精品解析：广东省深圳市多校联考2026-2027学年高一上学期第一次段考数学试卷

高一年级2026—2027学年度上学期第一次段考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 第一卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】①∵是无理数，∴，故①错误； ②∵0是非负整数，∴，故②正确； ③∵是实数，∴，故③错误； ④∵是整数，∴，故④正确． 所以正确的个数为2个. 2. 已知集合，则A的真子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】集合元素个数和子集个数的关系. 【详解】解不等式得，又因为，所以，集合A中有三个元素， 所以集合A的真子集个数为个. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】要使有意义，只需解得， 所以的定义域为. 故选：B 4. 如果，那么的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用配凑法来解决基本不等式即可. 【详解】 ，当且仅当“”等号成立. 的最小值为4. 故选：D 5. 已知集合 ，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】化简集合分式不等式等价于，解得，即， 化简集合由得，即； 根据包含关系求的范围表示中所有元素都属于， 要让区间完全落在内，只需满足：解得， 即的取值范围为. 6. 命题，是假命题．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，是真命题，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】因为，是假命题， 所以，是真命题， 当时，不等式恒成立，满足题意； 当时，需使，解得. 综上，实数的取值范围是. 7. 已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知且方程的两根分别为和，利用韦达定理可求出、，再利用二次不等式的解法求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为或， 则且方程的两根分别为和， 由韦达定理可得，解得， 故不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为. 8. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A选项，函数与的定义域均为， 又因为，这两个函数的对应法则不一样， A中的两个函数不是同一函数； 对于B选项，函数的定义域为，且， 函数的定义域为，这两个函数的对应法则相同， B选项中的两个函数是同一函数； 对于C选项，对于函数，有，解得， 对于函数，有，解得或， 所以函数的定义域为，函数的定义域为或， 这两个函数的定义域不同，C选项中的两个函数不是同一函数； 对于D选项，，， 这两个函数的定义域均为，且对应关系相同，D选项中的两个函数是同一函数. 10. 设，，下列选项正确的是（ ） A. 集合的子集个数为4 B. 若，则 C. 存在实数使得为假命题 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求解集合，再结合集合子集性质、交集运算、集合包含关系对各选项逐一分析. 【详解】对于A：，有2个元素，子集个数为，A正确； 对于B：若，则且.由得，解得， 此时，因，故，，，满足条件，B正确； 对于C：由得，即都属于，则，即，无解， 即不存在实数，使得成立，因此存在使得为假命题，C正确； 对于D：若，分情况讨论： ①时，满足； ②时，需，解得； ③时，需，解得； 综上可得，D错误. 11. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”的充要条件是“” C. “”是“”的既不充分也不必要条件 D. “，”是“”的充分不必要条件 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，当时，，所以“”是“”的不充分条件； 由，可得，所以，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，取，满足，但此时无意义， 所以“”是“”的不必要条件； 由，得，所以， 所以“”是“”的充分条件； 所以“”的充分不必要条件是“”，故B错误； 对于C，由，得，解得或. 但得不出或，所以“”是“”的不充分条件； 又或可得出，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，当，时，有成立， 所以“，”是“”的充分条件； 而，但，不成立，即由不能得到，， 所以“，”是“”的不必要条件； 所以，“，”是“”的充分不必要条件，故D正确. 第二卷 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分．考生根据要求作答） 12. 命题：“，”的否定是________________________________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题的规则，替换量词并否定结论即可得到结果. 【详解】根据含量词命题的否定的改写规则，先将量词“”替换为“”，再将“”改为“”， 得到命题“”的否定为“”. 13. 已知函数则________________________________． 【答案】 4 【解析】 【分析】判断自变量所属的定义域区间，选取对应的分段函数解析式代入计算即可. 【详解】因为，且时，， 所以. 14. 若集合只有1个元素，则a的取值集合是________________________________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，原式为，解得，符合题目要求； 当时，因为只有一个元素故，解得， 故a的取值集合是. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1），，比较的大小． （2）设，，求，的范围； （3）已知正实数满足等式，求的最小值． 【答案】（1）（2），（3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用作差法，即可求解； （2）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （3）根据条件，利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1），所以. （2）由，，得， 又，，所以． （3） 正实数满足等式，则， 所以 ，，， ，则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解出集合及其补集，代入得到集合，再按照交集、并集定义运算； （2）根据，分为空集和不为空集两种情况，建立不等式，讨论求解即可. 【小问1详解】 已知集合， 解，即，可得或， 所以， 则． 当时，， 所以． 【小问2详解】 ①若，即，则； ②若，则， 解得， 综上可得实数的取值范围为． 17. 某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为，高为，底面一条边长为5m，施工方给的造价：四个侧面造价为100元/，底面造价为80元/. （1）设此蓄水池的总造价为y元，求y关于x的函数关系式； （2）如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体的数据参考. 【答案】（1），； （2）长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低. 【解析】 【分析】（1）由题意表达出长方体底面的另一条边长为m，从而表达出y关于x的函数关系式； （2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出的最小值和此时所满足的条件，得到答案. 【小问1详解】 长方体蓄水池的底面面积为， 长方体底面的另一条边长为m， 故，； 【小问2详解】 ，故由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时m， 故当长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低. 18. 已知函数，且． （1）求的解析式． （2）用定义证明函数在上是增函数． （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）由（1）知， 任取，，且， 则， 因为，且，可得，，则， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数． （3）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据条件直接求出值； （2）根据条件，利用函数单调性的定义得，即可求解； （3）利用（2）中结果及函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为函数，且，可得， 解得，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，函数在上为单调递增函数， 所以，， 所以函数在区间上的最小值为和最大值为． 19. 已知二次函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2） （3）①当时，解集为， ②当时，解集为， ③当时，解集为. 【解析】 【分析】代入得到一元二次不等式，求出方程的根，结合开口方向写出解集； 二次函数恒非负，开口向上，利用求解参数范围； 整理不等式，由判断二次项系数符号，因式分解求根并比较大小，结合开口写出解集. 【小问1详解】 当时，不等式为， 因式分解得， 解得， 不等式解集为. 【小问2详解】 对一切实数恒成立， 二次函数开口向上，则， ， ，，即， 的取值范围是. 【小问3详解】 原不等式 ， 移项整理： ， ， ，， 不等式两边同除以，不等号方向不变： ， 因式分解：， 两根为， ①当时，， 解集为， ②当时，不等式变为， 解集为， ③当时，， 解集为. 综上，①当时，解集为， ②当时，解集为， ③当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级2026—2027学年度上学期第一次段考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 第一卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知集合，则A的真子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 5. 已知集合 ，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 命题，是假命题．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 设，，下列选项正确的是（ ） A. 集合的子集个数为4 B. 若，则 C. 存在实数使得为假命题 D. 若，则 11. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”的充要条件是“” C. “”是“”的既不充分也不必要条件 D. “，”是“”的充分不必要条件 第二卷 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分．考生根据要求作答） 12. 命题：“，”的否定是________________________________． 13. 已知函数则________________________________． 14. 若集合只有1个元素，则a的取值集合是________________________________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1），，比较的大小． （2）设，，求，的范围； （3）已知正实数满足等式，求的最小值． 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为，高为，底面一条边长为5m，施工方给的造价：四个侧面造价为100元/，底面造价为80元/. （1）设此蓄水池的总造价为y元，求y关于x的函数关系式； （2）如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体的数据参考. 18. 已知函数，且． （1）求的解析式． （2）用定义证明函数在上是增函数． （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 19. 已知二次函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $