第22章相似形 期中复习培优训练 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

九年级上相似形期中复习培优训练 满分150分，用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 2.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 4.（安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 5.（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，，，，是的两条高，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 6.如图，在中，F为的中点，过点F作于点E，交的延长线于点D，若，，，则的长为（   ） A．6 B． C．10 D． 7.（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在矩形中，的平分线与交于点E，点F在的延长线上，，连接，，与交于点G．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8.（25-26九年级上·安徽·期末）如图，是矩形对角线上（端点除外）的动点，是边上（端点除外）的动点，连接，．若，，则的最小值为（   ） A．6 B．6.4 C．8 D．8.4 9.（2026·安徽池州·二模）如图，在中，，为上一点，，为的中点，，若，则的长为（    ） A． B． C． D．8 10.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）（改编）如图，在正方形纸片中，点是边上一点，连接交于点，将正方形沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接交于点，连接．给出以下结论：①；②与的面积相等；③若，则；④；⑤若，则的最小值为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，已知矩形，的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么的长是____． 12.（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，在中，，，，，，则的长为______． 13.（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，，点为边的中点，点沿折线以每秒1个单位长度运动到，若沿将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，则运动时间为______秒． 14.（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，点D在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点F，连接． （1）若，则的长为______； （2）在（1）的条件下，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）如图，中，为边上一点，连接、，它们相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，则的长． 16.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点B为位似中心，作出的位似图形，使与的位似比为2∶1； （2）以点O为对称中心，作出关于成中心对称的图形； （3）直接写出的外心坐标_____． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在矩形中对角线相交于点F，延长到点E，使得四边形是一个平行四边形，平行四边形对角线交分别为点G和点H． （1）证明：； （2）若，则线段的长度． 18.（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，平分，是边上的中线，与交于点，过点作交于点． （1）求的值． （2）若，求的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，在平行四边形中，，是上一点，，，连接交于点． （1）求的长； （2）过点作的平行线分别交射线和射线于点，． ①求证：； ②求的长． 20.（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． （1）求证：； （2）若，F为中点，求的值； （3）若，且，直接写出的值． 六、解答题（本题满分12分） 21.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，求的值； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 七、解答题（本题满分12分） 22.（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． （1）求证：； （2）若，求的长度； （3）当时，求的比值． 八、解答题（本题满分14分） 23.（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，等边中，点、分别在、上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，若，判断与的位置关系并说明理由； （3）如图，在（2）的条件下，点在上，的延长线交于，当时，求线段的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上相似形期中复习培优训练 满分150分，用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 【详解】解：∵，∴，，．∵， ∴．故选：C 2.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A． B． C． D． 【详解】解：A、∵，∴，∴，∵， ∴，∴，故此选项不符合题意；B、∵，∴，再结合条件不能证明，故此选项符合题意；C、∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故此选项不符合题意；D、∵，∴，又∵，∴，故此选项不符合题意；故选：B． 3.（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴， ∴，∴，∵，∴，∵， ∴，∴，∴，∴， ．故选：B． 4.（安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【详解】解：∵四边形是正方形，，，∴，，，∵，∴∴，， ∴，则，∴， ∵，∴，∴∴，在中，，故选：B． 5.（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，，，，是的两条高，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵，，，设，则， ∵是的两条高，即，∴，即，解得，∴，， ∵，是的两条高，∴，又∵， ∴，∴，又∵，∴，∴．故选：A． 6.如图，在中，F为的中点，过点F作于点E，交的延长线于点D，若，，，则的长为（   ） A．6 B． C．10 D． 【详解】解：过作， ∵F为的中点，∴，∵，∴，， ∵，∴，∴，∵，， ∴，，∵，∴，∵，， ∴，∴，故选：B． 7.（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在矩形中，的平分线与交于点E，点F在的延长线上，，连接，，与交于点G．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A项：∵，，∴， ∴，即，故A正确，不符合题意； B项：∵平分，∴，又∵，∴， ∴，∵四边形为矩形，∴，∵，∴， ∴，∵，，∴， 在和中，，∴，∴，∵， ∴，∴，即，故B正确，不符合题意； C项：∵，∴，又∵， ∴，∴，即，故C正确，不符合题意； D项：假设，则，∴，， ∵，∴，∵，∴，显然不可能，故D错误，符合题意， 故选：D． 8.（25-26九年级上·安徽·期末）如图，是矩形对角线上（端点除外）的动点，是边上（端点除外）的动点，连接，．若，，则的最小值为（   ） A．6 B．6.4 C．8 D．8.4 【详解】解：四边形是矩形，，，． 如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接． ，． ．．由作图知，．根据“垂线段最短”可知，当点，，共线且时，的值最小．过点作，垂足为． ，，．． ．．．的最小值为．故选：B 9.（2026·安徽池州·二模）如图，在中，，为上一点，，为的中点，，若，则的长为（    ） A． B． C． D．8 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点G， ∵，为的中点，∴，∵，∴，， ∴，∵，∴，，∴， ∴，，设，则，， 在中，，∴，解得（舍去），， ∴，∴，在中，， ∴，在中，，在中，．故选：B 10.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）（改编）如图，在正方形纸片中，点是边上一点，连接交于点，将正方形沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接交于点，连接．给出以下结论：①；②与的面积相等；③若，则；④；⑤若，则的最小值为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，． ∵是由翻折得到，∴，，，∴，∴，∵在和中， ，∴，∴，∴，故①正确． 设正方形边长为a，，则有，，，∴， ∴，∵在中，，∴，解得， ∴，∵，∴，故③正确． ∵是正方形的对角线，∴，∴． 由折叠可得，∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∵， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴．故④正确；连接， ∵在正方形中，，， ∴，由折叠可得，∵， ∴的最小值为，故⑤错误．过点C作交于点F， 则与的高为，假设，则， ∴．∵，，∴，∵，， ∴，∴，∵，， ∴∵， ∴．∵点P在上运动，的度数不是定值， ∴与已知条件矛盾，∴与不一定相等，∴与的面积不一定相等，故②错误．故选：B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，已知矩形，的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么的长是____． 【详解】解：∵，，∴，∵矩形和矩形相似， ∴，∴，∴．故答案为：． 12.（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，在中，，，，，，则的长为______． 【详解】解：，，在中，， ，，，又，， ，，，设，则，， ，解得，在中，， ，． 13.（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，，点为边的中点，点沿折线以每秒1个单位长度运动到，若沿将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，则运动时间为______秒． 【详解】解：在中，，，，∴， ∵点为边的中点，∴．分两种情况讨论： （１）当点在上时，剪下的三角形为；∵为公共角，要使与相似 ， ∴ 需满足或 ． ①若，则 ，如图： ∴即， 解得 ，此时运动路程为，时间秒 ； ②若，则 ，如图： ∴，即 ，∴解得   ， 此时运动路程为，时间秒 ； （２）当点在上时，剪下的三角形为， ∵为公共角，要使与相似 ，∴ 需满足或． ①若，则 ，如图： ∴即，解得， 此时在上，距离点，距离点， 运动路程为，时间秒 ； ②若，则，如图： ∴即，解得， ∵，∴此时点不在边上，故舍去 ．综上所述，运动时间为或或秒． 14.（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，点D在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点F，连接． （1）若，则的长为______； （2）在（1）的条件下，若，则的长为______． 【详解】解：（1）∵，，∴，又∵是等腰直角三角形， ∴，∴，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴．故答案为：2． （2）∵，，∴，在中，由勾股定理得，，∴， ∵，，∴， ∴，∴设，，∴，在中，由勾股定理得，，即，解得（舍去），， ∴．故答案为：． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）如图，中，为边上一点，连接、，它们相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，则的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，∴设，，∴， ∵四边形为平行四边形，∴，∵， ， ∴， ∴，  ∵， ∴． 16.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点B为位似中心，作出的位似图形，使与的位似比为2∶1； （2）以点O为对称中心，作出关于成中心对称的图形； （3）直接写出的外心坐标_____． 【详解】（1）如下图，即为所求； （2）如（1）图，即为所求； （3）如（1）图，点E即为的外心，坐标为．作和的垂直平分线，交于点E，点E即为的外心． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在矩形中对角线相交于点F，延长到点E，使得四边形是一个平行四边形，平行四边形对角线交分别为点G和点H． （1）证明：； （2）若，则线段的长度． 【详解】（1）证明: ∵是矩形∴，∴，，，，又∵是平行四边形，∴，∴，， ，，，； （2）∵为平行四边形, ，，，在直角三角形中， ，∴，又 ，， ，. 18.（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，平分，是边上的中线，与交于点，过点作交于点． （1）求的值． （2）若，求的面积． 【详解】（1）解：∵，平分，∴．∵，∴，． ∵是边上的中线，∴，∴，， ∴． （2）解：∵，平分，∴，，∴．∵是中线，∴．∴，∴，∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，在平行四边形中，，是上一点，，，连接交于点． （1）求的长； （2）过点作的平行线分别交射线和射线于点，． ①求证：； ②求的长． 【详解】（1）解：∵，∴，∵四边形是平行四边形， ∴，，∴，∴，又∵， ∴，∴． （2）① 证明：∵，∴，∵． ∴，，又∵，∴， ∴，∵，∴，∴， ∴，∴． ②作于点M， ∵，∴，又 ∵，∴，∴平分，∴， ∵，，∴，∴， 设，则，则在中，由得：，解得：，（舍去），∴． 20.（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． （1）求证：； （2）若，F为中点，求的值； （3）若，且，直接写出的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形∴∴ ∵∴∴∴∴； （2）解：设与交于点G， ∵∴∵∴，∴∴∵四边形是矩形∴， ∴设，则∵F为中点∴∴ ∵∴∴； （3）解：∵∴设，∵ ∴∴又∵∴ ∴，即∴∴∵， ∴∴，即∴设，则 ∴∴∵ ∴，即∴∴ ∴∴． 六、解答题（本题满分12分） 21.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，求的值； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【详解】（1）解：在矩形中，，，， ，，，，，，； （2）证明：过点作交于点，过点作交于点， ，，由（1）同理可得， ，在矩形中，，，，在矩形中，，， ，，四边形是平行四边形，，同理可得， ，； （3）解：过点作且，连接，延长交于点， ，，四边形是平行四边形，，是矩形，，由（1）同理可得，，在中，，，，，，，，，，，，，， ． 七、解答题（本题满分12分） 22.（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． （1）求证：； （2）若，求的长度； （3）当时，求的比值． 【详解】（1）证明：∵直角三角形的斜边为，，∴， ∴，∴，又∵，∴， ∴． （2）解：如图，作，垂足为G，设， 在直角中， ∵，，∴，∵，∴，∵， ∴，∴，即∴，， 在直角中，，，∴，由勾股定理得，，∵，∴，解得，，∴； （3）解：如图，作，垂足为H，设， ∵，∴，∵， ∴，∴，即，∴，， ∵，∴，∴，由（1）可知，， ∴，，∴，∵， ∴，∴，∵，∴， ∴，即，∴解得，，∴，∵，∴，∴． 八、解答题（本题满分14分） 23.（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，等边中，点、分别在、上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，若，判断与的位置关系并说明理由； （3）如图，在（2）的条件下，点在上，的延长线交于，当时，求线段的值． 【详解】（1）证明：为等边三角形，，， 在和中，，，， ，； （2），理由如下： 如图，延长至，使，连接，取的中点，连接，   由（1）得：，，是等边三角形， ，，， ，即，在和中， ，，，， ，， ，∴．，，，， ，即，，即，，点N是的中点， ，，又，是等边三角形，，，，， ，，； （3）解：如图，延长至M，使，连接，取的中点K，连接，   由（2）知：，，． ，．又 ，．．， ，即 ．，． 点 在 上，，．，．又 ， ．．又 ，，即点是的中点．点是的中点，是的中位线，．．，． ．，点 在上，．．又，．．，．，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $