＝∠CAB， ∵， ∴， ， 答：该车库入口的限高数值为2.4米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义． 【考点4】仰角俯角问题 （第27—31题） ※ 方法总结： · 识别仰角/俯角：仰角是向上看，俯角是向下看，均在水平线上方/下方。 · 构造直角三角形：过观测点作水平线，将视线与水平线的夹角作为锐角。 · 常用关系：高度 = 水平距离 × tan(仰角)（或俯角）。 · 多角度问题：通过两个观测点建立方程组，求解高度或距离。 27．（2026•嘉定区）如图，在地面上离旗杆BC底部8米的A处到得旗杆顶端C的仰角为60°，那么旗杆BC的高度约为　13.8　 米（，精确到0.1米）． 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝8米， ∴BC＝AB•tan60°＝813.8（米）， ∴旗杆BC的高度约为13.8米， 故答案为：13.8． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 28．（2025秋•宝山区校级月考）某飞机在离地面垂直距离1500米的上空A处，测得地面控制点B的俯角为60°，那么飞机与该地面控制点之间的距离AB等于　1000　 米．（结果保留根号） 【分析】根据题意可得：AC⊥BC，∠DAB＝60°，DA∥BC，从而可得∠ABC＝∠DAB＝60°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：AC⊥BC，∠DAB＝60°，DA∥BC， ∴∠ABC＝∠DAB＝60°， 在Rt△ABC中，AC＝1500米， ∴AB（米）， ∴飞机与该地面控制点之间的距离AB等于1000米， 故答案为：1000． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 29．（2026•静安区校级模拟）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立了从直接测量到间接测量的桥梁，直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．某实践小组利用重差法测量海岛上一座山峰AB的高度，分别在C，D两点观察山顶点A，测得仰角分别为45°，26.5°，同时测得CD长为200米，则山峰AB的高度约为　200　 米． （sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50） 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB＝BC，求得BD＝BC+CD＝（AB+200）米，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝45°， ∴AB＝BC， ∵CD长为200米， ∴BD＝BC+CD＝（AB+200）米， ∴tanD＝tan26.5°0.5， ∴AB＝200， 答：山峰AB的高度约为200米， 故答案为：200． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 30．（2026•静安区校级模拟）根据下列素材，完成探索任务． 核验山区5G信号塔高度项目 素材1 图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图．它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用AB表示，水平地面用BC表示．有两个监测点分别在斜坡的端点A点处与水平地面上的C点处．根据选址时勘测日志中的记载，A点的地面海拔高度为592米，B点的地面海拔高度为542米，A、B两点垂直方向上的高度差即为海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从A点到B点共走了130米，从B点到C点共走了60米． 素材2 图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔PQ就建在山上的Q点处．根据施工日志资料显示，信号塔底Q点的海拔高度为802米． 检测员小李在检测基地的A点处利用测角仪测得塔顶P点的仰角α为37°，在C点利用测角仪测得塔顶P点的仰角β为63.5°，测角仪的高度忽略不计． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡AB的坡比． 任务二 如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个5G信号塔PQ的高度． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin63.5°≈0.9，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.0） 【分析】任务一：根据勾股定理及坡度的概念求解； 任务二：根据锐角的三角函数求解． 【解答】解：任务一：过点A作AH⊥BC于H， 在Rt△ABH中，AH＝592﹣542＝50米，AB＝130米， ∴BH120米， ∴斜坡AB的坡比为：1：2.4； 任务二：过点A作AE⊥PG于E，PQ的延长线交BC于点M， 则GE＝802﹣542＝260米，EM＝50米， 设CM＝x米，∴PM＝CMtan63.5°＝2x米，AE＝120+60+x＝（180+x）米， ∴PE＝AEtan37°＝0.75×（180+x）＝（135+0.75x）米， ∵PM﹣PE＝EM，即2x﹣（135+0.75x）＝50， 解得：x＝148米， ∴PQ＝PM﹣GM＝148×2﹣260＝36（米）， 答：这个5G信号塔PQ的高度为36米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，理解仰角和坡度的概念是解题的关键． 31．（2025秋•崇明区期末）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图1）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶OA、OB、OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶OC与塔干OD叠合时（即O、C、D在一直线上），在与塔底D水平距离为200米的E处，测得塔干顶部O的仰角为37°，风叶OA的端点A的仰角为59°，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内． （参考数据sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，tan59°≈1.7，1.7） （1）求塔干OD的长度； （2）求风叶OA的长度．（精确到1米） 【分析】（1）根据题意可得：OD⊥DE，然后在Rt△ODE中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，即可解答； （2）过点A作AF⊥DE，垂足为F，过点O作OG⊥AF，垂足为G，根据题意可得：FG＝OD＝150米，OG＝DF，∠DOG＝90°，从而可得∠AOG＝30°，然后设DF＝OG＝x米，则EF＝（200﹣x）米，分别在Rt△AOG和Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AG和AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：OD⊥DE， 在Rt△ODE中，∠OED＝37°，DE＝200米， ∴OD＝DE•tan37°≈0.75×200＝150（米）， ∴塔干OD的长度约为150米； （2）过点A作AF⊥DE，垂足为F，过点O作OG⊥AF，垂足为G， 由题意得：FG＝OD＝150米，OG＝DF，∠DOG＝90°， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°， 设DF＝OG＝x米，则EF＝DE﹣DF＝（200﹣x）米， 在Rt△AOG中，AG＝OG•tan30°x（米）， 在Rt△AEF中，∠AEF＝59°， ∴AF＝EF•tan59°≈1.7（200﹣x）米， ∵AF﹣AG＝FG， ∴1.7（200﹣x）x＝150， 解得：x≈82.6， ∴OG≈82.6米， 在Rt△AOG中，AO97（米）， ∴风叶OA的长度约为97米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【考点5】方向角问题 （第32—37题） ※ 方法总结： · 画方位图：以观测点为中心，画出正北、正南、正东、正西方向。 · 转化为角度：方向角"北偏东 x°"即从正北向东转 x°。 · 构造直角三角形：通过方位角关系，找出直角三角形中的锐角。 · 注意：多个方向角时，常需利用平行线性质或三角形内角和求角度。 32．（2025•徐汇区二模）一次游学活动中，小杰从营地A出发，沿北偏东60°方向走了米到达B处，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C处（如图所示），那么A、C两地的距离是（　　） A．米 B．1500米 C．米 D．1000米 【分析】求出∠FBC，根据平角的定义求出∠CBA，根据勾股定理求出AC即可； 【解答】解：∵SN∥AD， ∴∠EBA＝∠DAB＝60°， ∵∠FBC＝30°， ∴∠ABC＝180°﹣∠FBC﹣∠EBA＝90°， ∵AB＝500米，BC＝500米， 由勾股定理得：AC1000（米）， 答：A、C两点之间的距离是1000米． 故选：D． 【点评】本题综合考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是能熟练地根据性质进行推理和计算，题型较好，难度适中． 33．（2024秋•闵行区校级月考）海面上有A、B、C三个灯塔，已知灯塔B位于灯塔A的北偏西60°方向，与灯塔A的距离为5千米；灯塔C位于灯塔A的北偏东30°方向，与灯塔A的距离为3千米，那么灯塔B与灯塔C的距离为（　　） A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．千米 【分析】根据题意，画出图形，易得∠BAC＝90°，由勾股定理求出BC的长即可． 【解答】解：由题意，画图如下： ∵∠BAC＝60°+30°＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 在直角三角形ABC中，AB＝5千米，AC＝3千米， 由勾股定理得：（千米）， 故灯塔B与灯塔C的距离为千米； 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 34．（2026•松江区校级模拟）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝4km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 　（4+2）　 km． 【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和角平分线的性质得出答案． 【解答】解：由题意可得，∠CAB＝∠ACD＝45° ∴AD＝CD， 过点B作BE⊥AC，垂足为E，则△ABE是等腰直角三角形， 在Rt△ABE中， AE＝BE＝AB•sin45°＝2（km）， 由题意可得∠BCA＝∠BCD＝22.5°，BD⊥CD，BE⊥AC， ∴BD＝BE＝AE＝2（km）， ∴AD＝CD＝AB+BD＝（4+2）km， 故答案为：（4+2）． 【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系、角平分线的性质是正确解答的前提． 35．（2024秋•浦东新区校级月考）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得B、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是 　（50 ）　 米（结果保留根号形式）． 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，求出AD、CD的值，然后在Rt△BCD中求出BD的长度，继而可求得AB的长度． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，BC＝100m， ∴BD＝CDBC＝10050（m）， CD＝50•cos∠ACD＝25（m）， 在Rt△ACD中， ∵∠ACD＝30°， ∴AD＝50•tan∠ACD＝50•（m）， 则AB＝AD+BD＝50（m）， 即A、B之间的距离约为（50）米． 故答案为：（50）． 【点评】本题考查了直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形． 36．（2025•浦东新区校级模拟）已知货船B在观测站A的北偏西30°的方向上，灯塔C在观测站A的北偏西60°方向上，且与观测站A的距离为20海里，在货船B上测得灯塔C在它的南偏西15°方向上，求观测站A与货船B之间的距离（精确到0.1海里，参考数据）． 【分析】作CH⊥AB，垂足为点H．在Rt△ACH中，求出CH，AH，在Rt△BCH中，求出BH，即可得出结果． 【解答】解：如图所示，作CH⊥AB，垂足为点H． 在Rt△ACH中， ∵∠AHC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝20海里， ∴海里，海里． 在Rt△BCH中， ∵∠BHC＝90°，∠ABC＝45°， ∴BH＝CH＝10． ∴（海里）． 答：距离为27.3海里． 【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用﹣方位角的应用，关键是根据解直角三角形的解法解答． 37．（2024秋•浦东新区期中）如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的7.00km处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：A点分别在B点的北偏东57°处、在C点的东北方向． （1）试求出小岛码头A点到海岸线BC的距离； （2）有一观光客轮K从B至A方向沿直线航行，某瞭望员在C处发现，客轮K刚好在正北方向的D处，当客轮航行至E处时，发现E点在C的北偏东27°处，请求出E点到C点的距离； （注：tan33°≈0.65，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，结果精确到0.01km） 【分析】（1）根据构造直角三角形，得出tan33°，求出即可； （2）过C作CN⊥AB于N，利用33°正弦值求出EC＝2NC，进而得出即可． 【解答】解：（1）过A作AM⊥BC于M， 设AM＝x km， ∵∠ACM＝45°， ∴CM＝x km， 则由题意得：tan33°， ∴（7+x）tan33°＝x， 则：7×tan33°＝x（1﹣tan33°）， 7×0.65≈0.35x， ∴x≈13.00， 故小岛码头A点到海岸线BC的距离为13.00km； （2）过C作CN⊥AB于N， ∵∠ABC＝33°，∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝57°， 又∵∠DCE＝27°， ∴∠BEC＝57°﹣27°＝30°， ∴sin33°，sin30°＝0.5， 则EC＝2NC＝2BC×sin33°≈2×7×0.54≈7.56（km）， 故E点到C点的距离为7.56km． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练构造直角三角形得出是解题关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1 正弦定义应用练习2 正切定义计算练习3 仰角与俯角互辨练习4 坡度与高度 练习5 解直角三角形综合练习6 坡度与垂直高度练习7 方向角与距离 练习8 三角函数与高度差练习9 勾股定理与三角函数练习10 等腰三角形与三角函数 练习11 仰角与安全判定练习12 坡度与限速问题 【练习1】（2025春•浦东新区校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝3，则AC的长为（　　） A．1 B．9 C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵sinA， 又∵BC＝3， ∴AB＝9， ∴AC ＝6． 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提． 【练习2】（2025秋•普陀区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，那么tanA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意画出示意图，再结合正切的定义进行计算即可． 【解答】解：如图所示， 在Rt△ABC中， AC， 所以tanA． 故选：A． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键． 【练习3】（2025秋•虹口区月考）如果在点A处测得B点的仰角为50°，那么在B处测得点A的（　　） A．仰角为50° B．仰角为40° C．俯角为50° D．俯角为40°． 【分析】根据仰角俯角定义即可解决问题． 【解答】解：如果在点A处测得B点的仰角为50°，那么在B处测得点A的俯角为50°， 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 【练习4】（2025秋•浦东新区期末）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，它把物体从点A处传送到斜坡高处，物体沿斜坡AB方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为（　　） A．5米 B．10米 C．12米 D．13米 【分析】过点B作BC垂直地面于点C，设BC＝x米，则AC＝2.4x米，再根据勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，过点B作BC垂直地面于点C， 由题意可得：， 设BC＝x米，则AC＝2.4x米， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2，即x2+（2.4x）2＝262， 解得：x＝10， ∴物体离地面的高度为10米， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，知道坡比的定义是解题的关键． 【练习5】（2025秋•虹口区月考）如图1，两块矩形地砖铺成如图形状，已知DC＝FE＝1米，BC＝4米，E、D、C在同一条直线上，点G在AD边上，如果要求∠FBC的大小需大于30°且小于45°，那么满足要求的ED的长可以是（　　） A．1.5米 B．2米 C．2.5米 D．3米． 【分析】延长FG交BC于点H，根据30°和45°角的正切可得1＜FG＜2，进而可得ED． 【解答】解：延长FG交BC于点H， 由题意得，∠C＝∠E＝∠EFG＝90°， ∴∠CHF＝90°， ∴CH＝FE＝1米， ∵∠C＝∠CDG＝∠CHG＝90°，DG＝DC＝FE＝1米， ∴四边形CDGH是正方形， ∴GH＝CH＝1米，BH＝4﹣1＝3米． 当∠FBH＝30°时，tan30°， ∴FH＝3（米），FG＝（1）米． 当∠FBH＝45°时，tan45°， ∴FH＝3×1＝3（米），FG＝3﹣1＝2（米）． ∵要求∠FBC的大小需大于30°且小于45°， ∴1＜FG＜2， ∴1＜ED＜2． 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，理解题意、掌握直角三角形中边与角之间的关系，作出辅助线是解题关键． 【练习6】（2025秋•杨浦区校级期中）在消防救援锦标赛攀登冲锋梯项目中，消防员需沿冲锋梯攀爬训练塔．已知冲锋梯所在斜坡的坡度为，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10米，那么消防员攀爬的垂直上升的高度为　5　 米． 【分析】根据坡度定义，垂直高度与水平距离的比为，结合勾股定理建立方程求解垂直高度． 【解答】解：如图，设水平距离为BC＝d米，垂直上升的高度为AC＝h米， 由坡度比为，得，即． ∵在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即h2+d2＝102 ∴， 解得h＝5或h＝﹣5（负值舍去）． ∴消防员攀爬的垂直上升的高度为5米． 故答案为：5． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣坡度坡角问题，根据坡角设出直角边的长并利用勾股定理是解题的关键． 【练习7】（2025秋•嘉定区期末）如图，在港口P的南偏东60°方向有一座小岛Q，一艘船从港口P出发沿正东方向行驶24海里后到达A处，在A处测得小岛Q恰在其西南方向，那么小岛Q与港口P相距　（2424）　 海里．（结果保留根号） 【分析】过Q作QD⊥AP于点D，则∠QDP＝∠QDA＝90°，由题意可知，∠BPA＝60°，∠PAQ＝45°，AP＝24海里，再推出∠QPD＝30°，△ADQ是等腰直角三角形，得PQ＝2DQ，DQ＝DA，设DQ＝DA＝x海里，则PQ＝2x海里，进而由锐角三角函数定义求出PDDQx海里，然后由PD+DA＝AP列出方程，解方程即可解决问题． 【解答】解：如图，过Q作QD⊥AP于点D， 则∠QDP＝∠QDA＝90°， 由题意可知，∠BPA＝60°，∠PAQ＝45°，AP＝24海里， ∴∠QPD＝90°﹣60°＝30°，△ADQ是等腰直角三角形， ∴PQ＝2DQ，DQ＝DA， 设DQ＝DA＝x海里，则PQ＝2x海里， ∵tan∠QPDtan30°， ∴PDDQx（海里）， ∵PD+DA＝AP， ∴x+x＝24， 解得：x＝1212， ∴2x＝2424， 即小岛Q与港口P相距（2424）海里， 故答案为：（2424）． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【练习8】（2025秋•徐汇区期末）某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA′处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″．在某次秋千释放的过程中，已知，，且两侧位置的高度差MN为0.6米，根据信息可求出秋千OA的长度为　2　 米． 【分析】在Rt△ONA″中，根据已知可设设NA″＝3x米，则ON＝4x米，从而利用勾股定理可得：OA″＝5x米，再根据题意可得：OA＝OA′＝OA″＝5x米，然后在Rt△OA′M中，利用锐角三角函数的定义求出OM的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：在Rt△ONA″中，tanβ， ∴设NA″＝3x米，则ON＝4x米， ∴OA″5x（米）， 由题意得：OA＝OA′＝OA″＝5x米， 在Rt△OA′M中，， ∴OM＝OA′•cosα＝2.5x（米）， ∵ON﹣OM＝MN， ∴4x﹣2.5x＝0.6， 解得：x＝0.4， ∴OA′＝5x＝2（米）， ∴秋千OA的长度为2米， 故答案为：2． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【练习9】（2025秋•浦东新区期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8． （1）求AB的长； （2）求sinA、cosA、tanA的值． 【分析】（1）根据直角三角形利用勾股定理求解AB的长即可； （2）由（1）得到AB的长，已知三边长度在Rt△ABC中即可求解sinA、cosA、tanA的值． 【解答】解：（1）由条件可得； （2）由（1）得：AB＝10，AC＝6，BC＝8， ∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴，，． 【点评】本题主要考查勾股定理和三角函数，根据边长求三角函数是解题的关键． 【练习10】（2025秋•长宁区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，过点B作BD⊥AC，垂足为点D． （1）求tan∠ACB的值； （2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠E＝∠A时，求线段CE的长． 【分析】（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出CF，AF，再根据正切的定义可得答案； （2）先根据锐角三角函数求出，即可勾股定理求出CD，再证明△ABD∽△ECD，根据相似三角形的性质列式求解即可． 【解答】解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，如图， ∵AB＝AC＝10，BC＝12， ∴， ∴在Rt△ACF中，， ∴； （2）∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， 在Rt△ACF中，， ∴在Rt△BDC中，， ∴， ∴， 又∵∠BAD＝∠E，∠ADB＝∠EDC＝90°， ∴△ABD∽△ECD， ∴，即， ∴EC． 【点评】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形相似是解题的关键． 【练习11】（2026•上海）如图，小明正在确认大楼是否安全，规定即为安全． （1）当d＝100米时，h至少小于多少米？ （2）若测AB长为a，BC长为b，仰角为θ，求（用含有a、b、θ的代数式表示）． 【分析】（1）根据题意可得：，然后进行计算即可解答； （2）根据题意可得：DE＝AB＝a，然后在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出CD和BD的长，从而求出CE的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：， ∵d＝100米， ∴， 解得：h＜12.5， ∴h至少小于12.5米； （2）如图： 由题意得：DE＝AB＝a， 在Rt△CBD中，∠CBD＝θ，BC＝b， ∴CD＝BC•sinθ＝bsinθ，BD＝BC•cosθ＝bcosθ， ∴h＝CD+DE＝bsinθ+a， ∴． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【练习12】（2025秋•闵行区校级期中）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为27°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53°（A、B、P、Q四点在同一平面） （1）求路段BQ的长； （2）当下引桥坡度i＝1：3时，如果测速路段AB限速30km/h，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段AB，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：tan53°，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89， 【分析】（1）求出∠PBQ＝53°，再由锐角三角函数定义求出BQ的长即可； （2）过点A作AC⊥BQ于点C，AD⊥PQ于点D，则四边形ACQD是矩形，得AD＝CQ，DQ＝AC，设AC＝x米，则BC＝3x米，由勾股定理求出ABx米，则PD＝PQ﹣DQ＝（16﹣x）米，进而求出∠PAD＝27°，再由锐角三角函数定义求出AD≈（32﹣2x）米，然后由AD＝CQ列出方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵在坡角点B处时，电子眼的俯角为53°， ∴∠QPB＝90°﹣53°＝37°， ∵∠PQB＝90°， ∴∠PBQ＝53°， ∵tan∠PBQ＝tan53°， ∴BQ12（米）， 答：路段BQ的长约为12米； （2）如图，过点A作AC⊥BQ于点C，AD⊥PQ于点D， 则四边形ACQD是矩形， ∴AD＝CQ，DQ＝AC， ∵引桥坡度i＝1：3， ∴， 设AC＝x米，则BC＝3x米， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：ABx（米）， ∴PD＝PQ﹣DQ＝（16﹣x）米， ∵在面点A处，此时电子眼的俯角为27°， ∴∠APD＝90°﹣27°＝63°， ∵∠ADP＝90°， ∴∠PAD＝27°， ∵tan∠PAD＝tan27°， ∴AD（32﹣2x）（米）， ∵CQ＝BC+BQ＝（3x+12）米， ∴3x+12＝32﹣2x， 解得：x＝4， ∴ABx≈12.8（米）， ∴该车的平均速度为v6.4（米/秒）＝23.04km/h， ∵23.04km/h＜30km/h， ∴小汽车没有超速． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 格点中的正切作业2 综合求边长作业3 网格中求正切作业4 坐标与正切 作业5 坡比与台阶作业6 仰角与河宽作业7 正弦与边长作业8 仰角与塔高 作业9 实际应用（缓降器）作业10 遮阳伞影子作业11 停车位与车门 ❤ 复习建议 夯实基础：熟记特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，这是快速解题的基石。 规范画图：解应用题时，先画出直角三角形示意图，标注已知量和未知量，避免混淆。 方法归类：将题目按"知两边求角""知一边一角求边""双直角三角形"等类型归类，总结通法。 关注实际背景：仰角俯角、坡度坡角、方向角是中考热点，多联系生活场景理解概念。 限时训练：每道题控制在 5~8 分钟，提升计算速度和准确性，注意近似计算的要求。 【作业1】（2024秋•浦东新区期末）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在4×4的网格中，点A、B、C都在格点上，那么∠BAC的正切值是（　　） A． B． C．2 D． 【分析】根据所给网格，连接BC得出BC与AC垂直，再结合正切的定义即可解决问题． 【解答】解：连接BC，如图所示， 则BC⊥AC． 令小正方形网格的边长为a， 则由勾股定理得， BC； AC． 在Rt△ABC中， tan∠BAC． 故选：D． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，通过连接BC构造出直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键． 【作业2】（2025秋•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，sinB，tanC＝3，AB＝15，则AC的长为（　　） A． B． C．2 D．2 【分析】过点A作AH⊥BC于点H．解直角三角形求出AH，CH，再利用勾股定理求解． 【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H． ∵sinB，AB＝15， ∴AH＝6， ∵tanC3， ∴CH＝2， ∴AC2． 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义． 【作业3】（2025秋•浦东新区校级月考）如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】取格点D，连接CD，设每个小正方形的边长为1，由勾股定理结合勾股定理逆定理可得△ACD为直角三角形，且∠ADC＝90°，再由正切的定义计算即可得解． 【解答】解：如图所示：取格点D，连接CD， 设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得： ，，， ∴AC2＝AD2+CD2， ∴△ACD为Rt△，且∠ADC＝90°， ∴tanA， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、求角的正切值，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业4】（2024秋•静安区校级期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（8，12），则tanα的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作AB⊥x轴于B，根据点A的坐标求出OB、AB，再根据锐角的正切值等于对边比邻边解答． 【解答】解：如图，过点A作AB⊥x轴于B， ∵点A的坐标是（8，12）， ∴OB＝8，AB＝12， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，关键是坐标与图形性质的熟练掌握． 【作业5】（2024秋•闵行区期末）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高CD为2米，平台BC的长为1米，用7米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡AB的坡比是（　　） A．i＝1：1.5 B．i＝1：2 C．i＝1：3 D．i＝1：3.5 【分析】过点B作BE⊥AD于E，根据矩形的性质求出BE，根据题意求出AE，再根据坡比的概念计算即可． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E， 则四边形BEDC为矩形， ∴BE＝CD＝2米， 由题意得：AE＝7﹣2﹣1＝4（米）， ∴斜坡AB的坡比是：BE：AE＝2：4＝1：2， 故选：B． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 【作业6】（2025秋•浦东新区期中）为测量小河的宽度CD，小明在河两岸C，D测得大楼AB楼顶A的仰角分别为α，β．若大楼AB的高为h，则CD的长可表示为（　　） A．（tanα﹣tanβ）h B．（sinα﹣sinβ）h C． D． 【分析】根据题意可得：AB⊥BC，然后分别在Rt△ABD和Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出BD和BC的长，从而进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：AB⊥BC， 在Rt△ABD中，AB＝h，∠ADB＝β， ∴BD， 在Rt△ACB中，∠ACB＝α， ∴BC， ∴CD＝BC﹣BD， 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【作业7】（2025秋•崇明区期末）在△ABC中，sinA（∠A是锐角），∠B＝45°，AC，那么AB的长为　4　 ． 【分析】根据题意画出示意图，再结合正弦的定义及勾股定理进行计算即可． 【解答】解：过点C作AB的垂线，垂足为M，如图所示， 在Rt△ACM中， sinA． ∵sinA，AC， ∴CM＝1， 则AM． ∵∠B＝45°，CM⊥AB， ∴∠BCM＝∠B＝45°， ∴BM＝CM＝1， ∴AB＝AM+BM＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义及勾股定理是解题的关键． 【作业8】（2025•金山区二模）如图，小海想测量塔CD的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部C的距离，于是小海在观测点A处仰望塔顶，测得仰角为α，再往塔的方向前进m（m＞0）米至观测点B处，测得塔顶的仰角为β（β＞α＞0），点A、B、C在一直线上，小海测得塔的高度为 　　 米（小海的身高忽略不计，用含α、β的三角比和m的式子表示）． 【分析】根据正切的定义，在Rt△ADC中表示出AC，在Rt△BDC中表示出BC，再利用AC﹣BC＝AB得到m，然后解关于CD的方程即可． 【解答】解：在Rt△ADC中，∵tan∠A， ∴AC， 在Rt△BDC中，∵tan∠DBC， ∴BC， ∵AB＝m米， ∴m， ∴CD（米）． 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题要了解俯角仰角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 【作业9】（2025•市中区校级模拟）如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．AB是缓降器的底板，压柄BC可以绕着点B旋转，液压伸缩连接杆DE的端点D、E分别固定在压柄BC与底板AB上，已知BE＝12cm． （1）如图2，当压柄BC与底座AB垂直时，∠DEB约为22.6°，求BD的长； （2）现将压柄BC从图2的位置旋转到与底座AB成37°角（即∠ABC＝37°），如图3所示，求此时液压伸缩连接杆DE的长．（结果保留根号）（参考数据：sin22.6，cos22.6°，tan22.6°；sin37°，cos37°，tan37°） 【分析】（1）在Rt△BDE中，由tan∠DEB，结合BE的长及∠DEB的度数，即可求出BD的长； （2）在图3中，过点D作DF⊥AB于点F，在Rt△BDF中，通过解直角三角形，可求出DF，BF的长，再在Rt△DEF中，利用勾股定理，即可求出DE的长． 【解答】解：（1）在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，∠DEB＝22.6°，BE＝12cm， ∴tan∠DEB， ∴BD＝BE•tan∠DEB≈125（cm）． 答：BD的长为5cm； （2）在图3中，过点D作DF⊥AB于点F． 在Rt△BDF中，∠BFD＝90°，∠DBF＝37°，BD＝5cm， ∴sin∠DBF，cos∠DBF， ∴DF＝BD•sin∠DBF≈53（cm），BF＝BD•cos∠DBF≈54（cm）． 在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，DF＝3cm，EF＝BE﹣BF＝12﹣4＝8（cm）， ∴DE（cm）． 答：此时液压伸缩连接杆DE的长为cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是：（1）在Rt△BDE中，通过解直角三角形求出BD的长；（2）在Rt△DEF中，利用勾股定理求出DE的长． 【作业10】（2025秋•静安区校级月考）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图． 已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 任务1： （1）某一时刻测得AD＝0.8米， ①请直接写出tan∠ADE＝　　 ； ②请求出此时影子GH的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？说明理由． 【分析】任务1：①由DF＝4DE＝2可得答案；如图，过E作EI⊥AD于I，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案； ②先过点E作EI⊥AB于点I，过点G作GJ⊥FH于点J，再求出GJ＝DF＝2，从而结合，可证sin∠α＝sin∠IDE，最后利用三角函数即可得出GH的长度； 任务2：如图，过点Q作PQ⊥BC交HF于点P，在Rt△IDE中，米，米，可得BD＝2.5﹣0.5＝2米，在Rt△DBG中，米，在Rt△GHJ中，米，在Rt△PQH中，当PQ＝1时，米，进一步求解即可． 【解答】解：任务1：①∵悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍， ∴DF＝4DE＝2（米）； 如图，过E作EI⊥AD于I，而AE＝DE＝0.5，AD＝0.8， ∴AI＝DI＝0.4， ∴， ∴； 故答案为：； ②如图，过点E作EI⊥AB于点I，过点G作GJ⊥FH于点J， 结合题意可得：四边形DGJF为矩形， ∴∠FDG＝∠DGJ＝90°， ∵∠IDE+∠BDG＝90°，∠BDG+∠BGD＝90°， ∠BGD+∠JGH＝90°，∠JGH+α＝90°， ∴∠ADE＝α， ∴sinα＝sin∠IDE， 由条件可知GJ＝DF＝2米． 在Rt△GJH中，， 又∵， ∴， 解得：米， ∴此时影子GH的长度为米； 任务2：小明会被照射到． 理由如下：如图，过点Q作PQ⊥BC交HF于点P． 由条件可知∠IDE＝∠α＝∠DGB， 由条件可知△IDE是等边三角形， ， ∴米， ∴BD＝2.5﹣0.5＝2（米）． 米， 米， 当PQ＝1时，米， ∴小明刚好被照射到时离B点的距离为， ∴小明会被照射到． 【点评】本题主要考查真实情景下的解直角三角形的实际运用，熟练掌握三角函数是解题关键． 【作业11】（2026•海门区校级模拟）某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位ABCD，车位的三面围墙及墙DE均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为70°，当前车门与车身夹角不小于25°时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度100厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为215厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙BC保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有10厘米的安全距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.76，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.46，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．） 结合上述条件，回答下列问题： （1）当该汽车倒车停入车位ABCD区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由． （2）已知车库门前有一条平行于CD且与CD距离270厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．（精确到1厘米） 【分析】（1）作MN垂直车身于点N，求得点M到车库边BC的安全距离，与260比较即可判断能够顺畅地从车中出来； （2）设车门打开为MQ，作MP垂直于车身于点P，DN⊥MP于点N，MQ⊥DE于点M，求得FG的长度，与270比较即可判断汽车是否占用到人行道． 【解答】解：（1）驾驶员能够顺畅地从车中出来． 理由：如图，作MN垂直车身于点N，则∠MNP＝90°， 由题意得：∠MPN＝25°，MP＝100cm， ∴MN＝100×sin25°≈42（cm）， ∴驾驶员那的车门打开需要的距离为：42+10185＝252cm， ∵252＜260， ∴驾驶员能够顺畅地从车中出来； （2）汽车不会占用到人行道． 理由：如图，设车门打开为MQ，作MP垂直于车身于点P，DN⊥MP于点N，MQ⊥DE于点M，则∠DNM＝∠MPQ＝∠QMD＝90°，四边形DFPN是矩形，MQ为点Q到DE的最短距离， ∴FP＝DN，NP＝DF， ∵FC＝10185＝210cm， ∴DF＝260﹣210＝50cm， ∴NP＝50cm， ∵∠ADM＝143°， ∴∠DMN＝53°， ∴∠PMQ＝90°﹣53°＝37°， ∴∠MQP＝90°﹣37°＝53°， 由题意得：MQ＝100cm， ∴PQ＝100×cos53°≈60cm，MP＝100×sin53°≈80cm， ∴MN＝MP﹣NP＝30cm， ∴DN＝30×tan53°≈40cm， ∴FP＝40cm， ∴FG＝FP+PQ+QG＝40+60+160＝260cm， ∵260＜270， ∴汽车不会占用到人行道． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．构造合适的直角三角形解决相关问题是解决本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 三角初步（解直角三角形） 高效提优讲义 2026-2027学年沪教版(五四制)数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解锐角三角函数（sin、cos、tan）的定义，能在直角三角形中准确计算。 · 熟记特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，并能灵活运用。 · 掌握解直角三角形的基本方法（已知两边或一边一角求其余元素）。 · 应用解直角三角形解决实际问题：仰角俯角、坡度坡角、方向角等。 · 培养建模能力，将实际问题转化为直角三角形模型并求解。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1. 解直角三角形 知识点① 解直角三角形的概念和方法 1. 解直角三角形的概念 对于直角三角形，除了已知其中一个直角以外共有五个元素，即三条边和两个锐角。在直角三角形中，根据已知元素求出所有未知元素的过程，称为解直角三角形。 提醒：在直角三角形中，只要已知两条边长或者一条边长与一个锐角，就可以求得其他所有角和边。 2. 直角三角形的边角关系 3. 解直角三角形的五种基本类型与解法 提醒 （1）解直角三角形时，应求出所有的未知元素。 （2）解直角三角形时，为了厘清各边、各角，一般先画出一个直角三角形示意图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，再将直角三角形的边和角的正弦、余弦、正切联系起来，从而迅速求解。 【典型例题1】 在Rt△ABC中，∠C = 90°，，∠A = 36°，解这个直角三角形。（结果保留一位小数） 解： ∵ ∠A = 36°，∠C = 90°， ∴ ∠B = 90° - ∠A = 54°。 ∵ ， ∴ 。 ∵ ， ∴ 。 提示 （1）本题是类型③（已知锐角和邻边）。求边 的长，尽量利用正切，把 放在分子上，变形得 ，通过乘法求解。 （2）求边 的长，可以利用勾股定理，但会使用近似值 ，误差累积。因此应尽量使用题中所给数据，本题用 求 ， 和 ∠A 均为原始数据。 总结 解直角三角形求边长时，如果求直角边用切（正切或余切），把所求直角边放在分子上；如果求斜边用弦（正弦或余弦），斜边只能放在分母位置。 知识点② 解非直角三角形 在解非直角三角形时，往往通过作三角形的高，构造直角三角形来解决。作高时，常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏 角和已知长度的边为原则。 对于复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角三角形，使问题转化为解直角三角形。 方法：常见解非直角三角形的两种模型，如图1、图2。 【典型例题2】 如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠ACB = 75°，AC = 2，求 BC 的长。 破题思路：由内角和得 ∠A = 60°，∠A、∠B均为特殊角，可构造分别以∠A、∠B为内角的直角三角形。 解： 如图，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D。因为 ∠B = 45°，∠ACB = 75°， 所以 ∠A = 180° - 75° - 45° = 60°。在 Rt△ACD 中，∠A = 60°，AC = 2， 所以 。在 Rt△BCD 中，∠B = 45°， 所以 。 知识点③ 解等腰三角形 等腰三角形是一种特殊的三角形，对它的边、角求解问题可以转化为解直角三角形。 【典型例题3】 在等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 15，BC = 24，求它的顶角和面积。（参考数据：） 解： 如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D。 ∵ AB = AC，AD⊥BC，BC = 24， ∴ 。 在 Rt△ABD 中，AB = 15， ∴ 。 （后续求顶角：在 Rt△ABD 中，， ∴ ∠BAD ≈ 53°（由 可得 ，故 ∠BAD ≈ 53°）， 顶角 ∠BAC = 2∠BAD ≈ 106°。 面积 。） 方法总结：解等腰三角形，常常作底边上的高，由“三线合一”性质，底边被高平分，得到两个全等的直角三角形，将问题转化为解直角三角形（如本例转化为解直角三角形的类型②求解）。 ☆2. 解直角三角形的应用 知识点④ 仰角、俯角问题 【典型例题4】 如图，在点 A 处测得点 B 处的仰角是 ______。（用“∠1”“∠2”“∠3”或“∠4”表示） 解析：在点 A 处测得点 B 处的仰角与在点 B 处测得点 A 处的俯角是水平线间的一对内错角。 答案：∠4 例2 如图，无人机于空中 A 处测得某建筑顶部 B 的仰角为 45°，测得该建筑底部 C 的俯角为 17°。若无人机的飞行高度 AD 为 62 m，该建筑的高度 BC 约为多少米？（参考数据：，，） 解： 如图，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，则四边形 ADCE 为矩形， ∴ EC = AD = 62 m。 在 Rt△AEC 中，， 则 (m)。 在 Rt△AEB 中，， ∴ (m)。 ∴ (m)。 答：该建筑的高度 BC 约为 262 m。 总结：解有关仰角、俯角问题的关键：正确识别仰角、俯角。首先要确认观察点位置，再以观察点为中心，找出水平线和铅垂线，然后看视线方向是在水平线的上方还是下方，向上看是仰角，向下看是俯角。 知识点⑤ 坡度、坡角问题 提醒： （1）坡度通常写成 的形式。 （2）坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡。 （3）在实际问题中，若已知坡比，可求斜坡的坡角；反之，若已知坡角 α，可求出坡度（或坡比）。所依据的关系式为 。 【典型例题5】 如图，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD，AE、DF 为梯形的高，其中迎水坡 AB 的坡角 α = 45°，坡长 m，背水坡 CD 的坡度 （i 为 DF 与 FC 的比），则背水坡 CD 的坡长为 ______ m。 解析： 迎水坡 AB 的坡角 α = 45°，坡长 m， ∴ (m)。 背水坡 CD 的坡度 （i 为 DF 与 FC 的比）， ∴ ， ∴ ∠C = 30°， ∴ m。 答案：12 知识点⑥ 方向角问题 提醒 （1）解决实际问题时，可利用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形。 （2）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的。 【典型例题6】 如图，海上有一灯塔 P，位于小岛 A 北偏东 60° 方向上，一艘轮船从小岛 A 出发，由西向东航行 24 n mile 到达 B 处，这时测得灯塔 P 在北偏东 30° 方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔 P 的正南方，此时轮船与灯塔 P 的距离约是多少 n mile？（结果保留一位小数，） 解析： 如图，过点 P 作 PD⊥AB，交 AB 的延长线于点 D。由题意，得 ∠PAB = 30°，∠PBD = 60°，AB = 24 n mile。∴ ∠PAB = ∠APB（∵ 外角等于不相邻两内角和），∴ BP = AB = 24 n mile。在 Rt△PBD 中， (n mile)。 答案：20.8 总结：实际问题中常见的基本图形及相应的关系式 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】解直角三角形 （第1—12题） ※ 方法总结： · 知两边求角：用三角函数（sin / cos / tan）的逆运算求角度。 · 知一边一角求边：根据三角函数定义列出比例式，再结合勾股定理。 · 双直角三角形：通过公共边或相等角建立联系，列方程组求解。 · 注意：计算时优先使用已知数据，避免中间误差传递。 1．（2026春•青浦区期末）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（　　） A．AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30° B．AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30° C．AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30° D．AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm 2．（2025秋•二七区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，，那么边AC的长是（　　） A． B．1 C．2 D． 3．（2025秋•普陀区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果，那么sinB的值是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•青浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（　　） A．sinB B．cosC C．sinC D．tanC 5．（2025秋•闵行区校级月考）如果将一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的5倍，那么锐角A的正切值（　　） A．没有变化 B．不能确定 C．扩大为原来的5倍 D．缩小为原来的 6．（2025秋•上海期中）如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，联结BD，，CH⊥BD于H，下列两个说法：①；②．下列说法中正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②一定都正确 D．①②一定都错误 7．（2025秋•宝山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝18，BC＝9，那么∠A＝　 　 ． 8．（2025秋•青浦区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AC＝3，BC＝1，则tan∠ACD＝ 　 　 ． 9．（2025秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，BC＝5，cotA＝2，，D是AB的中点．E是线段AC延长线上一点，联结BE，如果四边形BDCE的一组对角相等且另一组对角不相等，那么AE的长是 　 　 ． 10．（2025秋•金山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D在边BC上，BD＝8，CD＝4，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E． （1）求AD的长； （2）求sinE的值． 11．（2025秋•闵行区校级月考）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，，tan∠A＝2，E是BC边上的点，联结DE． （1）求BD的长； （2）如果，求tan∠BDE的值． 12．（2025•闵行区二模）如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB＝5，tan∠ABE． （1）求BE的长； （2）求tan∠EBC的值． 【考点2】解直角三角形的应用 （第13—21题） ※ 方法总结： · 建立模型：将实际问题抽象为直角三角形，标注已知量和未知量。 · 选择三角函数：根据已知边和所求边的关系，选择合适的 sin/cos/tan。 · 近似计算：注意题目要求的精确度，合理使用参考数据。 · 检验合理性：计算结果要符合实际情境（如高度为正、角度在范围内）。 13．（2026春•崇明区期中）如图，是一块直角三角形的绿化带，∠B＝90°，已知，绿化带的斜边AC长度为5米，则绿化带的直角边AB的长为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 14．（2025秋•宝山区校级月考）如图①是一种手机平板支架，图②是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．若量得支撑板长CD＝8，∠CDE＝α，则点C到底座DE的距离为（　　） A．8sinα B．8cosα C． D． 15．（2025•同安区校级模拟）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，AD＝4，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（　　） A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα 16．（2026•浦东新区二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘AC＝BD＝60cm，与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°，双翼展开时端点A、B的间距为8cm．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为　 　 cm． 17．（2026•虹口区三模）图1是公园里的一个秋千．如图2，从侧面看，线段AB表示绳索的静止状态，测得此时点B到地面的距离BE是20厘米．小李同学坐上秋千后，将点B向后抬起到点C，此时测得∠CAB＝37°，点C到地面的距离CF是50厘米．已知绳索长度保持不变（即AB＝AC），那么绳索AB的长度约是　 　 厘米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 18．（2026•长宁区校级模拟）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为33cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为　 　 cm．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74） 19．（2025秋•浦东新区校级期中）材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为. 问题解答： 如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得∠NOQ＝37°，NQ＝12cm，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求∠POM的正弦值； （2）求CQ的长（参考数据；． 20．（2026•宝山区二模）我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为α，折射角为β，我们把n称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，ABCD为一圆柱形敞口容器的纵切面，BC＝32cm，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点O，A，C恰好共线，此时∠BAC＝53°．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G处，测得CG＝7cm．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） （1）求容器的高度AB． （2）求水的折射率n． （3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G′移动到BC的三等分点处（CG′CB），求水面上升的高度EE′（结果精确到0.1cm）． 21．（2026•虹口区二模）根据以下素材，完成任务． 素材一 如图1，如果EF⊥平面镜AB，入射光线CF经平面镜AB反射，得到反射光线FD，那么反射角∠DFE等于入射角∠CFE，即∠DFE＝∠CFE． 素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻…”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示． 素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点B，墙角记为点P，邻居记作点A，镜子（平面镜）记作MN，OD⊥MN于点O，入射光线AO经平面镜MN反射，得到反射光线OB，BE⊥AB于点B，OB又作为入射光线通过水盆B反射得到反射光线BC，进入观察者的眼中（抽象为点C）．已知OP⊥AB于点P，∠AOD＝45°，∠CBE＝37°，水盆到墙角的距离BP＝1.8米． 素材四 参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75． 问题解决 任务一 求邻居A到墙角P的距离； 任务二 如果入射光线OA不变，将镜子MN绕点O顺时针旋转8°，在OP左侧的观察者仍能通过水盆B看到邻居A，那么水盆B应向左还是右平移？平移多少米？ 【考点3】坡度坡角问题 （第22—26题） ※ 方法总结： · 坡比定义：i = h / l = tan α，其中 α 为坡角。 · 已知坡比求三角函数：设垂直高度为 kx，水平距离为 mx，利用勾股定理求斜边。 · 实际问题：注意坡面长度、水平距离、垂直高度三者的关系。 · 易错点：坡比是比值，不是角度；注意单位统一。 22．（2026•奉贤区二模）如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高AB为2.24米，扣球点C距离地面的高度CD为2.8米，且CD垂直于地面．排球从C点扣出的飞行路线近似为射线CA，当该射线与水平方向所成的夹角为16°时，球恰好擦网而过．此时，起跳点D到球网底部B的水平距离BD为　 　 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°0.96，tan16°≈0.29） 23．（2026春•浦东新区校级月考）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．现有一个长6m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是　 　 m（结果精确到0.1，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26）． 24．（2026•杨浦区二模）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sinα＝　 　 ． 25．（2025秋•虹口区期末）如图1，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图2所示，BC为地面，AB为斜坡上的传送带，∠B＝26.5°，四边形DEFG是边长为1.8米的正方形．点M为仓库卷帘门打开的最高位置，点M、D、H在同一直线上，点D到地面的距离DH为5米． （1）求BE的长（精确到0.1米）； （2）已知M到地面的距离MH为6.8米，如果正方形DEFG的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（AB足够长）． （参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50） 26．（2025•崇明区三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）． 【考点4】仰角俯角问题 （第27—31题） ※ 方法总结： · 识别仰角/俯角：仰角是向上看，俯角是向下看，均在水平线上方/下方。 · 构造直角三角形：过观测点作水平线，将视线与水平线的夹角作为锐角。 · 常用关系：高度 = 水平距离 × tan(仰角)（或俯角）。 · 多角度问题：通过两个观测点建立方程组，求解高度或距离。 27．（2026•嘉定区）如图，在地面上离旗杆BC底部8米的A处到得旗杆顶端C的仰角为60°，那么旗杆BC的高度约为　 　 米（，精确到0.1米）． 28．（2025秋•宝山区校级月考）某飞机在离地面垂直距离1500米的上空A处，测得地面控制点B的俯角为60°，那么飞机与该地面控制点之间的距离AB等于　 　 米．（结果保留根号） 29．（2026•静安区校级模拟）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立了从直接测量到间接测量的桥梁，直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．某实践小组利用重差法测量海岛上一座山峰AB的高度，分别在C，D两点观察山顶点A，测得仰角分别为45°，26.5°，同时测得CD长为200米，则山峰AB的高度约为　 　 米． （sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50） 30．（2026•静安区校级模拟）根据下列素材，完成探索任务． 核验山区5G信号塔高度项目 素材1 图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图．它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用AB表示，水平地面用BC表示．有两个监测点分别在斜坡的端点A点处与水平地面上的C点处．根据选址时勘测日志中的记载，A点的地面海拔高度为592米，B点的地面海拔高度为542米，A、B两点垂直方向上的高度差即为海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从A点到B点共走了130米，从B点到C点共走了60米． 素材2 图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔PQ就建在山上的Q点处．根据施工日志资料显示，信号塔底Q点的海拔高度为802米． 检测员小李在检测基地的A点处利用测角仪测得塔顶P点的仰角α为37°，在C点利用测角仪测得塔顶P点的仰角β为63.5°，测角仪的高度忽略不计． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡AB的坡比． 任务二 如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个5G信号塔PQ的高度． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin63.5°≈0.9，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.0） 31．（2025秋•崇明区期末）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图1）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶OA、OB、OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶OC与塔干OD叠合时（即O、C、D在一直线上），在与塔底D水平距离为200米的E处，测得塔干顶部O的仰角为37°，风叶OA的端点A的仰角为59°，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内． （参考数据sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，tan59°≈1.7，1.7） （1）求塔干OD的长度； （2）求风叶OA的长度．（精确到1米） 【考点5】方向角问题 （第32—37题） ※ 方法总结： · 画方位图：以观测点为中心，画出正北、正南、正东、正西方向。 · 转化为角度：方向角"北偏东 x°"即从正北向东转 x°。 · 构造直角三角形：通过方位角关系，找出直角三角形中的锐角。 · 注意：多个方向角时，常需利用平行线性质或三角形内角和求角度。 32．（2025•徐汇区二模）一次游学活动中，小杰从营地A出发，沿北偏东60°方向走了米到达B处，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C处（如图所示），那么A、C两地的距离是（　　） A．米 B．1500米 C．米 D．1000米 33．（2024秋•闵行区校级月考）海面上有A、B、C三个灯塔，已知灯塔B位于灯塔A的北偏西60°方向，与灯塔A的距离为5千米；灯塔C位于灯塔A的北偏东30°方向，与灯塔A的距离为3千米，那么灯塔B与灯塔C的距离为（　　） A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．千米 34．（2026•松江区校级模拟）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝4km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 　 　 km． 35．（2024秋•浦东新区校级月考）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得B、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是 　 　 米（结果保留根号形式）． 36．（2025•浦东新区校级模拟）已知货船B在观测站A的北偏西30°的方向上，灯塔C在观测站A的北偏西60°方向上，且与观测站A的距离为20海里，在货船B上测得灯塔C在它的南偏西15°方向上，求观测站A与货船B之间的距离（精确到0.1海里，参考数据）． 37．（2024秋•浦东新区期中）如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的7.00km处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：A点分别在B点的北偏东57°处、在C点的东北方向． （1）试求出小岛码头A点到海岸线BC的距离； （2）有一观光客轮K从B至A方向沿直线航行，某瞭望员在C处发现，客轮K刚好在正北方向的D处，当客轮航行至E处时，发现E点在C的北偏东27°处，请求出E点到C点的距离； （注：tan33°≈0.65，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，结果精确到0.01km） 随堂检测 · 精选练习 练习1 正弦定义应用练习2 正切定义计算练习3 仰角与俯角互辨练习4 坡度与高度 练习5 解直角三角形综合练习6 坡度与垂直高度练习7 方向角与距离 练习8 三角函数与高度差练习9 勾股定理与三角函数练习10 等腰三角形与三角函数 练习11 仰角与安全判定练习12 坡度与限速问题 【练习1】（2025春•浦东新区校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝3，则AC的长为（　　） A．1 B．9 C． D． 【练习2】（2025秋•普陀区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，那么tanA的值是（　　） A． B． C． D． 【练习3】（2025秋•虹口区月考）如果在点A处测得B点的仰角为50°，那么在B处测得点A的（　　） A．仰角为50° B．仰角为40° C．俯角为50° D．俯角为40°． 【练习4】（2025秋•浦东新区期末）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，它把物体从点A处传送到斜坡高处，物体沿斜坡AB方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为（　　） A．5米 B．10米 C．12米 D．13米 【练习5】（2025秋•虹口区月考）如图1，两块矩形地砖铺成如图形状，已知DC＝FE＝1米，BC＝4米，E、D、C在同一条直线上，点G在AD边上，如果要求∠FBC的大小需大于30°且小于45°，那么满足要求的ED的长可以是（　　） A．1.5米 B．2米 C．2.5米 D．3米． 【练习6】（2025秋•杨浦区校级期中）在消防救援锦标赛攀登冲锋梯项目中，消防员需沿冲锋梯攀爬训练塔．已知冲锋梯所在斜坡的坡度为，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10米，那么消防员攀爬的垂直上升的高度为　 　 米． 【练习7】（2025秋•嘉定区期末）如图，在港口P的南偏东60°方向有一座小岛Q，一艘船从港口P出发沿正东方向行驶24海里后到达A处，在A处测得小岛Q恰在其西南方向，那么小岛Q与港口P相距　 　 海里．（结果保留根号） 【练习8】（2025秋•徐汇区期末）某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA′处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″．在某次秋千释放的过程中，已知，，且两侧位置的高度差MN为0.6米，根据信息可求出秋千OA的长度为　 　 米． 【练习9】（2025秋•浦东新区期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8． （1）求AB的长； （2）求sinA、cosA、tanA的值． 【练习10】（2025秋•长宁区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，过点B作BD⊥AC，垂足为点D． （1）求tan∠ACB的值； （2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠E＝∠A时，求线段CE的长． 【练习11】（2026•上海）如图，小明正在确认大楼是否安全，规定即为安全． （1）当d＝100米时，h至少小于多少米？ （2）若测AB长为a，BC长为b，仰角为θ，求（用含有a、b、θ的代数式表示）． 【练习12】（2025秋•闵行区校级期中）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为27°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53°（A、B、P、Q四点在同一平面） （1）求路段BQ的长； （2）当下引桥坡度i＝1：3时，如果测速路段AB限速30km/h，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段AB，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：tan53°，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89， 课后巩固 · 针对性练习 作业1 格点中的正切作业2 综合求边长作业3 网格中求正切作业4 坐标与正切 作业5 坡比与台阶作业6 仰角与河宽作业7 正弦与边长作业8 仰角与塔高 作业9 实际应用（缓降器）作业10 遮阳伞影子作业11 停车位与车门 ❤ 复习建议 夯实基础：熟记特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，这是快速解题的基石。 规范画图：解应用题时，先画出直角三角形示意图，标注已知量和未知量，避免混淆。 方法归类：将题目按"知两边求角""知一边一角求边""双直角三角形"等类型归类，总结通法。 关注实际背景：仰角俯角、坡度坡角、方向角是中考热点，多联系生活场景理解概念。 限时训练：每道题控制在 5~8 分钟，提升计算速度和准确性，注意近似计算的要求。 【作业1】（2024秋•浦东新区期末）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在4×4的网格中，点A、B、C都在格点上，那么∠BAC的正切值是（　　） A． B． C．2 D． 【作业2】（2025秋•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，sinB，tanC＝3，AB＝15，则AC的长为（　　） A． B． C．2 D．2 【作业3】（2025秋•浦东新区校级月考）如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 【作业4】（2024秋•静安区校级期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（8，12），则tanα的值是（　　） A． B． C． D． 【作业5】（2024秋•闵行区期末）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高CD为2米，平台BC的长为1米，用7米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡AB的坡比是（　　） A．i＝1：1.5 B．i＝1：2 C．i＝1：3 D．i＝1：3.5 【作业6】（2025秋•浦东新区期中）为测量小河的宽度CD，小明在河两岸C，D测得大楼AB楼顶A的仰角分别为α，β．若大楼AB的高为h，则CD的长可表示为（　　） A．（tanα﹣tanβ）h B．（sinα﹣sinβ）h C． D． 【作业7】（2025秋•崇明区期末）在△ABC中，sinA（∠A是锐角），∠B＝45°，AC，那么AB的长为　 　 ． 【作业8】（2025•金山区二模）如图，小海想测量塔CD的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部C的距离，于是小海在观测点A处仰望塔顶，测得仰角为α，再往塔的方向前进m（m＞0）米至观测点B处，测得塔顶的仰角为β（β＞α＞0），点A、B、C在一直线上，小海测得塔的高度为 　 　 米（小海的身高忽略不计，用含α、β的三角比和m的式子表示）． 【作业9】（2025•市中区校级模拟）如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．AB是缓降器的底板，压柄BC可以绕着点B旋转，液压伸缩连接杆DE的端点D、E分别固定在压柄BC与底板AB上，已知BE＝12cm． （1）如图2，当压柄BC与底座AB垂直时，∠DEB约为22.6°，求BD的长； （2）现将压柄BC从图2的位置旋转到与底座AB成37°角（即∠ABC＝37°），如图3所示，求此时液压伸缩连接杆DE的长．（结果保留根号）（参考数据：sin22.6，cos22.6°，tan22.6°；sin37°，cos37°，tan37°） 【作业10】（2025秋•静安区校级月考）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图． 已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 任务1： （1）某一时刻测得AD＝0.8米， ①请直接写出tan∠ADE＝　 　 ； ②请求出此时影子GH的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？说明理由． 【作业11】（2026•海门区校级模拟）某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位ABCD，车位的三面围墙及墙DE均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为70°，当前车门与车身夹角不小于25°时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度100厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为215厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙BC保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有10厘米的安全距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.76，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.46，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．） 结合上述条件，回答下列问题： （1）当该汽车倒车停入车位ABCD区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由． （2）已知车库门前有一条平行于CD且与CD距离270厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．（精确到1厘米） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $