2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中培优检测卷（测试范围：第一～三章）

2026-2027学年九年级上册数学期中培优检测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列方程是一元二次方程的是() A3x+2y=1B.2-1-1 C.x2+bx+c=0D.x2-5x=1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方 程，进行解答，即可. 【详解】解：A、3x+2y=1 有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意： B、211 x一不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、m+br+c=0未说明a≠0，不一定是一元二次方程，不符合题意； D、x-5x=1整理为x-5x-1=0,是只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方 程，是一元二次方程，符合题意. 2.如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB=5O°，则 ∠CFD 的度数为() 试卷第1页（共3页） A.20° B.30° C.40° D.50° 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可知∠A=90°，由折叠可知∠EFD=∠A=90°，所以可得 ∠EFB+∠DFC=90 ,根据∠EFB=50 即可求出∠CFD 的度数. 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=90° 由折叠可知∠EFD=∠A=90°， ∴.∠EFB+∠DFC=90° .·∠EFB=50° ∴.∠CFD=40° 3.对于任意实数a、b定义一种新运算：a⑧b=ab+a-b,例如2⑧1=2×1+2-1=3， 若x®(x-3)=7,则x的值为() A.-1或3 B.-1或4 C.1或-3 D.1或4 【答案】B 【分析】依据新运算定义，将等式转化为一元二次方程求解. 试卷第2页（共3页） 【详解】解：根据新运算定义，x®(x-3)=x(x-3)+x-(x-3)=x2-3x+3=7 移项得x-3x-4=0 因式分解得(x+(x-4)=0, 解得x=-1或x=4. 4.如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，若AE:AD=I:3,则Sa:S△cr为 D E B A.1:16 B.1:9 C.1:6 D.1:3 【答案】B 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可. 【详解】解：，菱形ABCD, :AD=CD ABIICD ∴.△AEF∽△CDF, .AE:AD=1:3, .AE:CD=1:3, .SEF:SAcDr =(AE:CD)=(1:3)2=1:9 试卷第3页（共3页） 5.已知关于x的方程-c+36=0有两个相等的实数根，且k>0,则的值是() A.24 B.6 C.18 D.12 【答案】D 【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，建立关于k的方程，结合k>0 的条件求解. 【详解】解：：方程-c+36=0有两个相等的实数根， :△=(-)2-4×1x36=0 整理得K=144 解得k=±12， .k>0, k=12 6.已知线段a、b、C,求作线段x,使得a:b=C:x的是() A b B b c B x D a B c D A D B 【答案】B 试卷第4页（共3页） 【分析】根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系，找出符合 cb=cx即c=bc的图形. bc 【详解】解：A、选项中ax,即bx=aC,不符合题意； b a B、选项中xc,即ax=bc,即a:b=c:x,符合题意： a c C、选项中xb,即ab=cx,不符合题意 a x D、选项中bc,即aC=bx,不符合题意. 7.如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∠AED的度数为() A.165° B.150° C.120° D.100° 【答案】B 【分析】根据正方形和等边三角形的性质可得AB=BE=CE=CD, ∠ABC=∠BCD=90°，∠CBE=∠BCE=∠BEC=60°，进而求出∠MBE和2DCE 的度数，利用等腰三角形性质求出∠BAE和∠CDE,最后利用三角形内角和求解. 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， 试卷第5页（共3页） ∴.AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°， 又，△CBE是等边三角形， .BC=BE=CE,∠CBE=∠BCE=∠BEC=6O°， ∴.AB=BE,CD=CE, .∠ABE=∠ABC-∠CBE=90°-60°=30°， 同理∠DCE=30°， 在△ABE中，AB=BE,∠ABE=30°， ∠nMB=∠B4-×080-309)=75. 同理∠CDE=∠CED=75°， ∴.∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-75°=15°， ∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-75°=15 在△ADE中，∠AED=180°-∠DAE-∠ADE=180°-15°-15°=150° 8.如图，在口ABCD中，AC=8,过AC与BD的交点O的直线EF,分别交AD,BC于 B,F两点，且EF1AC.若BC=5,则线段EF的长为() E B 试卷第6页（共3页） A.3 B.6 c.4v5 D.V14 【答案】B 【分析】连接AF,由平行四边形性质可得ADIIBC,( A=0C=)4C=4,然后证明 2 △AOE≌aCOF(ASM),所以AE=CF,故有EF是AC的垂直平分线，由垂直平分线性 质可得AE=CE=5,AF=CF,所以AE=CE=AF=CF,从而得四边形AECF是菱 形，所以OE=OF，再通过勾股定理求出OE的长即可. 【详解】解：如图，连接AF, D 0 四边形ABCD是平行四边形， AD/IBC,OA=OC=1 AC=4 2 ∴.∠EAO=∠FCO, .∠AOE=∠COF, :△AOE≌aCOF(ASA) .AE=CF, 试卷第7页（共3页） EF⊥AC, ∴EF是AC的垂直平分线， :AE=CE=5,AF=CF, ∴.AE=CE=AF=CF, ∴四边形AECF是菱形， ..OE=OF, 在Rt△C0E中，OE=VCE2-OC2=VS-4=3, EF=OE+OF=3+3=6, 9.如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，连接AG,BG,DE.若点F是线 段DE上的一点，且EF=3,DF=1,则AG=() G A.5 B.2V5 C.3v2 D.7 【答案】D 【分析】先根据正方形的性质得BC=AB=CD,CG=EF=CE=3, ∠BCD=∠ABC=∠GCE=∠E=90° 整理得 BCG=∠DCE,得 △BCG2aDCE(SAS),则BG=ED=4,运用勾股定理算出BC,根据等面积法进行列式 试卷第8页（共3页） 计算得HG2 再证明四边形GB是钜形，有Am-5-2-13 55,运用勾股定理接可 得出AG. 【详解】解：，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形EF=3,DF=1, .BC=AB=CD,CG=EF=CE=3,∠BCD=∠ABC=∠GCE=∠E=90°， DF=1 则∠BCD-∠GCD=∠GCE-∠GCD,DE=1+3=4, 即∠BCG=∠DCE. ·.ABCG≌aDCE(SAS) .BG=ED=4,∠BGC=∠E=90°， :CG=EF=3,且∠CGB=90°， BC=BG2+CG2=5, 即AB=5, 过点G作GW⊥AB,过点G作GH⊥BC,如图所示： D 1 BC.HGx-S.wo-xCG-BG 2 试卷第9页（共3页） .BC·HG=CG·BG,即5HG=12, :HG=12 , GW⊥AB,GH⊥BC, ∴.∠GHB=∠ABC=∠GWB=90°， ∴四边形WGHB是矩形， :G=BH=16 Bw=6m=号. ， :Am=5-1213 55, G4GG 在」 10.如图，在RIAABC中，∠ACB=90°，AC=4cm,BC=3cm,点P由点B出发沿 BA方向向点4匀速运动，速度为1m/?,同时点Q血4出发沿4C方向向点C匀运运动， 速度为lcm/s,连接P巴.设运动的时间为(S),其中0<1<4.当△ABC和△MPO相似 时，t的值为() B 试卷第10页（共3页） 2019 25 2025 A.3或1 B.9或4 C. 9 D.9或9 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形 相似. 先利用勾股定理计算出AB=5m,由于∠A为公共角，根据相似三角形的判定方法，当 AP AO 5-11 AP A0 AB-AC时，△APQ∽△ABC,即54；当ACAB时，△APQ∽△ACB,即 5-1 t 4 5,然后分别解方程得到t的值. 【详解】解：：∠ACB=90°，AC=4cm,BC=3cm, AB=V32+42=5(cm), 根据题意得BP=tcm,Ag=tcm,则AP=(5-t)cm .∠PAQ=∠BAC AP AO 当ABAC时，△APQ∽△ABC, 5-1 t 即54， 20 解得=9： 试卷第11页（共3页） AP AO 当ACAB时，△APQ∽△ACB, 5-1 1 即45， 25 解符=9， 2025 综上所述，t的值为9或9， 故选：D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.已知关于x的方程(k-2)x+x+2k+1=0是一元二次方程，则：的值应为 【答案】-2 【详解】解：：(k-2)州+x+2k+1=0是一元二次方程， :风=2，且k-2≠0， 解得k=-2 12.已知：如图，直线bc,直线m、n分别与直线a、b、C交于点4、B、C和点 D、E、F,AB=4,BC=2、DE=6,则DF= 试卷第12页（共3页） 【答案】9 【分析】先根据“平行线分线段成比例定理”列比例式求出EF的长，再根据 DF=DE+EF 即可得解. 【详解】解：·a‖b川c AB DE .BC EF, .AB=4,BC=2、DE=6, 46 .2EF, 解得EF=3, ∴.DF=DE+EF=6+3=9 13.如图，在四边形ABCD中，AB=DC=6,E,F分别是AD,BC的中点，G,H分 别是对角线BD,AC的中点，顺次连接E,G,F,H,则四边形EGFH面积的最大值为 试卷第13页（共3页） F D 【答案】9 【分】根据三角形中位线可料5G=CD,FG/CD,BH=)CD,BH力CD 2 1 BG=2AB,然后可符四边形BGFH是菱形，进而问题可求解. 【详解】解：：四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点， FG-CD.FG/CD.ER-CD.MCD EG-AB :FG=EH,FG∥EH ∴.四边形EGFH是平行四边形， .AB=DC=6, .EG=EH=3, .四边形EGFH是菱形， 要使四边形EGFH的面积最大，则需满足EG⊥EH, ∴.四边形EGFH面积的最大值为EG·EH=3×3=9 14.如图，△ABC的边BC长为4cm,将△ABC平移2cm得到△AB'C',且BB⊥BC, 试卷第14页（共3页） 则阴影部分的面积为 cm2 B 【答案】8 【分析】根据平移的性质可符Sfsc=Sc,BC=BC,BC∥BC,再根据阴影部分的 面积S.fc+S矩形COs一SMc=S形CO,即可求解. 【详解】解：由平移的性质得：Src=S.c,BC=BC,BC∥B'C ∴.四边形B'CCB为平行四边形， BB⊥BC, 四边形B'CCB为矩形， :阴影部分的面积=SmC+S矩形8c0s-S.c=S形rcoB=4×2=8cm2 15.已知4(-1,0)，B0,3),直线y=+3 x轴正半轴于点E,交y轴于点F,若 △AOB∽AEOF ,则 k= 【答案】 -3 【分析】先求出各线段长度，结合相似三角形对应边成比例列方程，结合E在x轴正半轴的 试卷第15页（共3页） 条件求解k. 【详解】解：：原点O(0,0),A(-1,0)B(0,3) .OA=1,OB=3,∠AOB=90°， :直线y=+3交'轴于点F,令x=0得=3， .F(0,3),0F=3,∠E0F=90°， .直线交x轴正半轴于点F,令y=0得x=~。 出E在x轴正半销每>0，即大<0，因纯0E= 3 k :△AOB∽△EOF,对应顶点按顺序对应， OA OB .OE OF 13 33,解得k=3 k 16.如图，在△ABC中，AD⊥BC,DE⊥AC,AB=7,BD=5,AE:EC=1:2, 则CD的长为一 D 试卷第16页（共3页） 【答案】4V5 【分析】先利用勾股定理求出AD,再证△ADEACD得到AD=ME,AC,结合比例 关系求出4C,最后利用勾股定理求CD, 【详解】解：·AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=72-52=24 .DE⊥AC ∴.∠AED=90° ∴.∠AED=∠ADC 又：∠DAE=∠CAD, ∴.△ADE∽△ACD AD AE AC AD, .AD2=AE·AC .AE:EC=1:2 设AE=x,则EC=2x,AC=3x, .24=x3x 解得x=8 试卷第17页（共3页） 在Rt△4DC中，CD2=AC2-AD2=(3x}-24=9x2-24, ∴.CD2=9×8-24=48 ∴.CD=V48=4V3 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17.解方程： r-2x-8=0 23x(2x+3)=4x+6: 6)x2-4x-12=0 ④2x+6x+1=0 【答案】(1)=4x2=-2 、2 6)=6x2=-2 ④龙3+5 2,53 2 【详解】()解：x2-2x-8=0 因式分解得(x-4)(x+2)=0 即x-4=0或x+2=0, 解得=4，为=-2. 试卷第18页（共3页） (2)解：3x(2x+3)=4x+6 移项得3x(2x+3列-(4x+6)=0 整理得3x(2x+3)2(2x+3)=0, 因式分解得(2x+33x-2)=0, 即2x+3=0或3x-2=0, (3)解：t-4x-12=0 因式分解得(x-6)(x+2)=0 即x-6=0或x+2=0, 解得=6，名=-2 (4)解：2x2+6x+1=0, a=2b=6c=1 A=62-4×2×1=36-8=28>0 x=6±283±5 2×2 2 -3+V7 x1= -3-√万 2. 18.关于x的一元二次方程r+2mr+2m-1=0有两个实根. 试卷第19页（共3页） ()若方程有两个根，本，满足(：-2（名-2）=10，求m的值： (2)若方程有一个根不小于2，求m的取值范围. 【答案】④m=石 R)ms、1 2 【分析】(1)利用根与系数的关系变形已知等式，代入求解： (2)因式分解得方程两根，根据一根恒小于2列不等式求范围. 【详解】(1)解：方程有两个根，x, :△=(2m)2-4x1x(2m-1）=4(m-1)2≥0， .方程总有两个实数根： 根据题意有：=2m-1,x+x2=-2m (x-2)(x2-2)=10 xx2-2(x+x2)+4=10 即： 2m-1-2(-2m)+4=10 解得： 6: (2)x+2mx+2m-1=0 (x+1)(x+2m-1)=0 六方程的根为=-1，x=-2m+1 试卷第20页（共3页） ,方程有一个根不小于2， .-2m+1≥2， :ms、 2. 19.如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线DB的延长线上，AE=AD,过点E作 EGBC,且BG=MD,连接DG (I)求证：四边形AEGD是菱形： ②)连接AG,与DE交于点F,若∠BAF=45°，∠FGE=60°，AB=4V2,求BE的 长 【答案】()证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC .EG∥BC ∴.AD∥EG EG=AD ∴四边形AEGD是平行四边形. 试卷第21页（共3页） AE=AD ∴.平行四边形AEGD是菱形. 2)4V3-4 【分析】(1)根据题意，得1D川BC, ,证明 1DBG,先证明四边形AEGD 平行四边 形，结合已知证明四边形AEGD是菱形即可； (2)根据菱形的性质，结合已知证明AF=BF，,利用勾股定理，求得GF=AF=BF=4 利用直角三角形的性质，勾股定理，解答即可. 【详解】(1)略 (2)解：：四边形AEGD是菱形， ∴.GF=AFAG⊥DE ∴.∠AFB=∠EFG=90° ∴.∠ABF=90°-∠BAF=45°=∠BAF ∴.AF=BF AF2+BF2 AB2 .2BF2=(4V2)2 解得BF=4. ∴.GF=AF=BF=4 试卷第22页（共3页） .∠FGE=60° ∴.∠GEF=90°-∠FGE=30° ∴.GE=2GF=8 .EF=GE2-GF2=43 ∴.BE=EF-BF=43-4 20.如图，已知∥1∥马，直线AB分别交4、、4于A、M、B,直线CD分别交马 、飞、4于C、N、D,AM=4,MB=6,CD=9, B (I)求ND的长： (2)将图中AB与CD的交点记作O,OM=1,当△OMN为等腰三角形时，求DB的长. 【答案】（①） D=27 5 63 2)DB的长为7或10 【分析】(1)根据线段的和差关系求出AB=10,根据平行线分线段成比例定理得出 BM ND 3 AB CD5,即可求出ND的长： 试卷第23页（共3页） OM ON (2)根据平行线分线段成比例定理得出MBND,可得OM≠ON,分OM=MN和 ON -MN 两种情况，利用平行线分线段成比例定理及等边对等角，分别求解即可. 【详解】(1)解：：AM=4,MB=6, ∴.AB=AM+MB=4+6=10, ∥1∥g BM ND 6 3 .AB CD 10 5, CD=9, ND 3 .95 D=27 解得 5. (2)解：：OM=1,MB=6, :.OB=OM+MB=1+6=7, ∥4∥g OM ON ∴.MBND, .MB≠ND ∴.OM≠ON, 如图，当OM=MN时，∠MON=∠MNO, 试卷第24页（共3页） D B ∥g .∠MNO=∠BDO, .∠MON=∠BDO, :BD=OB=7, 如图，当ON=MN时，∠NOM=∠NMO, A D B八 同理可得，BD=OD, ∥% 1 ON .OM ON 即6 27 MB ND 9 解得： ON= 10, :BD=OD=OW+ND=9+27=63 10510, 试卷第25页（共3页） 63 综上所述：DB的长为7或10· 21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点A作BC的垂线，垂足为 点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF. E (I)求证：四边形AEFD是矩形： 2)连接OE,若AD=5,OE=2,求AE的长. 【答案】(I)证明：：四边形ABCD是菱形， .ADBC AD=BC …CF=BE, .BE+EC=CF+EC, 即BC=EF, .AD=EF AD∥EF, ∴四边形AEFD是平行四边形： .·AE⊥BC, .∠AEF=90°， 试卷第26页（共3页） ∴.四边形AEFD是矩形. 4V21 (②)5 【分析】（)由四边形ABCD是菱形，得D川BC,AD=BC:由CF=BE得 BC=EF ；再由AD=BF,ADW EF得四边形1EFD是平行四边形：又因为 E⊥BC 即可得证四边形AEFD是矩形： (2)由四边形ABCD是菱形，得AB=BC=AD=5,因为AE⊥BC所以 ∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ABE和Rt△ACE中根据勾股定理建立方程计算出 E=17 ,回代到Rt△ABE三边关系即可求出AE的长. 【详解】(1)略 (2):四边形ABCD是菱形，AD=5, .AC L BD,AO=CO,AB=BC=AD=5, AE⊥BC,OE=2, .∠AEB=∠AEC=90°，AC=2OE=4, 在Rt△ABE和Rt△ACE中有：AB-BE=AE2=AC2-CE2 即52-BE2=42-(5-BE)2, 试卷第27页（共3页） 解 BE=17 , 'AE=AB2-BE2 4v21 5 22.智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴 设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢.某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第 三季度(7月至9月)该品牌智能头盔的销量情况：7月份销售50个，9月份销售72个. (I)求该店该品牌智能头盔从7月份到9月份销售量的月均增长率； (2)已知该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当头盔的售价为400元/个时，月销 售量为60个：若售价在此基础上每上涨2元个，则月销售量将减少1个.为响应政府“安 全骑行，惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市 民享受实惠，求该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1) 该店该品牌智能头盔销售量的月均增长率为20% (2) 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元 【分析】(1)设月均增长率为未知数，根据7月与9月的销售量等量关系列一元二次方程 求解： 试卷第28页（共3页） (2)设实际售价为未知数，根据总利润=单个利润×月销售量的等量关系列方程，结合 “让市民享受实惠”的条件选取较低售价的解； 【详解】(1)解：设该店该品牌智能头盔销售量的月均增长率为x, 7月份销售50个， ∴9月份销售量为501+个 依题意列方程： 50(1+x)2=72 解得=0.2=20%.x2=-2.2 ,月均增长率为正数， =-2.2 不符合题意，舍去， 答：该店该品牌智能头盔销售量的月均增长率为20%： (2)解：设该品牌智能头盔的实际售价为每个m元， ,售价为400元/个时月销售量为60个，每上涨2元/个，月销售量减少1个， 60、 m-400 ∴月销售量为 个，每个的利润为(m-300)元， 依题意列方程：(m-300) 60-m-400 2 =603 ,整理得：m2-820m+168064=0, 解得m=404.m2=416 ,要尽可能让市民享受实惠，即售价尽可能低， 试卷第29页（共3页） .取m=404, 答：该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元. 23.【问题提出】 D G E D D B 图① 图② 图③ (I)如图O,AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,P是BD上一点，AP⊥PC.若 BP PC=2AP,则CD的值为 2)【问题探究】如图②，E是正方形ABCD的边BC上一点，过点E作EF⊥AE, ME=EF,MF与CD交于点G,连接CF,求∠GCF 的度数： (③)【问题解决】如图③，△ABC是一块绿化区域，AH是其垂直基准控制线（即AH⊥BC AB AC 2 ),分别沿AB,AC向外铺设矩形装饰地砖区域ABDE和ACFG,且满足AEAG3 ，延长基准控制线HA交定位标线EG于点K,求边界BC与AK之间的数量关系. 1 【答案】(1)2 月5 试卷第30页（共3页） @BC-44K 3 【分析】(1)根据∠B=∠D=90°，∠APB=∠C证得△ABP∽△PDC,由此得到 BP AP CD PC; (②)如图，如图，作FM⊥BC交BC的延长线于点M,证明△ABE≌AEMF(AAS),推 出FM=CM,即可求出∠FCG,进而可求∠GCF的度数： (3)过E作EM⊥AK的延长线于M,GN⊥AK的延长线于N.证明∠EAM=∠ABH ,推出EAMABH,得到BM=2仍，AM=B册，时，理NG= 3 3 AH 2 2 AN3C得到MNG,即得AM2AGN,推出K=GK,即X是EG 中点：4k=N-AM)+4M-子8C得起BC=考K 3 3 【详解】(I)解：：AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D, ∠B=∠D=90°， .AP⊥PC, ∴.∠APB+∠CPD=90°， CD⊥BD 试卷第31页（共3页） .∠C+∠CPD=90°， .∠APB=∠C, .△ABP△PDC, BP AP .CD PC, ..PC=2AP, BP 1 .CD2. (2)解：如图，作FM⊥BC交BC的延长线于点M, D G 四边形 是正方形， B E ABCD ∠B=90°，AB=BC .AE⊥EF, :∠AEF=90 ,∠BAE+∠AEB=90°∠MEF+∠AEB=90° ∴.∠BAE=∠MEF, 在△ABE和△EMF中， ∠B=∠EMF=90° {∠BAE=∠MEF AE=EF 试卷第32页（共3页） :.△ABE≌aEMF(AAS) .'EM=AB,FM=BE, .AB=BC. .EM=BC, .EM-EC=BC-EC,CM=BE, .CM=FM, 又：∠FMC=90 .△FMC是等腰直角三角形， :∠FCM=45° :∠GCF=90°-45°=45 (3)解：如图，过E作EM⊥AK的延长线于M,GN⊥AK的延长线于N. G ○ B ∠EMK=∠GNK=90° ·∠EAM+∠BAH=90°，∠ABH+∠BAH=90°， .∠EAM=∠ABH, 又.∠AME=∠BHA=90°， 试卷第33页（共3页） .△EAM∽△ABH, AM EM AE 3 .BH AH AB 2, :EM -2 AH AM=3 BH 3 3 2 回可GANAACE,从面得出G=HN二Ch 2 .EM=NG. ∠EMK=∠GNK=90°，∠EKM=∠NKG .△EKM≌aGKN(AAS) .EK=GK,即K是EG中点， ::4K=(4N-AM)+AM -(4N+AM) =3+2 =子cH+BH) 3 =BC 41 BC-44K 3 试卷第34页（共3页） 24.如图，在梯形ABCD中，ADI‖BC,∠BAD=90°，CE⊥AD于点E,AD=8Cm BC=4cm,4B=5cm,从初始时刻开始，动点P,P分别从A,B同时出发，运动 0 速度均为lcms,动点P沿M→B→C→E的方向运动，到点E停止：动点P沿 B→C→B→D的方向运动，到点D停止，设运动时间为s,△PA0的面积为ycm (此题规定：线段是面积为0的三角形) E 解答下列问题： 9 ()当x=2时，y=一；当*=2时，y= 2)当5≤x≤14时，求y与x之间的函数关系式： 4 ③)当动点P在线段BC上运动时，求出当y=5SD时x的值， 【答案】(1)2；9 ,65 2)5≤x≤9时，y= 。x2-7x+ 2：9<x≤13时，少=22+9 x-3 2 35:13<x≤14 时，少=-4x+56 (3)7 试卷第35页（共3页） 【分析】(1)根据x的值判 P,巴所在的具体线段位置，结合矩形的判定和性质以及三角 形的面积公式即可求出对应x所对应的少的值. (2)根据动 P,所在位置不同，分情况讨论05≤x≤9@9<x≤13®13<x≤14，结 合图形，根据运动的轨迹和面积公式分别求出'与x之间的函数关系式. (3)根据动点P所在的位置，判断x取值范围，确定y与x之间的函数关系式 5 y=x2-7x+6 ， 利用梯形的面积公式和已知条件，求出具体y值即可求出对应的x的 值. 【详解】()解：1D川BC,∠BAD=90°，CE⊥AD ∴.∠B=∠BAD=∠CEA=∠CED=90° ∴.ABCE 为矩形. ∴.AE=BC=4 ①x=2,动点P,巴运动速度均为lcms, ..AP=2 BO=2 ,AB=5 .BP=AB-AP=5-2=3 yy=SPA0=S。AB0-SarO, 试卷第36页（共3页） y=4B,B0_BP,B吧-5x2_3x2=2 2 2 22 9 ②x=9 2,动点P,Q运动速度均为lcm/s, 六AP=9B0=9 2, 2, AB=5 BC=4 :P点运动到线段AB上，Q点运动到线段CE上， 到AB边上的距离与AE相等，即为4，， 9 ×4 ∴y=SPa0= PA×4=2=9. 22 (2)解：当5≤x≤9时，如图所示， B D.y=SP4Q =SABce-SPBA-SPce =25+x-4到x4-50x-5列x5-5+4-0x-4到 .65 2 当9<x≤13时，如图所示， 试卷第37页（共3页） B P 金公=8e0-+5-04=+号 +2t-35 当13<x≤14时，如图所示， B E O=8o-40,s-4+404-456 2 2 (3)解：动点P在线段BC上运动， .5≤x≤9 65 .、”=1x2-7x+宁 2 2, (4+8)×5 S梯形ABCD= 2 =30 4 S梯形CD=15 ×30=8 15 :8=x-7x+ 65 2 2, .x=7 试卷第38页（共3页） 2026-2027学年九年级上册数学期中培优检测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，将长方形沿折叠，使点落在上的处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．对于任意实数a、b定义一种新运算：，例如，若，则x的值为（     ） A．或3 B．或4 C．1或 D．1或 4．如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（     ） A． B． C． D． 5．已知关于x的方程有两个相等的实数根，且，则k的值是（     ） A．24 B．6 C．18 D．12 6．已知线段、、，求作线段，使得的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，过与的交点的直线，分别交，于，两点，且．若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，四边形和四边形都是正方形，连接，，．若点是线段上的一点，且，，则（     ） A．5 B． C． D． 10．如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为___________． 12．已知：如图，直线，直线、分别与直线、、交于点、、和点、、，，、，则________． 13．如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，顺次连接E，G，F，H，则四边形面积的最大值为_________． 14．如图，的边长为，将平移得到，且，则阴影部分的面积为______． 15．已知，，直线交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，若，则________． 16．如图，在中，，，，，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 18．关于x的一元二次方程有两个实根． (1)若方程有两个根，，满足，求的值； (2)若方程有一个根不小于2，求的取值范围． 19．如图，在平行四边形中，点在对角线的延长线上，，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，与交于点，若，，，求的长． 20．如图，已知，直线分别交、、于、、，直线分别交、、于、、，，，， (1)求的长； (2)将图中与的交点记作，，当为等腰三角形时，求的长． 21．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 22．智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第三季度（7月至9月）该品牌智能头盔的销量情况：7月份销售50个，9月份销售72个． (1)求该店该品牌智能头盔从7月份到9月份销售量的月均增长率； (2)已知该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当头盔的售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行，惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠，求该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元? 23．【问题提出】 (1)如图①，于点，于点，是上一点，．若，则的值为_____________； (2)【问题探究】如图②，是正方形的边上一点，过点作，，与交于点，连接，求的度数； (3)【问题解决】如图③，是一块绿化区域，是其垂直基准控制线（即），分别沿向外铺设矩形装饰地砖区域和，且满足，延长基准控制线交定位标线于点，求边界与之间的数量关系． 24．如图，在梯形中，，，于点，，，，从初始时刻开始，动点，分别从，同时出发，运动速度均为，动点沿的方向运动，到点停止；动点沿的方向运动，到点停止，设运动时间为，的面积为．（此题规定：线段是面积为0的三角形） 解答下列问题： (1)当时，________；当时，________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)当动点在线段上运动时，求出当时x的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $