精品解析：吉林长春高新技术产业开发区尚德学校2026-2027学年上学期八年级数学期中试题

2026-2027学年度上学期期中学科练习 八年级数学 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 在实数（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对无理数的定义的应用，能正确理解无理数的定义是解此题的关键．根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【详解】解：， 无理数有π，，（每两个3之间依次多一个1），共3个， 故选：C． 2. 在下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方法则逐项计算即可． 【详解】A、，故原计算错误； B、，故原计算错误； C、，故原计算错误； D、，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方法则，属于基础题型． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶次幂和算术平方根的非负性求出、的值，代入根式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 等角的补角相等 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、等角的补角相等，是真命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，原命题为假命题，符合题意； C、对顶角相等，是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意. 5. 如图，在中，，利用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点G和H，作直线交于点E，交于点D，连接．则以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知是的垂直平分线，由此即可一一判断． 【详解】解：由作图步骤及已知条件可知，是的垂直平分线， ∴，，，故选项A、B正确； ∴是等腰三角形， ∴，， ∴， 故选项D正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 无法证明，故选项C错误． 6. 如图，在中，，平分，交与D，过点D作于E，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，平分， ∴． 故选：D 7. 如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是线段上的一个动点，当最小时，为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， 故选：D． 8. 如图，在长方形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．设正方形和正方形的边长分别为a、b，若，，则长方形的面积等于（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，根据题意可得，再由长方形面积计算公式可得长方形的面积，据此可得答案． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴长方形的面积， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 25的平方根是_____． 【答案】±5 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 10. 用“>”或“<”填空：________4． 【答案】 【解析】 【分析】利用算术平方根的大小规律估算的取值范围，结合不等式性质推导的范围，与4比较大小． 【详解】解：∵， ∴， 即． ∵不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴， 即， ∴． 11. 若，则________． 【答案】 2 【解析】 【详解】解：∵ 对于正整数n，有，本题中两个幂的指数均为8，满足该运算的使用条件， ∴ ， ∴ ． 12. 若，则a、b、c的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，逆用幂的乘方运算法则，将各数转换为相同指数的幂形式，然后比较底数的大小即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 13. 在的正方形方格中，和的位置和大小分别如图所示，则_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明得到，再根据三角形内角和定理即可推出． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接，若，．则下列四个结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是11．其中正确的结论是________． 【答案】 ①②③ 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质得，再根据旋转的性质得，可判断①②，再说明，即可得是等边三角形，判断③；然后根据的周长为解答④即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． 将绕点B逆时针旋转得到, ∴， ∴，则①正确， ∴，则②正确， 即． ∵， ∴是等边三角形，则③正确； ∴， ∴的周长，则④不正确． 所以正确的有①②③． 三、解答题（10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算算术平方根、立方根、绝对值，再求和； （2）先化简各幂的乘方项，再进行同底数幂的乘除运算． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先完成幂的乘方，积的乘方运算，再去括号即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解决下列问题： （1）用平方差公式计算：； （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先展开整式乘法，合并同类项得到最简式，再代入的取值计算结果． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的三幅图中画出点P，使点P在线段上，且满足以下要求，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，连结，使最小． （2）在图②中，连结、，使． （3）在图③中，连结、，使最小． 【答案】（1） 如图①中，点P即为所求； （2） 如图②中，点P即为所求； （3） 如图③中，点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短，即可作出线段； （2）根据网格的特点找到点P即可； （3）根据轴对称的性质和两点之间线段最短，即可找到点P,使得最小． 【小问1详解】 解：∵于点P， ∴点满足要求； 【小问2详解】 ∵， ∴点满足要求； 【小问3详解】 ∵点A和关于轴对称， ∴，， 当、、三点共线时，有最小值， 即点满足要求． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理、垂线段最短、轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 已知正数的两个平方根分别是与，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根和立方根，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据平方根和立方根的定义求解即可； （2）由（1）知，，，根据算术平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：的平方根是与， ， 解得：， 的立方根是， ， ； 【小问2详解】 由（1）知，，， 的算术平方根为． 21. 如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E. （1）找出图中的全等三角形，并加以证明； （2）若DE＝a，求直角梯形DABE的面积. 【答案】(1)见解析;(2). 【解析】 【分析】（1）根据AAS定理证明△ADC≌△CEB； （2）根据全等三角形的性质得到AD＝CE，CD＝BE，根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）△ACD≌△CBE，证明如下： ∵△ABC是等腰直角三角形，C为直角顶点，∴AC＝CB ∵AD⊥l，BE⊥l，∴∠ADC＝∠CEB＝90° 在Rt△ACD中，∠DAC＋∠DCA＝90° ∵∠ACB＝900，∴∠ECB＋∠DCA＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB 在△ACD和△CBE中， ∴△ACD≌△CBE （2）由（1）知，△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE ∴AD＋BE＝CE＋CD＝DE＝a， ∴直角梯形DABE的面积=×（AD+BE）×DE=. 【点睛】本题考查的是梯形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 22. 小区绿化是一个集生命、健康、社交、经济和美学价值于一体的综合性系统工程，是衡量一个社区品质和宜居程度的重要标尺．如图，在小区内有一块长为米、宽为米的长方形地块，现将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形区域． （1）求绿化的面积S；（用含a、b的式子表示，并化简） （2）若，，绿化的费用是每平方米60元，求完成绿化共需要多少元？ 【答案】（1） （2）完成绿化共需要4920元． 【解析】 【分析】（1）根据正方形面积公式，长方形面积公式，结合整式的乘法运算法则计算即可； （2）将，，代入（1）中结果求出绿化的面积，再乘以费用即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：当，时， ， 元， 答：完成绿化共需要4920元． 23. 探究与应用 我们学习过，那么计算结果呢？ 完成下面的探究： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________； （5）应用：计算． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）利用多项式乘多项式法则展开化简，消去中间项即可； （2）利用多项式乘多项式法则展开化简，消去中间项即可； （3）利用多项式乘多项式法则展开化简，消去中间项即可； （4）利用多项式乘多项式法则展开化简，消去中间项即可； （5）根据计算规律，原式乘，然后直接得出结果． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 【小问5详解】 解：根据上述计算可得规律，， 故． 24. 如图，在中，，，，，动点从点开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒． （1）填空：当时，________（用含的式子表示） 当时，________（用含的式子表示） （2）经过几秒，的面积等于； （3）直接写出当为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】（1）； （2）秒或秒 （3）或 【解析】 【分析】（1）先得出点运动的距离为， 由，判断点在上；当时，点在线段上，问题随之得解； （2）先求出 ，分当点在上，和当点在上两种情况，结合三角形的面积列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）当是以为底边的等腰三角形时，即有，根据运动的特点，可得点运动的距离为：； 当是以为底边的等腰三角形时，过点作于点，利用等腰三角形的判定与性质可证明，即有，进而可得方程， 解方程即可求解． 【小问1详解】 解：根据运动的特点可知：点运动的距离为， 当时，点在线段上，， 当时，点在线段上，； 【小问2详解】 解：在中， ，，，， ， 当点在上， 如图， 的面积等于， ， ， ， 解得(秒)； 当点在上， 如图， 此时：点运动的距离为：， ， ， 的面积等于， ， ， ， 解得(秒)； 综上：经过 秒或秒， 的面积等于； 【小问3详解】 解：当是以为底边的等腰三角形时，如图， 即有， ， 根据运动的特点，可得点运动的距离为：， ， 解得； 当是以为底边的等腰三角形时，如图， 过点作于点， 在等腰中，， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 根据运动的特点，可得点运动的距离为：， ∴， 解得； 综上所述： 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期期中学科练习 八年级数学 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 在实数（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 在下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 等角的补角相等 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同位角相等 5. 如图，在中，，利用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点G和H，作直线交于点E，交于点D，连接．则以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，平分，交与D，过点D作于E，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是线段上的一个动点，当最小时，为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．设正方形和正方形的边长分别为a、b，若，，则长方形的面积等于（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 25的平方根是_____． 10. 用“>”或“<”填空：________4． 11. 若，则________． 12. 若，则a、b、c的大小关系是______．（用“”连接） 13. 在的正方形方格中，和的位置和大小分别如图所示，则_____． 14. 在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接，若，．则下列四个结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是11．其中正确的结论是________． 三、解答题（10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2） 16. 计算： （1）； （2） 17. 解决下列问题： （1）用平方差公式计算：； （2）化简： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的三幅图中画出点P，使点P在线段上，且满足以下要求，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，连结，使最小． （2）在图②中，连结、，使． （3）在图③中，连结、，使最小． 20. 已知正数的两个平方根分别是与，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 21. 如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E. （1）找出图中的全等三角形，并加以证明； （2）若DE＝a，求直角梯形DABE的面积. 22. 小区绿化是一个集生命、健康、社交、经济和美学价值于一体的综合性系统工程，是衡量一个社区品质和宜居程度的重要标尺．如图，在小区内有一块长为米、宽为米的长方形地块，现将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形区域． （1）求绿化的面积S；（用含a、b的式子表示，并化简） （2）若，，绿化的费用是每平方米60元，求完成绿化共需要多少元？ 23. 探究与应用 我们学习过，那么计算结果呢？ 完成下面的探究： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________； （5）应用：计算． 24. 如图，在中，，，，，动点从点开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒． （1）填空：当时，________（用含的式子表示） 当时，________（用含的式子表示） （2）经过几秒，的面积等于； （3）直接写出当为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $